復(fù)變函數(shù)的映射

1、 從第二章開始，利用分析的方法，即通過微分、從第二章開始，利用分析的方法，即通過微分、積分和級(jí)數(shù)分別探討了解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)分別探討了解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用 . 在在這一章中，我們將從幾何的角度對(duì)解析函數(shù)的性質(zhì)這一章中，我們將從幾何的角度對(duì)解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行討論和應(yīng)用進(jìn)行討論 .第七章第七章 共共 形形 映映 射射 在第一章中已經(jīng)介紹過，一個(gè)復(fù)變函數(shù)在第一章中已經(jīng)介紹過，一個(gè)復(fù)變函數(shù) 在幾何上可以看作把在幾何上可以看作把 z 平面上的一個(gè)點(diǎn)集變到平面上的一個(gè)點(diǎn)集變到 w平平面上的一個(gè)點(diǎn)集的映射面上的一個(gè)點(diǎn)集的映射(或變換或變換). 對(duì)解析函數(shù)來說，對(duì)解析函數(shù)來說，由它所構(gòu)成的變

2、換（簡(jiǎn)稱解析變換）還需作進(jìn)一步由它所構(gòu)成的變換（簡(jiǎn)稱解析變換）還需作進(jìn)一步的研究的研究 .)(zfw 共形映射之所以重要，原因在于它能把在比共形映射之所以重要，原因在于它能把在比較復(fù)雜區(qū)域上所討論的問題轉(zhuǎn)到比較簡(jiǎn)單區(qū)域上較復(fù)雜區(qū)域上所討論的問題轉(zhuǎn)到比較簡(jiǎn)單區(qū)域上進(jìn)行討論進(jìn)行討論 . 因此，在解決諸如流體力學(xué)、彈性力因此，在解決諸如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)等實(shí)際問題中，發(fā)揮了重要的作用學(xué)、電磁學(xué)等實(shí)際問題中，發(fā)揮了重要的作用. 在這一章中，我們先分析解析函數(shù)所構(gòu)成映在這一章中，我們先分析解析函數(shù)所構(gòu)成映射的特性，引出射的特性，引出共形映射共形映射這一重要概念這一重要概念 . 然后進(jìn)然后進(jìn)一步研

3、究分式線性函數(shù)和幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的一步研究分式線性函數(shù)和幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射共形映射.1 1、解析變換的保域性、解析變換的保域性2 2、解析變換的保角性、解析變換的保角性導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、單葉解析變換的共形性、單葉解析變換的共形性1 1 解析變換的特性解析變換的特性內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw)( 1 . 7定理定理,且且不不恒恒為為常常數(shù)數(shù).)(也是一個(gè)區(qū)域也是一個(gè)區(qū)域的像的像則則DfGD 證：證：是開集是開集先證先證 G. )(的點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)即證即證G,0Dz 設(shè)有一點(diǎn)設(shè)有一點(diǎn)00)(wzf 使使,0的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為Gw,0充分接近時(shí)充分接近時(shí)

4、與與只須證明只須證明ww 1 1、解析變換的保域性、解析變換的保域性 要探討解析變換的幾何特性，首先要弄清楚復(fù)要探討解析變換的幾何特性，首先要弄清楚復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集(曲線或區(qū)域曲線或區(qū)域)與它的像集之間的對(duì)與它的像集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系.)(保域定理保域定理),(DfG 要證要證性性，由由解解析析函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)的的孤孤立立為心的某為心的某必有以必有以0z,C個(gè)圓周個(gè)圓周,DCC的內(nèi)部全含于的內(nèi)部全含于及及在在使得使得0)(wzf 的內(nèi)部的內(nèi)部上及上及 CC)(0外外除除 z.均不為零均不為零上上因而在因而在 C.0|)(|0 wzf內(nèi)的任意內(nèi)的任意對(duì)在鄰域?qū)υ卩徲?|0ww

5、 w點(diǎn)點(diǎn) |)(|0wzf|0 ww, 0 .)(內(nèi)有解內(nèi)有解在在 Dzfw 為此，為此， 考察考察 wzf)()(zf,Gw 也屬于也屬于 即須證明，即須證明，,0充分接近時(shí)充分接近時(shí)與與當(dāng)當(dāng)ww 方程方程00ww , w有有上的點(diǎn)上的點(diǎn)及在及在zC與與0)(wzf ,有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù))(zfw 于是于是，因因此此由由儒儒歇歇定定理理知知的的內(nèi)內(nèi)部部在在 C wzf)( wwwzf00)(,內(nèi)有解內(nèi)有解在在 D0|)(|00 wwwzf .為開集為開集從而從而G其次，其次，要證明要證明 中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn)G),(11zfw 2w)(2zf均可以用一條完全含于均可以用一條完全

6、含于 的折線聯(lián)結(jié)起來的折線聯(lián)結(jié)起來.G由于由于 是區(qū)域，是區(qū)域，D可在可在 內(nèi)取一條聯(lián)結(jié)內(nèi)取一條聯(lián)結(jié) 的折線的折線D21,zz).)(,)(,()(:221121ztzztzttttzzC 于是，于是，2 . 7推論推論，內(nèi)單葉解析內(nèi)單葉解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw)( 的像的像則則 D.)(也是一個(gè)區(qū)域也是一個(gè)區(qū)域DfG 因因 f(z)不為常數(shù)不為常數(shù)因此，因此，.)(是區(qū)域是區(qū)域DfG )()(:21ttttzfw 就是聯(lián)結(jié)就是聯(lián)結(jié) 的并且的并且21ww、完全含于完全含于 的一條曲線的一條曲線.G從而，從而，仿照柯西積分定理仿照柯西積分定理的古薩證明的第三步，的古薩證明的第三步， 可以找到

7、一條聯(lián)結(jié)可以找到一條聯(lián)結(jié),21ww、內(nèi)接于內(nèi)接于 且完全含于且完全含于 的折線的折線 , G1 于是于是 是連通的是連通的.G下下面面的的定定理理表表明明，.性性解解析析函函數(shù)數(shù)具具有有局局部部單單葉葉3 . 7定理定理,)(0解析解析在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)zzfw ,0)(0 zf且且.)(0的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析在在則則zzf.但但其其逆逆未未必必成成立立平面平面在在函數(shù)函數(shù)zezfz )(,例例如如zezf )(上上.)(平平面面不不是是單單葉葉的的在在但但zezfz :11. 6在在上上一一章章中中曾曾證證明明定定理理在在若函數(shù)若函數(shù))(zf，內(nèi)單葉解析內(nèi)單葉解析區(qū)域區(qū)

8、域 D.0)( zfD內(nèi)內(nèi)則在則在 符合定理?xiàng)l件的解析函數(shù)符合定理?xiàng)l件的解析函數(shù)w = f (z)將將z0的一個(gè)的一個(gè)充分小鄰域變成充分小鄰域變成w0 =f ( (z0) )的一個(gè)曲邊鄰域的一個(gè)曲邊鄰域. .內(nèi)單葉解析內(nèi)單葉解析為一實(shí)數(shù)為一實(shí)數(shù)在區(qū)域在區(qū)域)(2Imaazaewz , 0 ,)(內(nèi)解析內(nèi)解析于區(qū)域于區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw ,0Dz 有有在點(diǎn)在點(diǎn)0z.0)(0 zf導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)線線任意引一條有向光滑曲任意引一條有向光滑曲過過0z)(tzz )(10ttt :C如果如果規(guī)定規(guī)定: : tpp正正向向?qū)?duì)應(yīng)應(yīng)于于割割線線0 , 增增大大的的方方向向,)()(00同向同向與與ttzttz yx0

9、C.)(0tz.0pp)(0ttz , )( 00tzz .0)(0 tz且且正向正向: t 增大的方向增大的方向;那么那么2 2、解析變換的保角性、解析變換的保角性導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 在數(shù)學(xué)分析中在數(shù)學(xué)分析中我們知道，導(dǎo)數(shù)用來刻畫因變量我們知道，導(dǎo)數(shù)用來刻畫因變量相對(duì)于自變量的變化情況，且具有相當(dāng)明顯的幾何相對(duì)于自變量的變化情況，且具有相當(dāng)明顯的幾何意義意義. . 那么，一個(gè)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將會(huì)刻畫怎樣的那么，一個(gè)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將會(huì)刻畫怎樣的關(guān)系呢？又有什么樣的幾何意義呢？關(guān)系呢？又有什么樣的幾何意義呢？.增增大大的的方方向向一一致致與與即即ttz PP0)()()(lim0000t

10、zttzttzt 當(dāng)當(dāng) p, 0時(shí)時(shí)ppp0處處切切線線上上 0pC方向與方向與 C 一致一致.C.0pp)(0tz)(0ttz )(0tz yx0C沿沿，有切線有切線在在從而從而0zC)(0tz ，就是切向量就是切向量它的傾角為它的傾角為. )(arg0tz C.0zyx0)(0tz )(arg0tz 正正向向之之間間與與相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩條條曲曲線線21 CC向向在在交交點(diǎn)點(diǎn)處處的的兩兩條條切切線線正正與與就就是是21 CC,的夾角的夾角之間的夾角之間的夾角. .),(:11tzzC ; )(:22tzzC ：設(shè)設(shè)1C2C)(arg)(arg0102tztz .0z).()(02

11、010tztzz )(arg01tz )(arg02tz )(tzfw , )(10ttt : C0z.yx0z)(0tz vu00w. )(zfw ,)(zfw 經(jīng)經(jīng)過過變變換換的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為曲線曲線的像的像 Cw,)(00的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)是是光光滑滑的的在在點(diǎn)點(diǎn)由由于于tww 0)()(0tttwtw , 0 ,)( 00處處也也有有切切線線上上點(diǎn)點(diǎn)故故zfw )()(00tzzf 且且,)(0就是切向量就是切向量tw )(0tw )(arg0tw 其傾角為其傾角為 即即),(arg0zf ),(arg)(arg)(arg000tztwzf 或或處處切切線線的的傾傾角角在在0w

12、處處切切線線的的傾傾角角在在0zC的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角后后在在經(jīng)經(jīng)變變換換原原曲曲線線定定義義為為0)(:zzfwC , )(arg)(arg00zftz vu00w. w)(0tw )(arg0tw )()()()(0000tzzftwtwtt 導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義. .平平面面疊疊放放在在一一起起，平平面面和和若若將將wz與與使點(diǎn)使點(diǎn)0z，重合重合點(diǎn)點(diǎn)0w,軸軸平平行行軸軸與與 ux的切線與的切線與在點(diǎn)在點(diǎn)則則0zC.)(arg00zfw 的的切切線線所所夾夾的的角角就就是是在在點(diǎn)點(diǎn) 因此可因此可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)著點(diǎn)著點(diǎn)的切線通過變換以后繞的切線通過變換以后繞在在以認(rèn)為曲線以認(rèn)為曲線00z

13、zC，動(dòng)了一個(gè)角度動(dòng)了一個(gè)角度)(arg0zf 0)(zzfw在在它稱為變換它稱為變換 .點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角.意意義義這這就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)輻輻角角的的幾幾何何)(arg0zf 由此可知，由此可知，的切線的的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)像曲線像曲線)(00zfw 方向，方向，切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角在點(diǎn)在點(diǎn)可由原像曲線可由原像曲線0zC.)(arg0得出得出zf . )()(arg00無關(guān)無關(guān)與與有關(guān)有關(guān)僅與僅與Czzf 2 1 1C說明說明: 轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線 C 的形狀無關(guān)的形狀無關(guān).映射映射 w = f(z) 具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性.0w映射映

14、射經(jīng)經(jīng))(zfw 1C1 )(arg0zf 2C2 2C0z.)(arg)(arg)(arg02020tztwzf )(arg)(arg)(arg000tztwzf )(arg)(arg0101tztw 則有則有)(arg)(arg)(rg)(arg01020102tztztwatw 的夾角的夾角在在與與 021w 的的夾夾角角在在與與 021zCC結(jié)論結(jié)論:)(zfw 的夾角的夾角. 2121之間的夾角之間的夾角與與對(duì)應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的曲線與與映射后跟映射后跟 CC方向不變的性質(zhì)方向不變的性質(zhì), 此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為保角性保角性. 的的大大小小和和具具有有保保持持兩兩曲曲線線間間夾夾角角映映射射

15、 )( zfw 之間之間與與的任意兩條曲線的任意兩條曲線相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)210 CCz在其大小和方向上都等同于經(jīng)過在其大小和方向上都等同于經(jīng)過的幾何意義的幾何意義下面研究下面研究)( 0zf 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因?yàn)橐驗(yàn)?0 irezz 令令 Cvu0yx0s )(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww wz0000)()(zzwwzzzfzf iiree s )(0zf所以所以)(0lim izzerss ,)( iers的伸的伸受到變換后在受到變換后在可看作是曲線可看作是曲線00| )(|zCzf .張系數(shù)張

16、系數(shù)的每個(gè)方向上都是一的每個(gè)方向上都是一這個(gè)伸張系數(shù)在過這個(gè)伸張系數(shù)在過0z.樣的樣的，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1| )(|0 zf出出發(fā)發(fā)的的任任意意無無窮窮小小距距從從0z,離離;映射后都被伸長(zhǎng)了映射后都被伸長(zhǎng)了，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1| )(|0 zf出出從從0z,發(fā)發(fā)的的無無窮窮小小距距離離.映射以后則被壓縮了映射以后則被壓縮了 ieRzf )( 0設(shè)設(shè) Cvu0yx0s )(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.wz,0 irezz 令令.0 ieww .R szz 0lim zw 因此因此: 的的后后通通過過點(diǎn)點(diǎn)是是經(jīng)經(jīng)過過映映射射 )( )(00zzfwzf , 0的伸縮率的伸縮率在在的任何曲線

17、的任何曲線zC方向無關(guān)方向無關(guān). 的的在在稱稱為為曲曲線線 0zC,可可知知從從上上述述導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義把把映射映射)(zfw 的的成成一一個(gè)個(gè)和和原原來來大大致致一一樣樣附附近近的的一一個(gè)個(gè)幾幾何何圖圖形形變變0z.圖形圖形 例如，例如，把把一一個(gè)個(gè)半半徑徑充充分分小小的的圓圓映映射射)(zfw :周周|:|00wwwrzz 平面上的圓周平面上的圓周近似地變成近似地變成.| )(|0rzf zwzfz 00lim| )(|的形狀及的形狀及它與曲線它與曲線 C 所以這種映射又具有所以這種映射又具有伸縮率的不變性伸縮率的不變性.伸縮率伸縮率1例例處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)試求變換試求變換izz

18、zzfw 14)(2,旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大？并并說說明明它它將將 z哪一哪一?部分縮小部分縮小解解, 42)( zzf因因izzf 1)(arg,4 ,1處處故在故在iz izz 1)42arg()1(2argi 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角)(zf 伸縮率伸縮率, 1)( zf當(dāng)當(dāng),)2(222yx iyxz 設(shè)設(shè),21,2的的圓圓內(nèi)內(nèi)縮縮小小半半徑徑為為為為中中心心故故在在以以 z,41)2(22時(shí)時(shí)即即 yx反之放大反之放大.21,2的圓外放大的圓外放大半徑為半徑為為中心為中心以以 z,縮縮小小42)( zzf通過以上分析通過以上分析, 有有1 . 7定義定義的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)

19、有有定定義義，在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)0)(zzfw 具具有有：且且在在0z；伸縮率不變性伸縮率不變性下，下，變換變換的任意兩曲線的夾角在的任意兩曲線的夾角在過過)(0zfwz )1() 2(,既保持大小既保持大小,有保持方向有保持方向在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù))(zfw )(zfw 或稱或稱.保角變換保角變換內(nèi)處內(nèi)處在區(qū)域在區(qū)域如果如果Dzfw)( 處都是保角的，處都是保角的， 則則稱稱在在或稱或稱)(zfw .0處是保角變換處是保角變換在點(diǎn)在點(diǎn) z，是保角的是保角的0z內(nèi)是保角的，內(nèi)是保角的，在區(qū)域在區(qū)域 Dzfw)( 內(nèi)是內(nèi)是區(qū)域區(qū)域 D例例. 所構(gòu)成的變換所構(gòu)成的變換考察考察zw 解解對(duì)于復(fù)

20、平面上的任意一點(diǎn)對(duì)于復(fù)平面上的任意一點(diǎn)D，有，有|lim000zzwwzz |lim000zzzzzz 1 （極限存在）（極限存在）; 具有伸縮率不變性具有伸縮率不變性因此變換因此變換zw 定義定義7.1 對(duì)于定義在對(duì)于定義在D內(nèi)的變換內(nèi)的變換w=f(z), , 如果它在如果它在D內(nèi)任意一點(diǎn)具有保角性和伸縮率不變性，則稱內(nèi)任意一點(diǎn)具有保角性和伸縮率不變性，則稱w=f(z)是是第一類保角變換；第一類保角變換；如果它在如果它在D內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)保持曲線的交角的大小不變但方向相反和伸縮率不保持曲線的交角的大小不變但方向相反和伸縮率不變，則稱變，則稱w=f(z)是是第二類保角變換第二類保角變換.

21、.，是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的變換是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的變換又由于又由于 zw 因此它使得因此它使得.方向相反方向相反曲線的交角大小不變但曲線的交角大小不變但xyozz根據(jù)定義知，根據(jù)定義知，是第是第函數(shù)函數(shù) zw .二類保角變換二類保角變換4 . 7定理定理內(nèi)解析，內(nèi)解析，在區(qū)域在區(qū)域如果如果Dzfw)( 則它在導(dǎo)數(shù)則它在導(dǎo)數(shù).不不為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)處處是是保保角角的的5 . 7推論推論，內(nèi)單葉解析內(nèi)單葉解析在區(qū)域在區(qū)域若若Dzfw)( )(zfw 則則.內(nèi)是保角的內(nèi)是保角的在在 D需要特別指出的是，需要特別指出的是，0)(0 zf是必要的，是必要的，否則否則保角性將不成立保角性將不成立. 2例例, 0 21

22、3處的導(dǎo)數(shù)值處的導(dǎo)數(shù)值與與在在求函數(shù)求函數(shù) zizzw并說并說.明其幾何意義明其幾何意義解解, )( 3的的在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上是是解解析析函函數(shù)數(shù)zzfw 3)(zzfw 其導(dǎo)數(shù)為其導(dǎo)數(shù)為,3)(2zzf )1(, 1iz 對(duì)對(duì)3)( ifie 3 , 0 處處具具有有保保角角性性和和伸伸縮縮率率在在因因此此變變換換 13izzw 不變性，不變性，其伸縮率為其伸縮率為 ，3 旋轉(zhuǎn)角為旋轉(zhuǎn)角為. )2(, 0 2 z對(duì)對(duì), 0)0( f處不具處不具在在變換變換 0 23 zzw.有保角性有保角性xyo 1C2Cuvo1 2 33例例試證：試證：與與將將互互相相正正交交的的直直線線族族1

23、CezRewiz 12tanImCuvCz 線線族族依依次次變變?yōu)闉榛セハ嘞嗾唤坏牡闹敝?2222Cevu 與圓周族與圓周族證：證：正交直線族正交直線族1CezR 2ImCz 與與在變換在變換izew 之下，之下， 有有izewivu 即即有有像像曲曲線線族族,2222Cevu 與與,1221)(iCCiCCieee 即即,2222Cevu ,tan1Cuv ,arctan1Cuv 且且處處解析處處解析平面上平面上由于在由于在,izewz iziedzdw 平平面面上上圓圓周周族族因因此此在在 w2222Cevu 與直線族與直線族1tanCuv .也是互相正交的也是互相正交的，0 單單葉葉

24、且且保保角角的的，,共形的共形的2 . 7定義定義內(nèi)內(nèi)是是在在區(qū)區(qū)域域如如果果Dzfw)( 內(nèi)是內(nèi)是在在則稱此變換則稱此變換Dzfw)( 內(nèi)內(nèi)也稱它為也稱它為 D的的注：注：,0)()(00 zfzzfw有有在解析點(diǎn)在解析點(diǎn)若解析函數(shù)若解析函數(shù)連連續(xù)續(xù)性性知知，則則由由)(zf ,0)(0 zfz 的鄰域內(nèi)必有的鄰域內(nèi)必有在點(diǎn)在點(diǎn)，保角保角在點(diǎn)在點(diǎn)于是于是0)(zzfw 的鄰域內(nèi)單葉的鄰域內(nèi)單葉因而在因而在0z，保角保角；共共形形局局部部的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)從從而而在在)(0zD若在區(qū)域若在區(qū)域.共形映射共形映射3 3、單葉解析變換的共形性、單葉解析變換的共形性共形，共形，整體整體內(nèi)內(nèi))()(zf

25、w )(局部局部?jī)?nèi)處處內(nèi)處處必然在必然在 D,共形共形.反之則未必成立反之則未必成立4例例的的保保角角性性和和為為正正整整數(shù)數(shù)討討論論解解析析函函數(shù)數(shù))(nzwn .共形性共形性解：解： )1(因?yàn)橐驗(yàn)? nnzdzdw0 , )0( z所以，所以，,0外外平面上除原點(diǎn)平面上除原點(diǎn)在在 zzzwn.處處都是保角的處處都是保角的)2(,原原點(diǎn)點(diǎn)的的單單葉葉性性區(qū)區(qū)域域是是頂頂點(diǎn)點(diǎn)在在由由于于nzw 張度張度.2的角形區(qū)域的角形區(qū)域不超過不超過n nzw 故在此角形區(qū)域內(nèi)故在此角形區(qū)域內(nèi).是共形的是共形的,2的角形區(qū)域內(nèi)的角形區(qū)域內(nèi)在張度超過在張度超過n 則不是則不是,共形的共形的.是是共共形形的

26、的但但在在其其中中各各點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)6 . 7定理定理,)(內(nèi)內(nèi)單單葉葉解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)Dzfw 則則)1(. )()(DfGDzfw 共共形形映映射射成成區(qū)區(qū)域域?qū)?2(內(nèi)單葉解析，內(nèi)單葉解析，在區(qū)域在區(qū)域反函數(shù)反函數(shù)Gwfz)(1 且且)(1)(001zfwf ).)(,(000GzfwDz 證：證：)2(,)(內(nèi)單葉解析內(nèi)單葉解析在在由于由于Dzf,0Dz 故故.0)(0 zf,)(的單葉滿變換的單葉滿變換到到是是又因又因GDzfw 于是，于是，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0ww ,0zz 在在即反函數(shù)即反函數(shù))(1wfz .內(nèi)單葉內(nèi)單葉區(qū)域區(qū)域 G故故0011)()(wwwfwf .100zzww 內(nèi)內(nèi)解解析析，在在區(qū)區(qū)域域由由于于Dyxivyxuzf),(),()( :方程方程內(nèi)滿足內(nèi)滿足故在故在RCD ,yxvu 00wwzz .xyvu yxyxvvuu故故xxxxuvvu 22xvux 2|xxivu 2| )(|zf . 0 ，內(nèi)內(nèi)即在該鄰域即在該鄰域)(0wN由由隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理知知，存存在在兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)),(, ),(vuyyvuxx .)(0000內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)及及其其某某一一鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)wNivuw ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)