2007-2012“數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填得零分）1方程組的解的個數(shù)為（ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4答：（A）解：若0，則于是，顯然不可能若，則 于是，解得，進(jìn)而求得所以，原方程組的解為只有1個解故選（A） 2口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個現(xiàn)從中任取10個球，使得白球不少于2個但不多于8個，紅球不少于2個，黑球不多于3個，那么上述

2、取法的種數(shù)是（ ）（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20答：（B）解：用枚舉法： 紅球個數(shù) 白球個數(shù) 黑球個數(shù) 種 數(shù) 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16種故選（B）3已知為銳角三角形，經(jīng)過點(diǎn)B，C，且與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E 若的半徑與的外接圓的半徑相等，則一定經(jīng)過的（ ）（A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如圖，連接BE，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，均為銳角又因?yàn)榈陌霃脚c的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦，所以于

3、是，（第3題答案圖）若的外心為，則，所以，一定過的外心故選（B）4已知三個關(guān)于x的一元二次方程，恰有一個公共實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3答：（D）解：設(shè)是它們的一個公共實(shí)數(shù)根，則，把上面三個式子相加，并整理得因?yàn)?，所以于是故選（D）5方程的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D）無窮多答：（A）解：原方程可化為，因?yàn)槿齻€連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的所以，原方程無整數(shù)解故選(A).二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6如圖，在直角三角形ABC中，CA4點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn)

4、，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是 答：4解：如圖，設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于圓心O的對稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的絕對值是BEP的面積，即BOP面積的兩倍而（第6題答案圖）因此，這兩部分面積之差的絕對值是47如圖, 點(diǎn)A，C都在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D都在軸上，且使得OAB，BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 答：（，0） （第7題答案圖）解：如圖，分別過點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)設(shè)OEa，BFb， 則AE，CF，所以，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)為（，），（2b，），所以 解得因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）8已知

5、點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0） 若二次函數(shù)的圖象與線段AB恰有一個交點(diǎn)，則的取值范圍是 答：，或者解：分兩種情況：（）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與線段AB只有一個交點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），所以，得由，得，此時，符合題意；由，得，此時，不符合題意（）令，由判別式，得當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，符合題意綜上所述，的取值范圍是，或者9如圖，則n 答：6解：如圖，設(shè)AF與BG相交于點(diǎn)Q，則，于是（第9題答案圖）所以，n610已知對于任意正整數(shù)n，都有，則 答：解：當(dāng)2時，有 ，兩式相減，得 ，所以 因此 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11（A）已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)

6、分別為（0，1），（0，1），點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線PM與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接NP，NQ，求證：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則PM;又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離為，所以，以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線相切 5分（第11A題答案圖）（2）如圖，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為H，R由（1）知，PHPM，同理可得，QMQR因?yàn)镻H，MN，QR都垂直于直線，所以，PHMNQR，于是 ，所以 ，因此，RtRt于是，從而 15分 12（A）已知a，b都是正整數(shù)，試問關(guān)于x的方程是否有兩個整數(shù)解？如果有，請把它們求出來；如果

7、沒有，請給出證明.解：不妨設(shè)b，且方程的兩個整數(shù)根為()，則有所以 ，. 5分因?yàn)?b都是正整數(shù)，所以x1，x2均是正整數(shù)，于是，0,0，1,1，所以 或 （1）當(dāng)時，由于a,b都是正整數(shù)，且b，可得a1，b3，此時，一元二次方程為，它的兩個根為，（2）當(dāng)時，可得a1，b1，此時，一元二次方程為，它無整數(shù)解.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b3時，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個整數(shù)解為， 15分13（A）已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作A，A與半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作B，B與半圓O相交于點(diǎn)D，且線段CD的中點(diǎn)為M求證：MP分別與A和B相切（

8、第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點(diǎn)C，D作AB的垂線，垂足分別為，則CEDF因?yàn)锳B是O的直徑，所以在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分兩式相減可得 ，又 ，于是有 ，即 ，所以，也就是說，點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)因此，MP是直角梯形的中位線，于是有，從而可得MP分別與A和B相切15分14（A）（1）是否存在正整數(shù)m，n，使得？（2）設(shè)(3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m，n，使得？解：（1）答案是否定的若存在正整數(shù)m，n，使得，則，顯然，于是，所以，不是平方數(shù)，矛盾 5分（2）當(dāng)時，若存在正整數(shù)m，n，滿足，則，而，故上式不可能成立 10分當(dāng)4時，若（t是不

9、小于2的整數(shù)）為偶數(shù)，取，則 ， ，因此這樣的（m，n）滿足條件若1（t是不小于2的整數(shù)）為奇數(shù)，取，則 ， ，因此這樣的（m，n）滿足條件 綜上所述，當(dāng)時，答案是否定的；當(dāng)4時，答案是肯定的 15分 注：當(dāng)4時，構(gòu)造的例子不是唯一的11（B）已知拋物線：和拋物線：相交于A，B兩點(diǎn). 點(diǎn)P在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)Q在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間. （1）求線段AB的長；（2）當(dāng)PQy軸時，求PQ長度的最大值解：（1）解方程組得 所以，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-2，6），（2，-6）于是5分（2）如圖，當(dāng)PQy軸時，設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為， ， ，因此 PQ8，當(dāng)時等號成立，所以，P

10、Q的長的最大值8 （第11B題答案圖） 15分12（B）實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc，且，abc1求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式恒成立解：當(dāng)，時，實(shí)數(shù)a，b，c滿足題設(shè)條件，此時4 5分下面證明：不等式對滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)a，b，c恒成立由已知條件知，a，b，c都不等于0，且因?yàn)?，所?由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，a，b是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，于是0，所以 10分因此 15分13（B）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AD，BC的延長線上，且滿足若，的延長線相交于點(diǎn)，的外接圓與的外接圓的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD求證：（1）；（2）證明：（1）連接PE，PF，PG，因?yàn)?，?/p>

11、以又因?yàn)?，所以，于是?，從而 ，所以 （第13B題答案圖）又已知，所以， 10分（2）由于，結(jié)合（1）知，從而有 ，所以，因此 15分14（B）證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足1證明：設(shè)任意ABC的三邊長為a，b，c，不妨設(shè)若結(jié)論不成立，則必有， 5分 記，顯然，代入得，令，則 由，得，即，于是由得， 由，得，此式與矛盾從而命題得證 15分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題班級_學(xué)號_姓名_得分_一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，請將正

12、確選項的代號填入題后的括號里不填、多填或錯填都得0分）1已知實(shí)數(shù)x，y滿足：3，y4y23，則y4的值為（）（A）7（B）（C）（D）52把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)yx2mxn的圖象與x軸有兩個不同交點(diǎn)的概率是（）（A）（B）（C）（D）3有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點(diǎn)，小圓周上有2個不同的點(diǎn)，則這6個點(diǎn)可確定的不同直線最少有（）（A）6條（B）8條（C）10條（D）124已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且ABa1以AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DBABa，

13、DC的延長線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長為（）（A）a（B）1（C）（D）a5將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（）（A）2種（B）3種（C）4種（D）5種二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“*”為：u*vuvv若關(guān)于x的方程x*（a*x）有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)

14、一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是_分鐘8如圖，在ABC中，AB7，AC11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，MFAD，則FC的長為_9ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為_10關(guān)于x，y的方程x2y2208(xy)的所有正整數(shù)解為_三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)ykxb（k0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得OAB的面積值等于OAOB3（1）用b表示k；（2）求OAB面積的最小值12是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關(guān)于x的一元二次方程px2qxp0有有理數(shù)

15、根？13是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論14從1，2，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值簡答：一 選擇題 ACBBD；二 填空題 6. a 0 或 a 1； 7. 4； 8. 9； 9. ； 10. x48， x 160， y32； y32三解答題：11. （1）k，b 2； （2）當(dāng) b2， k1時，OAB面積的最小值為72； 12. 存在滿足題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)p，q. 當(dāng)p2，q5時，方程2x25x 20 的兩根為 x1， x22. 它們都是有理數(shù)； 13. 存在滿足

16、條件的三角形. ABC的邊 a6，b4，c5，且A2B. 14. n 的最小值是5，當(dāng)n=4時，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除（5分）當(dāng)n=5時，設(shè)a1，a2，a5是1，2，9中的5個不同的數(shù)若其中任意若干個數(shù)，它們的和都不能被10整除，則a1，a2，a5中不可能同時出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6于是a1，a2，a5中必定有一個數(shù)是5若a1，a2，a5中含1，則不含9于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；于是不含2（2+1+7=10），故含8但是5+7+8=20是10的倍數(shù)，矛盾若a1，a2，a5中含9，則不含1于是不含6（6+9+

17、5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；于是不含8（8+9+3=10），故含2但是5+3+2=10是10的倍數(shù)，矛盾綜上所述，n的最小值為5（15分）中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而1 2如圖，菱

18、形ABCD的邊長為a，點(diǎn)O是對角線AC上的一點(diǎn)，且OAa，OBOCOD1，則a等于（ ）（第2題）（A） （B） （C）1 （D）2【答】A 解：因?yàn)锽OC ABC，所以，即 ，所以， 由，解得3將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答】D解：當(dāng)時，方程組無解當(dāng)時，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 5×210種情況；或共3種情況又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×636種

19、情況，故所求的概率為4如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運(yùn)動. 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則ABC的面積為（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 【答】B解：根據(jù)圖像可得BC4，CD5，DA5，進(jìn)而求得AB8，故SABC×8×416.5關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無窮多組 【答】C解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 由于該方程有整數(shù)根，則判別式，且是完全平方數(shù)由 ，

20、解得 于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)時，原方程為，此時；當(dāng)y4時，原方程為，此時所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛 km 【答】3750解：設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了x k

21、m，交換位置后走了y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加，得 ，則 7已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點(diǎn)D，使得BDAC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 解：如圖，延長AD與D交于點(diǎn)E，連接AF，EF 由題設(shè)知，在FHA和EFA中，所以 RtFHARtEFA， .（第7題）而，所以.8已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 【答】 10解：因?yàn)?，且是五個不同的整數(shù)，所有也是五個不同的整數(shù)又因?yàn)?，所以由，可?如圖，在ABC中，CD是

22、高，CE為的平分線若AC15，BC20，CD12，則CE的長等于 【答】解：如圖，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB為直角三角形，且作EFBC，垂足為F設(shè)EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，（第9題）即 ，解得所以（第10題）1010個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來若報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是 【答】 解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是于是報7的人心里想的數(shù)是 ，報9的人心里想

23、的數(shù)是 ，報1的人心里想的數(shù)是 ，報3的人心里想的數(shù)是所以 ，解得三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知拋物線與動直線有公共點(diǎn)，且. （1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍； （2）當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程 有實(shí)數(shù)根，則所以 = 5分把式代入方程得 10分t的取值應(yīng)滿足0， 且使方程有實(shí)數(shù)根，即0， 解不等式得 -3或1，解不等式得 .所以，t的取值范圍為. 15分(2) 由式知.由于在時是遞增的，所以，當(dāng)時,. 20分12已知正整數(shù)滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和解：由可得，且 5分因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以等價于，又因?yàn)?，所以等價于因此

24、有，于是可得 15分又，所以因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù)的和為11192（1210）10571 20分 13如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)作ABC的外接圓的切線，過點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論解法1：結(jié)論是下面給出證明 5分因?yàn)?，所以RtFCD RtEAB于是可得同理可得 （第13A題） 10分又因?yàn)?，所以有，于是可?20分解法2：結(jié)論是下面給出證明 5分（第13A題）連接DE，因?yàn)?，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故 10分又l是O的過點(diǎn)C的切線，所以 15分所以，于是DEFG，故DFEG 20分14n個正整數(shù)滿

25、足如下條件：；且中任意n1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n的最大值解：設(shè)中去掉后剩下的n1個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)，即 于是，對于任意的1n，都有，從而 5分由于 是正整數(shù)，故 10分由于 ，所以，2008，于是n 45. 結(jié)合，所以，n 9 15分另一方面，令，則這9個數(shù)滿足題設(shè)要求 綜上所述，n的最大值為9. 20分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）

26、解： 由題設(shè)得代數(shù)式變形，同除b2若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式 0,解得a或 a4方程思想，未達(dá)定理；要解一元二次不等式3如圖，在四邊形ABCD中，B135°，C120°，AB=，BC=，CD，則AD邊的長為（ ）（A） （B）（第3題）（C） （D）解：D如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)由已知可得（第3題）BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4過點(diǎn)A作AGDF，垂足為G在RtADG中，根據(jù)勾股定理得AD勾股定理、涉及雙重二次根

27、式的化簡，補(bǔ)全圖形法4在一列數(shù)中，已知，且當(dāng)k2時，（取整符號表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因?yàn)?010=4×502+2，所以=2高斯函數(shù)；找規(guī)律。5如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2， 則點(diǎn)P2010的坐

28、標(biāo)是（ ） （第5題）（A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）記，其中根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）二、填空題6已知a1，則2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間過

29、了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t 解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） （第8題8如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 （第8題）解：如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，

30、且相交于點(diǎn)N由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分于是，直線即為所求的直線設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為（第9題）9如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D若CDCF，則 解： 見題圖，設(shè)因?yàn)镽tAFBRtABC，所以 又因?yàn)?FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10

31、對于i=2，3，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i1若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為 解： 因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）（第12B題） （第11題）（第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線. （5分）連接AE，AF，則（第11題），所以，ABCAEF. （10分）作AH

32、EF，垂足為H，則AH=PD. 由ABCAEF可得，從而 ， 所以 . （20分）12如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線ACx軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).（第12題）解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有 解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t（舍去）所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上

33、，所以 解得 （10分）（2）如圖，因?yàn)锳Cx軸，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.（第12題）設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)镃ODBOD，所以COB=.（i）將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到.這時，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長到點(diǎn)，使得=，這時點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作關(guān)于x軸的對稱圖形，得到點(diǎn)（1，）；延長到點(diǎn)，使得，這時點(diǎn)E（2，）是符合條件的點(diǎn)所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）. （20分） 13求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m. 解：由題設(shè)得，所以，由于p是素數(shù)，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整數(shù)，于

34、是，故，從而. 所以解得 （10分）（2）若，令，k是正整數(shù). 當(dāng)時，有，故，從而，或2. 由于是奇數(shù)，所以，從而. 于是這不可能. 當(dāng)時，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時，無正整數(shù)解. 綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9. （20分）14從1，2，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個數(shù)：11，（即1991）滿足題設(shè)條件. （5分） 另一方面，設(shè)是從1，2，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因?yàn)椋?，所以 .因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù). （10分）設(shè)，i=1，2，3，n.由，

35、得，所以，即11. （15分），故60. 所以，n61.綜上所述，n的最大值為61. （20分）2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案題 號一二三總 分156101112 1314得 分評卷人復(fù)查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時不要超過裝訂線；3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1設(shè)，則代數(shù)式的值為( ).（A）-6 （B）24 （C） （D）2在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（）與（）的圖象大致是 （A） （B） （C）

36、 （D）3、在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形.請指出具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P的個數(shù)（ ） （A）1 （B）7 （C）10 （D）154若，且滿足，則的值為( ).（A）1 （B）2 （C） （D）5設(shè)，則的整數(shù)部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6若a是一個完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是 .。7若關(guān)于的方程有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則的取值范圍是 .8一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上

37、的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8. 同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是 .9如圖，點(diǎn)為直線上的兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（）于兩點(diǎn). 若，則 的值為 .（第9題）（第10題） 10如圖，在RtABC中，斜邊AB的長為35，正方形CDEF內(nèi)接于ABC，且其邊長為12，則ABC的周長為 .三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x1，試求a、b的值。12.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根恰好比方程的兩個根都大1，求的值. 13如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn)

38、.（1）求證：=；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且=60º，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. （第13題）14如圖，ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且，求ABC的面積（第14題）2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案 一、選擇題1A. 2 . C. 3. C. 4. C. 5. A二、填空題6. 73m4. 8. 96. 1084三、解答題11. 解：把x1代入原方程并整理得（b4）k72a要使等式（b4）k72a不論k取什么實(shí)數(shù)均成立，只有解之得，12解：設(shè)方程的兩個根為，其中為整數(shù)，且，則方程的兩根為，由題意得，兩式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因?yàn)?所以；或者，故，或2

39、9. 13解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由（第13題）得 ，于是 ，即 . 于是 又因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所以?故=.（2） 設(shè)，不妨設(shè)>0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因?yàn)椋?于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）. 再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對稱性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或.14解：如圖，作ABQ，使得則ABQACP . 由于，所以相似比為2.于是（第14題）. 由知，于是所以 ，從而于是 . 故

40、2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題（正題） 題 號一二三總 分156101112 1314得 分評卷人復(fù)查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時不要超過裝訂線；3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1（甲）如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（ ） （第1（甲）題）（A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a1（乙）如果，那么的值為（ ）（A） （B） （C）2 （D）2（甲）如果正比例函

41、數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個交點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）2（乙） 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個數(shù)為（ ）（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（ ）（A）1 （B） （C） （D）3（乙）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長為（ ）（第3（乙）題）（A） （B）4 （C） （D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中