第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)湘潭大學數(shù)字電路基礎(chǔ)

1、祝大家新學期：祝大家新學期： 生活愉快，學習進步！生活愉快，學習進步！數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ) 材料與光電物理學院 微電子專業(yè) 任課教師：余云霞 邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)是英國數(shù)學家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)；由于被用在開關(guān)電路的分析和設(shè)計上，所以又稱開關(guān)代數(shù)。 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0 和 1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。 邏輯運算邏輯運算：兩個表示不同邏輯狀態(tài)的二進制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進行的運算。 功能描述方法有：1）真值表真值表：即將自變量和

2、因變量（輸入變量和輸出變量）的所有組合對應(yīng)的值全部列出來形成的表格。2）邏輯符號邏輯符號：用規(guī)定的圖形符號來表示。1.與、或、非的定義如圖1-1所示，以開關(guān)A、B的狀態(tài)作為條件，閉合表示條件具備，斷開表示條件不具備 ；以指示燈Z的狀態(tài)作為結(jié)果，燈亮表示結(jié)果發(fā)生，燈不亮表示結(jié)果不發(fā)生。圖2-1 指示燈控制電路 與與：只有決定事情發(fā)生的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生，又稱邏輯乘?；蚧颍褐灰獩Q定事情發(fā)生的全部條件至少具備一個時，結(jié)果就發(fā)生，又稱邏輯加。非非：條件具備時，結(jié)果不發(fā)生，條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生，又稱邏輯求反。2與、或、非的真值表表2-1與的真值表表2-2 或的真值表表2-3非的真值表3

3、與、或、非的邏輯運算符號與： “ ” 或者省略。如：Z=AB或者 ；或 ：“+” 。如： Z=A+B；非：變量上方的“ ”表示。如： 。AZBAZ4與、或、非的邏輯符號圖2-2 與、或、非的邏輯符號 5復(fù)合邏輯運算：與非、或非、與或非、異或、同或與非的邏輯運算符號 ：)()(ABBA或 表2-4 與非的真值表 圖2-3 與非的邏輯符號 或非的邏輯運算符號： )( BA圖2-4 或非的邏輯符號 表2-5 或非的真值表 與或非的邏輯運算符號是 ：)(CDAB圖2-5 與或非的邏輯符號 表2-6 與或非的真值表 異或運算異或運算的定義是輸入相異，輸出為1；輸入相同，輸出為0。其邏輯運算符號是 。表2

4、-7 異或的真值表 圖2-6 異或的邏輯符號同或運算同或運算的定義是輸入相同，輸出為1；輸入相異，輸出為0。其邏輯運算符號是 。表2-8 同或的真值表 圖2-7同或的邏輯符號1. 1818個基本公式個基本公式變量和常量之間的運算規(guī)則變量和常量之間的運算規(guī)則: :重疊律：重疊律：互補律：互補律：交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：分配律：分配律：反演律：反演律：還原律：還原律：求反運算：求反運算：AAAAAA011100AAAAAA10AAAAABBAABBACBACBACBACBA CABACBAACABCBABABABABA )().(AA 01102. 若干常用公式ABABAABAABABAA

5、 CABACBCABA ABAABABAA )(;).(ABAA口訣：長中含短口訣：長中含短,留下短。留下短?？谠E：口訣： 長中含反長中含反, 去掉反。去掉反?？谠E：正負相對口訣：正負相對, 余全完。余全完。說明：說明：兩個（或兩個以上）變量的兩個（或兩個以上）變量的與非與非（或非或非）運算等于兩個（或兩）運算等于兩個（或兩個以上）變量的個以上）變量的非或非或（非與非與）運算。）運算。德德 摩根定理摩根定理（De Morgan)公式的證明：例如：證明:CABACBCABA CABABCACBACBACBACABAAACBCABACBCABA 11代入定理：在任何一個含有變量A的邏輯等式中，若以

6、一函數(shù)式取代該等式中所有A的位置，該等式仍然成立。反演定理：在一個邏輯式Y(jié)中,若將其中所有的“+”變成“”，“”變成“+”，“ 0”變成“1”， “1”變成“0”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得函數(shù)式即為原函數(shù)式的反邏輯式，記作： 。注意：a）運算的優(yōu)先順序。b）不是單個變量上的非號應(yīng)保留不變。Y2.4邏輯代數(shù)的基本定理例1-1 試用反演定理求函數(shù)式 的反邏輯式。解：對偶式對偶式：在一個邏輯式 中,若將其中所有的“+”變成“”，“”變成“+”，“ 0”變成“1”， “1”變成“0”，所得函數(shù)式即為原函數(shù)式的對偶式，記作： 。對偶定理對偶定理：若兩個函數(shù)式相等，那么它們的對偶式也相等。

7、 例1- 2 試求函數(shù)式 的對偶式。解： EDCBAYEDCBAYYDY EDCBAYDEDCBAY2.52.5邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.12.5.1邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)：當輸入變量取值確定之后，輸出變量取值便隨之而定，輸出變量和輸入變量之間是一種函數(shù)關(guān)系。邏輯函數(shù)的表示方法：邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖。2.5.2.邏輯函數(shù)的表示方法1.邏輯真值表邏輯真值表：是由輸出變量取值與對應(yīng)的輸入變量取值所構(gòu)成的表格。列寫方法是：a) 找出輸入、輸出變量，并用相應(yīng)的字母表示；b)邏輯賦值。c)列真值表。用真值表證明：1101111100101100001010000

8、0011110110000001010101000000000BCABCBACACAABCABACBCABA 三人表決電路例如三人表決電路，當輸入變量A、B、C中有兩個或兩個以上取值為1時，輸出為1；否則，輸出為0。 1.邏輯真值表表2-9三人表決電路的邏輯真值表 2.邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式：是將邏輯函數(shù)中輸出變量與輸入變量之間的邏輯關(guān)系用與、或、非等邏輯運算符號連接起來的式子，又稱函數(shù)式或邏輯式。例如：三人表決電路的邏輯函數(shù)式：ABCCABCBABCAY3.邏輯圖邏輯圖邏輯圖：是將邏輯函數(shù)中輸出變量與輸入變量之間的邏輯關(guān)系用與、或、非等邏輯符號表示出來的圖形。三人表決電路的邏輯圖：圖

9、2-8 三人表決電路的邏輯圖4.表示邏輯功能的波形圖ABCY000000000000000101111111111111115邏輯函數(shù)表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換（1）真值表 函數(shù)式a)找出真值表中使函數(shù)值為1的輸入變量取值；b）每個輸入變量取值都對應(yīng)一個乘積項，變量取值為1，用原變量表示，變量取值為0，用反變量表示。c)將這些乘積項相加即可。 （2）函數(shù)式 真值表首先在表格左側(cè)將不同輸入變量取值依次按遞增順序列出來，然后將每組輸入變量取值代入函數(shù)式，并將得到的函數(shù)值對應(yīng)地填在表格右側(cè)即可。（3）函數(shù)式 邏輯圖將函數(shù)式轉(zhuǎn)換成邏輯圖的方法：從輸入到輸出分別用相應(yīng)的邏輯符號取代函數(shù)式中的邏輯運算符號即可

10、。（4）邏輯圖 函數(shù)式將邏輯圖轉(zhuǎn)換成函數(shù)式的方法：從輸入到輸出分別用相應(yīng)的邏輯運算符號取代邏輯圖中的邏輯符號即可。2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準形式（1）最小項和的形式最小項：設(shè)m為包含n個因子的乘積項，且這n個因子以原變量形式或者反變量形式在m中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次，稱m為n變量的一個最小項。n變量共有個 最小項。最小項的編號規(guī)則：使最小項m值為1 的輸入變量取值所對應(yīng)的十進制數(shù)既為該最小項的編號，記作 。 2nmi表2-11 三變量的最小項編號表最小項的性質(zhì)最小項的性質(zhì)：a)對應(yīng)任意一組輸入變量取值，有且只有一個最小項值為1；b)任意兩個最小項之積為0；c)全體最小項之和為1；d)具有邏輯相鄰性

11、的兩個最小項相加，可合并為一項，并消去一個不同因子。將函數(shù)式化成最小項和的形式的方法為將函數(shù)式化成最小項和的形式的方法為：該函數(shù)式中的每個乘積項缺哪個因子，就乘以該因子加上其反變量，展開即可。）（變量型 ABCCBABCAY型）（m 753mmm m 753m）型（， )( 例例2-32-3：寫出：寫出 的最小項之和式。的最小項之和式。ABCBCACY 最小項之和式最小項之和式為為：ABCBCACBAABCBCAABCCBAABCABCBCAACBBAABCBCACY )()( 解：解：1AA例2-4 將函數(shù)式化成最小項和的形式。解： 15,13,10, 9 , 8 , 7 , 5,15131

12、098751015137589mmmmmmmmmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCBADCBABDCBAY（2）最大項積的形式最大項最大項：設(shè)M為包含n個因子的和，且這n個因子以原變量形式或者反變量形式在M中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次，稱M為n變量的一個最大項。n變量共有 個最大項。最大項的編號規(guī)則：使最大項M值為0 的輸入變量取值所對應(yīng)的十進制數(shù)既是最大項的編號，記作 Mi 。在一個在一個或與邏輯式或與邏輯式中，若所有的或項均為最大項，則中，若所有的或項均為最大項，則該邏輯式稱為該邏輯式稱為最大項之積形式最大項之積形式。 n2表2-12 三變

13、量的最大項編號表最大項的性質(zhì)最大項的性質(zhì)：a)對應(yīng)任意一組輸入變量取值，有且只有一個最大項值為0；b)任意兩個最大項之和為1；c)全體最大項之積為0；d)具有邏輯相鄰性的兩個最大項相乘，可合并為一項，并消去一個不同因子。將函數(shù)式化成最大項積的形式的方法為將函數(shù)式化成最大項積的形式的方法為：首先化成最小項和的形式，然后直接寫成除了這些最小項編號以外的最大項積的形式。例2-5 將函數(shù)式化成最大項積的形式。解： DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAMMMMMMMMMMmmmmmmmDCBAABCDDCABBCDADCBADCBADCBADCBADCCBAADDCB

14、ADCBABDCBAY14,12,11, 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 01412116432101015137589（3 3）最小項和最大項的性質(zhì)）最小項和最大項的性質(zhì) n n變量的全部最小項之和恒為變量的全部最小項之和恒為1 1， 全部最大項的之積全部最大項的之積恒為恒為0 0。 任意兩個最小項之積恒為任意兩個最小項之積恒為0 0，任意兩個最大項之和恒，任意兩個最大項之和恒等于等于1 1 。 n n變量的每一個最小（大）項有變量的每一個最?。ù螅╉椨衝 n個相鄰項（相鄰項個相鄰項（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子

15、均相同，又稱為相同，又稱為邏輯相鄰項邏輯相鄰項）。）。1120niim1200niiM)(0jimmji)( 1jiMMji imYikkmYikkikkikkMmmYikkm)(iimM)(miiM（4 4）最小項和最大項的關(guān)系）最小項和最大項的關(guān)系互為反函數(shù)互為反函數(shù)1 YYk12n LLDmY求反函數(shù)求反函數(shù)求對偶式求對偶式求最大項之積式求最大項之積式 例例2-62-6已知已知 )15,14,13, 9 , 6 , 4 , 3(),(mDCBAY利用最小項表達式求其反函數(shù)和對偶式。利用最小項表達式求其反函數(shù)和對偶式。 )12,11,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 1 , 0(m

16、)1514139643(i m),(ikk，DCBAY)15,14,13,10, 8 , 7 , 5 , 4 , 3( )3 , 4 , 5 , 7 , 8 ,10,13,14,15( k12),(nmmmYLLDCBAD解：解：例2-7：寫出 的最大項之積式。ABCBCACY ) 753(m),(， CBAY解：已知則)()()()( 6 , 4 , 2 , 1 , 0k ),(64210CBACBACBACBACBAMMMMMMCBAYikk）（2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換 在電子器件組成實際的邏輯電路時，由于選用不同邏輯功能類型的器件，還必須將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。 邏輯函數(shù)式的

17、八種類型與-或式、與非-與非式、或-與非式、或非-或式、與或非式、與非-與式、或-與式、或非-或非式。與或式 與非-與非式：將與或式兩次求反，并用一次德摩根定理即可。例2-8 試將函數(shù)式 轉(zhuǎn)換成與非-與非式。解：BADBACDY)()()( BADBACDBADBACDBADBACDY與或式 與或非式：先將與或式化成最小項和的形式，然后直接寫成除了這些最小項編號以外的那些編號的最小項的或非形式。例2-9 試將函數(shù)式 轉(zhuǎn)換成與或非式。解：BACBACYCABCBACBAmmmmmmmmCBABCACBACBACBAABCCCBACBAACBBABACBACY640231572.6 邏輯函數(shù)的化簡

18、方法2.6.1 公式化簡法2.6.2 卡諾圖化簡法2.6.3奎恩麥克拉斯基化簡法（Q-M法）邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡化簡要求化簡要求 要求1、邏輯表達式最簡 (器件最少,速度最快) 要求2、邏輯運算關(guān)系統(tǒng)一(器件型號統(tǒng)一)化簡目標: 最簡與或表達式 乘積項最少且乘積項中變量因子最少。邏輯表達式的類型：與或非，或非邏輯表達式的類型：與或非，或非- -或非，或與，與或，與或非，或與，與或，與非非- -與非與非解：對比可知式1含4個與項，其他3式都只含3個與項，所以式1肯定不是最簡；式3、4中各與項都含2個變量，而式2中有一個與項含3個變量。結(jié)論：式3、4同為該函數(shù)的最簡與或表達式。例如，以下4

19、個“與或”表達式是相等的，即他們表示同一函數(shù)試判斷哪一個試最簡“與或”表達式？CABACCBACACBACABACACACBCACBACACBAACBACBCACACBACACACBBACACBCABACBCAZ)4()3()()2() 1 (2.6.1 公式化簡法 邏輯函數(shù)的公式化簡法：邏輯函數(shù)的公式化簡法：是指熟練運用所學基本公式和常用公式，將一個函數(shù)式化成最簡形式。 與或式最簡形式的標準是：與或式最簡形式的標準是：該與或式中包含的乘積項的個數(shù)不能再減少，且每個乘積項所包含的因子數(shù)也不能再減少。 化簡邏輯函數(shù)目的：化簡邏輯函數(shù)目的：消去多余的乘積項和每個乘積項多余的因子，以得到邏輯函數(shù)的最

20、簡形式。 常用公式化簡法：常用公式化簡法：并項法、吸收法、消因子法、消項法、配項法。 并項法并項法例如：ABAABBABBAABBCACBABCAABCBAY1CCBACBACBABACABBACBABCAABCCBAY2BABCBACABCBCAABCCBBAY3吸收法： 例如：消因子法： 例如： AABAABABCDABCABY1CABBCDACABCABBCDACABCABY)()()(2BABAAEDCABEDABCABABY1CBACBABACABBACABCBAY2ADCABDCACABDCACABABY3消項法： 和 。例如：配項法： 或 。例如：CAABBCCAABCAABBC

21、DCAABDEABABCCDEFDEABABCY1DBACBACDEDBACBACDEDBABACBAABCDEDBABDACBAABCY2AAA1 AA BACACBBACBACABCBACBCBABACBACABCBCBACBABACBAACBCCBABACBCBBAY1 ABACBCABCCABABCCBAABCBCAABCCABCBABCAY2CADABDCCADABBCEADCBAABDCCADABBCEADCBADBABDCCADABDBCEADCBADABDCCADABDY1.1.卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖的構(gòu)成A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AA B BAB AB

22、1010 m0 m1 m2 m3 miABA BA B AB1010 0 1 2 3二二變變量量K K圖圖 建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個邏輯變量就以原卡諾圖的右建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個邏輯變量就以原卡諾圖的右邊線（或底線）為對稱軸作一對稱圖形，對稱軸邊線（或底線）為對稱軸作一對稱圖形，對稱軸左面左面（或上面）原數(shù)字（或上面）原數(shù)字前前增增加加一個一個0 0，對稱軸，對稱軸右面右面（或下面）原數(shù)字（或下面）原數(shù)字前前增增加加一個一個1 1。2.6.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法卡諾圖是上下，左右閉合的圖形卡諾圖是上下，左右閉合的圖形。ABC010001111

23、0 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7000111100001 11 1001 2 34 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11ABCDABC0100011110 0 1 2 3 456 7幾何相鄰幾何相鄰：一是相接，即緊挨著；一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩端；二是相對，即任意一行或一列的兩端；三是相重，即對折起來位置重合。三是相重，即對折起來位置重合。三三變變量量K K圖圖四四變變量量K K圖圖2.2.卡諾圖描述邏輯函數(shù)卡諾圖描述邏輯函數(shù) 給出真值表給出真值表 將真值表的每一行的取值填入卡諾圖即可。填入將真值表的每一行的取值填入卡諾圖即可。填入

24、Y Y1 1的的項即可。項即可。 A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010101例：例：ABC0100011110 0 0 0 1 010 1ABC0100011110 1 1 1 給出邏輯函數(shù)的最小項之和式標準與或式給出邏輯函數(shù)的最小項之和式標準與或式將邏輯函數(shù)的將邏輯函數(shù)的最小項最小項在卡諾圖上相應(yīng)的方格中在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填填1 1；其余的方格填其余的方格填0(0(或不填或不填) )。 任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1 1的那些最小項之和。的那些最小項之和。 ),(),(76211mC

25、BAY ),(),(151210974202mDCBAY例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110 1 1 1 1000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 ABCD解：解： 給出邏輯函數(shù)一般與或式給出邏輯函數(shù)一般與或式確定使每個確定使每個與項為與項為1 1的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對 應(yīng)方格應(yīng)方格填填1 1；其余的方格填其余的方格填0(0(或不填或不填) )。也可化為也可化為標準與或式標準與或式，再填入，再填入。 CBACBA),(Y1例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)例：用卡諾圖分

26、別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110 1 111 1解解：A：當：當ABC=1(表示可以為表示可以為0，也，也可以為可以為1)時該與項為時該與項為1，在卡諾圖上對應(yīng)，在卡諾圖上對應(yīng)四個方格四個方格(m4，m5，m6，m7)處填處填1。 )7 , 6 , 5 , 4 , 2( )()(Y1mCBAACCBBACBACB ：當當ABCABC= =1010時該與項為時該與項為1 1，在卡諾，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格圖上對應(yīng)兩個方格(m(m2 2，m m6 6) )處填處填1 1。ADDCBACBAF2000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 11 1 ABCD D D ：

27、 當當ABCDABCD= =1 1時該與項為時該與項為1 1，對應(yīng)八個方格對應(yīng)八個方格(m(m1 1、m m3 3、m m5 5、m m7 7、m m9 9、m m1111、m m1313、m m1515) )處填處填1 1。 ：當當ABCD=ABCD=001001時該與項為時該與項為1 1，對應(yīng)兩個方格對應(yīng)兩個方格(m(m2 2、m m3 3) )處填處填1 1。CBA ：當當ABCDABCD=101=101時該與項為時該與項為1 1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格(m(m1010、m m1111) )處處填填1 1。CBA解：解：AD AD ：當：當ABCDABCD=1=11

28、 1時該與項為時該與項為1 1，對應(yīng)四個方格對應(yīng)四個方格(m9(m9、 m11m11、m13m13、m15)m15)處填處填1 1。某些最小項重復(fù)，只需填一次即可。某些最小項重復(fù)，只需填一次即可。 給出邏輯函數(shù)的最大項之積式標準或與式給出邏輯函數(shù)的最大項之積式標準或與式將邏輯函數(shù)的將邏輯函數(shù)的最大項最大項在卡諾圖上相應(yīng)的方格中在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填填0 0（或不填）（或不填）；其余的方格填其余的方格填1 1。 任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1 1的那些最大項之積。的那些最大項之積。 ),(),(520MCBAY例：用卡諾圖描述邏輯函數(shù)例：用卡諾圖描述邏輯

29、函數(shù)ABC0100011110 0 1 0 1 101 1解：解： 給出邏輯函數(shù)一般或與式給出邏輯函數(shù)一般或與式確定使每個確定使每個或項為或項為0 0的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對 應(yīng)方格應(yīng)方格填填0 0；其余的方格填其余的方格填1 1。也可化為也可化為標準或與式標準或與式，再填入。，再填入。 )(),(YCBACBA例：用卡諾圖分別描述邏輯函數(shù)例：用卡諾圖分別描述邏輯函數(shù)ABC0100011110 0 0 0 0 101 1解：解：A A：當：當ABCABC=0=0( (表示可以為表示可以為0 0，也，也可以為可以為1)1)時該或項為時該或項為0 0，在卡諾圖上對，在卡諾圖上對應(yīng)四個方格應(yīng)四個方格(m(m0 0，m m1 1，m m2 2，m m3 3) )處填處填0 0。 )5 , 3 , 2 , 1 , 0()7 , 6 , 4()(YMmCBA ：當當ABCABC= =0101時該與項為時該與項為0 0，在卡，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格諾圖上對應(yīng)兩個方格(m(m1 1，m m5 5) )處填處填0 0。)B(C3.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖化簡步驟：1)將函數(shù)化為最小項之和的形式；2）畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；3）找出可以合并的最小項；4）選取化簡后的乘積項，選擇原則選擇原則為：