第二章函數(shù)的極限與連續(xù)

1、第二章 函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié) 極限的概念思考題1. 在的定義中，為何只要求在的空心鄰域內(nèi)有定義？ 答：因?yàn)楸硎緹o限接近而不等于，故與在點(diǎn)有無定義無關(guān).2. 是否存在，為什么？答：存在且為0.因?yàn)?，且，由無窮小的性質(zhì)知.習(xí)題1. 設(shè)畫出的圖形，求及并問是否存在.1解：的圖像如下：=1,=0,.不存在.2. 函數(shù)在什么條件下是無窮大量，什么條件下是無窮小量？為什么？答： 當(dāng)時(shí)是無窮大量, 當(dāng)時(shí)是無窮小量.,.3.舉例說明的幾何意義.解：例如：對, 表示當(dāng)沿軸的正向遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 曲線無限靠近直線=0; 表示當(dāng)沿軸的負(fù)方向遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 曲線無限靠近直線; 表示當(dāng)沿軸遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), 曲線無限靠近直線.4

2、. 舉例說明，,的幾何意義.解：例如：對, 表示當(dāng)沿軸無限接近0時(shí)，曲線向上無限遠(yuǎn)離原點(diǎn); 對, 表示當(dāng)沿軸無限接近0時(shí)， 曲線向下無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，對, 表示當(dāng)沿軸負(fù)向無限接近0時(shí)，曲線向上無限遠(yuǎn)離原點(diǎn); 表示當(dāng)沿軸正方向無限接近0時(shí)，曲線 向下無限遠(yuǎn)離原點(diǎn).第二、三、四節(jié) 極限的運(yùn)算思考題1.下列運(yùn)算錯(cuò)在何處?（1）.答： (不存在).（2）.答： ().2. 兩個(gè)無窮大的和仍為無窮大嗎？試舉例說明.答：不一定.如：是時(shí)的無窮大量, 也是時(shí)的無窮大量, 但其和為1，不是時(shí)的無窮大量.習(xí)題1. 求下列極限：（1）, （2）,解：原式= 解: 原式= = =2. = .（3）, （4）,解：原式=

3、 解：時(shí), =,=. 原式=.（5）, （6）,解：令 =, 解：原式=則當(dāng)時(shí) , =0 + 100原式=. = 100.(7) .解：當(dāng)時(shí),原式=.2.試證時(shí)，是比高階的無窮小.證明：當(dāng)時(shí) ， ,= = =0,時(shí), 是比高階的無窮小.3. 試證時(shí)，與是等價(jià)無窮小.證明：令= , 則,于是有： = = =,故時(shí),與是等價(jià)無窮小.第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性思考題1.如果在處連續(xù)，問|在處是否連續(xù)？答：若在處連續(xù)，則|在處連續(xù).2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值嗎？舉例說明？答：區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定存在最大值與最小值.如：在上連續(xù)，但不存在最小值； 在上連續(xù)，但不存在最大值.習(xí)題1. 求下列極限:（1）, （2）,解： 解：= = 0. = = .（3）, （4）,解 ： 解：= =17. =.（5）, （6）.解： 解：= =. =.2. 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型：解：由初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)