理論力學(xué)第十五章

1、第十五章第十五章虛位移原理虛位移原理理論力學(xué)（）東北大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)研究所李 永 強(qiáng)第十五章第十五章 虛位移原理虛位移原理15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功1 約束及其分類限制質(zhì)點或質(zhì)點系運(yùn)動的條件稱為限制質(zhì)點或質(zhì)點系運(yùn)動的條件稱為約束約束，限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程約束方程.限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的條件稱為限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束.222lyx（1）幾何約束和運(yùn)動約束如如0,zyxf15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功限制質(zhì)點系運(yùn)動情況的運(yùn)動學(xué)條件稱運(yùn)動約束運(yùn)動約束.0rvA 022BABABy

2、lyyxx0rxA222ryxAA15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功2022tvlyx2 定常約束和非定常約束約束條件隨時間變化的稱非定常約束非定常約束,否則稱定常約束稱定常約束.15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功（3 3） 其它分類其它分類約束方程中包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)約束方程中包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù), ,且不可能積分為有且不可能積分為有限形式的約束稱限形式的約束稱非完整約束非完整約束, ,否則為否則為完整約束完整約束. .約束方程是等式的，稱約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束雙側(cè)約束（或稱（或稱固執(zhí)約束固執(zhí)約束），），約束方程為不等式的，稱約束方程為不等式的，稱單側(cè)

3、約束單側(cè)約束（或稱（或稱非固執(zhí)單側(cè)約束非固執(zhí)單側(cè)約束）。）。本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；sizyxzyxfnnni, 2, 10,111 n n為質(zhì)點系數(shù)，為質(zhì)點系數(shù)，S S 為約束方程數(shù)為約束方程數(shù)15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功2 2 虛位移虛位移 在某瞬時在某瞬時,質(zhì)點系在約束允許的條件下質(zhì)點系在約束允許的條件下,可能實現(xiàn)的任何可能實現(xiàn)的任何無限小的位移稱為無限小的位移稱為虛位移虛位移 .虛位移虛位移,xr等等實位移實位移d ,d ,drx等等虛功虛功 rFW4 4 理想約束理想約束如果在質(zhì)點系的任何虛位移中如果在質(zhì)點系的

4、任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為等于零，稱這種約束為理想約束理想約束.0iNiNiNrFWW力在虛位移中作的功稱虛功力在虛位移中作的功稱虛功.15-1 15-1 約束約束 虛位移虛位移虛功虛功即即0iirF設(shè)質(zhì)點系處于平衡設(shè)質(zhì)點系處于平衡, ,有有0NiiFF或記為或記為0FiW此方程稱此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱其表達(dá)的原理稱虛位移原理虛位移原理或或虛功原理虛功原理:0iNiiirFrF0iNiiirFrF 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理對于具有理想約束的質(zhì)點系對于具有理想約束的質(zhì)點系,其平衡的充分必要條件是其平衡的充分必要條件是:

5、作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零等于零.解析式為解析式為0iziiyiixizFyFxF例例15-1 15-1 如圖所示如圖所示, ,在螺旋壓榨機(jī)的手柄在螺旋壓榨機(jī)的手柄ABAB上作用一在上作用一在水平面內(nèi)的力偶水平面內(nèi)的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺桿的螺螺桿的螺距為距為. .FF,FlM2h求求:機(jī)構(gòu)平衡時加在被壓物體上的力機(jī)構(gòu)平衡時加在被壓物體上的力. 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解:給虛位移給虛位移, s02FlsFWNF滿足如下關(guān)系：滿足如下關(guān)系：s與hs2022hFFlWNF是任

6、意的因，故故02hFFl2NFhlFN4平衡時加在物體上的力求螺距為已知:,2:hFlM 例15-2圖中所示結(jié)構(gòu),各桿自重不計,在點作用一鉛直向上的力,lGEDGCBCDCEAC求求: :支座支座的水平約束力的水平約束力. . 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解: :解除解除B端水平約束端水平約束, ,以力以力F FBX BX 代替：代替：cos3,sin2sin3,cos20lylxlylxyFxFwGBGBGBBxF0l3Fl2FBxcossincot23FFBx代入虛功方程代入虛功方程: 處水平反力求已知BlGEDGCBCDCEACF:,:0cos3cos3cos)sin2(0

7、0lFlklklFBx解得解得cotcot230kFFBx000GGGCCBBxFGCyFyFyFxFWkFFcos3,cos,sin2sin3,sin,cos2lylylxlylylxGCBGCB如圖在如圖在CG CG 間加一彈簧間加一彈簧, ,剛度剛度K, ,且已有伸長量且已有伸長量0 0 , ,仍求仍求 F FBXBX . .在彈簧處也代之以在彈簧處也代之以力力, ,如圖如圖, ,其中：其中： 例例15-315-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中, ,連桿連桿AB長為長為L, ,滑塊滑塊, ,與桿重均不計與桿重均不計, ,忽略各處摩擦忽略各處摩擦, ,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡機(jī)構(gòu)在圖示位置

8、平衡. .BAFF 與求：主動力求：主動力 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 15-2 15-2 虛位移原理虛位移原理解解: (1) (1) 幾何法：幾何法： 給虛位移給虛位移,BArr0iirF代入虛功方程代入虛功方程, ,有有0cosBBBArFrF即即tanBAFF 由由sincosABrr( ( 在在 A , ,B 連線上投影相等連線上投影相等) )BArr,0BBAArFrF關(guān)系。與平衡時求略自重和摩擦已知BAFFl:,:(2) (2) 用解析法用解析法. .建立建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系, ,由：由：0FFFziziyiyixixi有有0yAAxBBFFsin,coslylxAB得得tanBAFF

9、cos,sinllyAxB關(guān)系。與平衡時求略自重和摩擦已知BAFFl:,:代入到代入到得中,0iirF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有,sincosABvv代入上式代入上式得得tanBAFF 0AABBvFvF(3) (3) 虛速度法虛速度法定義定義: trvtrvBBAAdd,為虛速度為虛速度關(guān)系。與平衡時求略自重和摩擦已知BAFFl:,:例例15-415-4如圖所示機(jī)構(gòu)如圖所示機(jī)構(gòu), ,不計各構(gòu)件自重與各處摩不計各構(gòu)件自重與各處摩擦擦, ,求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時, ,主動力偶矩主動力偶矩與主動力與主動力之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 15-2 15-2 虛位移原理虛

10、位移原理解解: : 給虛位移給虛位移cr,0cFrFMw由圖中關(guān)系有由圖中關(guān)系有sinearr 2sin,sinhrrhOBraCe代入虛功方程得代入虛功方程得 2sinFhM 關(guān)系。與平衡時求略自重和摩擦已知FM:,:用虛速度法用虛速度法:2sin,sinhvvhOBvCae代入到代入到 2sin,0FhMFvMC亦得亦得中中用建立坐標(biāo)用建立坐標(biāo),取變分的方法取變分的方法,有有0CxFM解得解得2sinFhM 關(guān)系。與平衡時求略自重和摩擦已知FM:,:2sinhxCBChxCcot求求:AF例例15-515-5求圖所示無重組合梁支座求圖所示無重組合梁支座的約束力的約束力. .解：解除解：解除

11、A處約束，代之處約束，代之 ，給虛位移，如圖：，給虛位移，如圖： AF代入虛功方程代入虛功方程, ,得得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2sss束反力無重組合梁，求：支座已知A:r rE EOABD4m5mEM3mF0ErFMBArr 4r rB Br rA A 例例156 已知：已知：M，忽略各桿自重，問：平衡時彈簧受力，忽略各桿自重，問：平衡時彈簧受力F解：解： 去掉彈簧支座以反力代替去掉彈簧支座以反力代替并給出虛位移：并給出虛位移：列虛功方程：列虛功方程：534 5)3(BErr其中：

12、MF203代入后可得：AB 桿瞬時平動桿瞬時平動ABD P1P1P2CFE例例15157 7 均質(zhì)桿長均質(zhì)桿長AB=BC=AB=BC=L L，桿重皆為，桿重皆為P P1 1，滑塊，滑塊 C C重重P P2 2，滑軌傾角為，滑軌傾角為，求：平衡時角求：平衡時角為多大。為多大。yxABD P1P1P2CFE解：建立如圖坐標(biāo)系，解：建立如圖坐標(biāo)系，？平衡時求已知：:,21PPlBCABsin2lxD各力作用點坐標(biāo)各力作用點坐標(biāo)及其變分為：及其變分為：cos2lxDcos2lyDsin2lyDsin2lxEcos2lxEcos23lyEsin23lyE0Cx0Cxcos2lyCsin2lyC？平衡時求已知：:,21PPlBCAB列虛功方程：列虛功方程：0)(yFxFyx0sinsincossincos21111CEEDDyPyPxPyPxPcot)(2tan211PPP代入各坐標(biāo)變分后解