數(shù)字電路理論基礎(chǔ)

1、第一講 分析數(shù)字電路所需的理論基礎(chǔ) 模擬量和數(shù)字量 數(shù)制與碼制 邏輯函數(shù) 邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）的基本定律 邏輯函數(shù)的化簡方法 邏輯函數(shù)與邏輯圖1-1 模擬量和數(shù)字量 模擬量（analog）： 是指連續(xù)取值的物理量； 自然環(huán)境下，大多數(shù)物理量都是模擬量； 數(shù)字量（digital）： 是指離散取值的物理量； 盡管自然界中大多數(shù)物理量是模擬量，但仍可以用數(shù)字形式來表示；1-2 數(shù)制與碼制一、數(shù)制：表示數(shù)量多少的記憶制度； 1、 常見的數(shù)制有： 十進(jìn)制；二進(jìn)制；八進(jìn)制；十六進(jìn)制； 一般的表記形式：iiixaKN)(其中：x=D時(shí)表示是十進(jìn)制；x=B時(shí)表示二進(jìn)制；x=O表示八進(jìn)制；x=H表示十六進(jìn)制；N

2、為一串字?jǐn)?shù)符號(hào)；a為基數(shù)；十進(jìn)制的a=10；二進(jìn)制的a=2；八進(jìn)制的a=8；十六進(jìn)制的a=16；Ki為基數(shù)a的第i次冪的系數(shù)；ai稱為第i位的權(quán)例如例如（ 在此以四位正整數(shù)為例）：在此以四位正整數(shù)為例）：01233001233001233001233016016101691615)16()09(818086878)7601(212120212)1011(10510310610910)9635(iiiHiiiOiiiBiiiDkAFkkk2、數(shù)制的特征：、數(shù)制的特征：1、不同進(jìn)制所需的表示符號(hào)個(gè)數(shù)與形態(tài)不同； 十進(jìn)制符號(hào)有：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9； 二進(jìn)制符號(hào)有：0、1； 八進(jìn)制

3、符號(hào)有：0、1、2、3、4、5、6、7； 十六進(jìn)制符號(hào)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；2、對(duì)正整數(shù)而言，i=0位的權(quán)均為1。故將i=0位稱為：個(gè)位；3、高位與相鄰的低位的比值等于進(jìn)位數(shù)值；4、當(dāng)將數(shù)制表示的位數(shù)增加一位0時(shí)有： 最低位增加：相當(dāng)將原數(shù)值乘以基數(shù)a； 最高位增加：相當(dāng)將原數(shù)值除以基數(shù)a；注意：對(duì)于二進(jìn)制有下述的特殊稱呼； 將最高的一位的權(quán)稱為：MSB（most significant bit） 將最低的一位的權(quán)成為：LSB （least significant bit）3、不同進(jìn)制數(shù)制間的等值轉(zhuǎn)換：、不同進(jìn)制數(shù)制間的等值轉(zhuǎn)換： *、由于十進(jìn)制是人

4、類使用最熟練的進(jìn)制，因此通常是將不同進(jìn)制數(shù)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。其最基本的方法如前所述，即用定義展開獲得。 *、將十進(jìn)制數(shù)制轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制數(shù)制的方法為： 整數(shù)采用除以基數(shù)a，其余數(shù)即為轉(zhuǎn)換位的數(shù)值；（低位在先） 小數(shù)采用乘以基數(shù)a，其積的整數(shù)即為轉(zhuǎn)換位的數(shù)值；（高位在先） *、轉(zhuǎn)換數(shù)制的精度：整數(shù)無誤差；小數(shù)有誤差；2106543210201234561010111118711021001221122511521111112221122243114328787故所求：余數(shù)為余數(shù)為余數(shù)為余數(shù)為余數(shù)為余數(shù)為余數(shù)為）（）（DDDDDDDDDDDDDD例：72106543212654321010201101

5、1187. 01168. 1284. 01184. 1292. 01192. 1296. 00096. 0248. 01148. 1274. 01174. 1287. 0)()87. 0(誤差故所求：整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)為DDDDDDDDDDDDD例：*、二進(jìn)制與十六進(jìn)制、八進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換 4位二進(jìn)制碼對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制碼； 3位二進(jìn)制碼對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制碼；注意： 數(shù)字電路采用0、1表示信息，其形式與二進(jìn)制碼相似。通常在人為記憶時(shí)往往采用十六進(jìn)制紀(jì)錄。如信息：10011101，01000111，00001011人在紀(jì)錄與表述時(shí)采用：9DH，47H，0BH。二、碼制： 即采用若干位二進(jìn)制

6、信息表示具體信息（數(shù)碼信息、代碼信息）的編碼形式； 數(shù)字系統(tǒng)中常用的編碼（碼制）有兩類：二進(jìn)制編碼、二-十進(jìn)制編碼1、二進(jìn)制編碼： 常用的有兩種：自然二進(jìn)制碼；循環(huán)二進(jìn)制碼十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)自然二進(jìn)制碼自然二進(jìn)制碼循環(huán)二進(jìn)制碼循環(huán)二進(jìn)制碼十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)自然二進(jìn)制碼自然二進(jìn)制碼循環(huán)二進(jìn)制碼循環(huán)二進(jìn)制碼000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000

7、表：兩種4位二進(jìn)制編碼說明：說明：#、自然二進(jìn)制編碼，是一種有權(quán)碼。即這種編碼中的每位代碼都有固定的全值。 每一位的權(quán)為：2i （i是碼元位序，i=0，1，2，n-1）； 自然二進(jìn)制碼是最簡單的一種二進(jìn)制編碼。其結(jié)構(gòu)形式與二進(jìn)制數(shù)完全相同。#、循環(huán)二進(jìn)制編碼，是一種無權(quán)碼。其特征是任何相鄰的兩個(gè)碼字中，僅有一 位代碼不同，其他位代碼則相同。該碼又稱：單位距離碼。編碼方法不是唯一 的。2、二、二-十進(jìn)制編碼（十進(jìn)制編碼（BCD碼）碼） 將十進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)碼用二進(jìn)制的形式表示出來，這便是用二進(jìn)制代碼對(duì)十進(jìn)將十進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)碼用二進(jìn)制的形式表示出來，這便是用二進(jìn)制代碼對(duì)十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼，簡稱制數(shù)進(jìn)行

8、編碼，簡稱BCD碼。碼。十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼5211碼余3碼格雷碼000000000000000110000100010001010001000001200100010001101010011300110011010101100010401000100011101110110501011011100010001110601101100101010011010701111101110010101000810001110111010111100910011111111111000100表：常用表：常用BCD碼碼幾種幾種BCD碼的特點(diǎn)：碼的特點(diǎn)：#、8421碼：譯碼電路較簡單，容易理解；加法

9、運(yùn)算規(guī)則復(fù)雜；碼：譯碼電路較簡單，容易理解；加法運(yùn)算規(guī)則復(fù)雜；#、2421碼與碼與5211碼與碼與8421碼一樣屬于有權(quán)碼。碼一樣屬于有權(quán)碼。 但有其特殊的特點(diǎn)：任意兩個(gè)但有其特殊的特點(diǎn)：任意兩個(gè)2421或或5211碼相加均等于碼相加均等于11112（或（或910）#、余三碼是在、余三碼是在8421碼的基礎(chǔ)上，把每個(gè)代碼都加上碼的基礎(chǔ)上，把每個(gè)代碼都加上0011碼而形成的。碼而形成的。 主要優(yōu)點(diǎn)是執(zhí)行十進(jìn)制數(shù)相加時(shí)，能正確地產(chǎn)生進(jìn)位信號(hào)，而且還給減法主要優(yōu)點(diǎn)是執(zhí)行十進(jìn)制數(shù)相加時(shí)，能正確地產(chǎn)生進(jìn)位信號(hào)，而且還給減法運(yùn)算帶來了方便。運(yùn)算帶來了方便。#、格雷碼的編碼規(guī)則，是使任何兩個(gè)相鄰的代碼只有一

10、個(gè)二進(jìn)制位的狀態(tài)不、格雷碼的編碼規(guī)則，是使任何兩個(gè)相鄰的代碼只有一個(gè)二進(jìn)制位的狀態(tài)不同，其余三個(gè)二進(jìn)制位必須有相同狀態(tài)。同，其余三個(gè)二進(jìn)制位必須有相同狀態(tài)。 好處是，從某一編碼變到下一個(gè)相鄰編碼時(shí)，只有一位的狀態(tài)發(fā)生變化，好處是，從某一編碼變到下一個(gè)相鄰編碼時(shí)，只有一位的狀態(tài)發(fā)生變化，有利于得到更好的譯碼波形。格雷碼屬于一種循環(huán)碼。有利于得到更好的譯碼波形。格雷碼屬于一種循環(huán)碼。1-3 邏輯函數(shù)1、邏輯函數(shù)的定義： 在一個(gè)函數(shù)中若變量的取值僅有兩種選擇（常用1和0表示），則將這類函數(shù)稱為邏輯函數(shù)。 邏輯函數(shù)中的變量一般用大寫字母表示，其函數(shù)一般用F表示。 即：F=f（A，B，C）2、邏輯函數(shù)的

11、表示（描述）方法：、邏輯函數(shù)的表示（描述）方法： #、通用函數(shù)式表示法；又稱布爾代數(shù)表述法。 #、真值表表示法；即圖表表示法。 #、邏輯圖表示法；即用基本邏輯電路圖形表示法。 #、卡若圖表示法；即用一種幾何圖形表示法。 #、波形圖表示法；既用電平的高低變化來表示。 #、硬件設(shè)計(jì)語言法；是采用一種計(jì)算機(jī)高級(jí)語言來描述邏輯函數(shù)并進(jìn)行設(shè)計(jì)的方法。目前應(yīng)用最廣的兩種計(jì)算機(jī)高級(jí)語言是：ABLE-HDL；VHDL。3、基本的邏輯函數(shù)、基本的邏輯函數(shù) 任何復(fù)雜的邏輯函數(shù)都是由基本邏輯函數(shù)的組合構(gòu)成的。 表示方法邏輯關(guān)系邏輯圖符邏輯函數(shù)式 真值表 A B F 與函數(shù)F=ABF=A&B 0 0 0 1

12、1 0 1 10001或函數(shù)F=A+BF=A#B 0 0 0 1 1 0 1 10111非函數(shù) 0 110與非函數(shù) 0 0 0 1 1 0 1 1111 0123&ABF312=1ABF211AF123&ABF)#( !BAFBAFAFAF! 表示方法邏輯關(guān)系邏輯圖符邏輯函數(shù)式 真值表 A B F 或非函數(shù) 0 0 0 1 1 0 1 11000異或函數(shù)F=ABF=A$B 0 0 0 1 1 0 1 10110與或非函數(shù)ABCD F0000 10001 10010 1 0011 0 0100 10101 10110 10111 0ABCD F1000 11001 11010 1

13、 1011 0 1100 01101 01110 01111 0123=1ABF)#( !BAFBAF312=1ABF)&#&( !DCBAFDCBAF123&456&123=1ABCDF說明：說明：#、上表中僅以兩個(gè)或一個(gè)邏輯變量為例。其實(shí)邏輯變量可多個(gè)。、上表中僅以兩個(gè)或一個(gè)邏輯變量為例。其實(shí)邏輯變量可多個(gè)。#、邏輯表達(dá)式中上面的為邏輯函數(shù)的一般代數(shù)表達(dá)形式；下面的則是在計(jì)算機(jī)、邏輯表達(dá)式中上面的為邏輯函數(shù)的一般代數(shù)表達(dá)形式；下面的則是在計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)語言硬件設(shè)計(jì)語言ABLE-HDL中的表達(dá)形式。中的表達(dá)形式。#、邏輯圖符有好多種形式，表中采用的是歐洲標(biāo)準(zhǔn)零

14、件圖符、邏輯圖符有好多種形式，表中采用的是歐洲標(biāo)準(zhǔn)零件圖符(DIN)。#、與運(yùn)算又稱邏輯乘；或運(yùn)算又稱邏輯加；異或運(yùn)算又稱模、與運(yùn)算又稱邏輯乘；或運(yùn)算又稱邏輯加；異或運(yùn)算又稱模2加運(yùn)算（不考慮加運(yùn)算（不考慮進(jìn)位時(shí)的加法運(yùn)算，進(jìn)位時(shí)的加法運(yùn)算，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0）。）。4、正邏輯、負(fù)邏輯的概念：、正邏輯、負(fù)邏輯的概念：正邏輯：正邏輯： 把高電平看成邏輯把高電平看成邏輯1，低電平看成邏輯，低電平看成邏輯0的邏輯稱為正邏輯；的邏輯稱為正邏輯；負(fù)邏輯：負(fù)邏輯： 把高電平看成邏輯把高電平看成邏輯0，低電平看成邏輯，低電平看成邏輯1的邏輯稱為負(fù)邏輯；的邏輯稱為負(fù)邏輯；正邏輯正邏

15、輯負(fù)邏輯負(fù)邏輯或門與門與門或門與非門或非門或非門與非門異或門同或門同或門異或門表表:正負(fù)邏輯對(duì)應(yīng)的門電路正負(fù)邏輯對(duì)應(yīng)的門電路1-4邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）的基本定律 布爾代數(shù)又稱邏輯代數(shù)。是邏輯函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，即邏輯函數(shù)在其表述形式轉(zhuǎn)化過程中應(yīng)遵守的基本定律和基本規(guī)則。1110AAAAAAAA1、布爾代數(shù)的定律、布爾代數(shù)的定律基本定律基本定律結(jié)合律結(jié)合律交換律交換律分配律分配律摩根定律摩根定律吸收律吸收律0100AAAAAAAAAA )()()()(CBACBACBACBAABBAABBA)()(CABACBACABACBACBACBACBACBAABAAABAA)(CBACABABABAA)(2

16、 2、布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則、布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則# #、代入規(guī)則：、代入規(guī)則： 任何一個(gè)含有邏輯變量任何一個(gè)含有邏輯變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以一個(gè)的位置都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍成立。邏輯函數(shù)，則等式仍成立。#、反演規(guī)則：、反演規(guī)則： 求一個(gè)邏輯函數(shù)求一個(gè)邏輯函數(shù)F的非函數(shù)的非函數(shù) 時(shí)，可將時(shí)，可將F中的中的與與換成換成或或，或或換成換成與與；再將原變量換成非變量，非變量換成；再將原變量換成非變量，非變量換成原變量原變量；并將；并將1換成換成0，0換成換成1。那么所得的邏輯函數(shù)式就是。那么所得的邏輯函數(shù)式就是 。FF#、對(duì)偶規(guī)則：、對(duì)偶規(guī)則： F

17、是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果把是一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式，如果把F中的中的與與換成換成或或，或或換成換成與與；1換成換成0，0換成換成1。那么得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)式，叫做。那么得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)式，叫做F的的對(duì)偶對(duì)偶1-5 邏輯函數(shù)的化簡方法1、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì)、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì) 最小項(xiàng)的定義：最小項(xiàng)的定義： 對(duì)對(duì)n個(gè)邏輯變量來說，最小項(xiàng)共個(gè)邏輯變量來說，最小項(xiàng)共有有2n個(gè)。個(gè)。 其每個(gè)最小項(xiàng)具有的特征有：其每個(gè)最小項(xiàng)具有的特征有： #、每項(xiàng)都只有、每項(xiàng)都只有n個(gè)因子；個(gè)因子； #、每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；、每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子； #、每一變量或以原變量的形式、每一變量或以原變

18、量的形式出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，各出現(xiàn)一次。各出現(xiàn)一次。例：n=2時(shí)的所有最小項(xiàng)： n=3時(shí)的所有最小項(xiàng)：CBACBACBABCACBACBACABABCBABABAAB,最小項(xiàng)具有的性質(zhì)：最小項(xiàng)具有的性質(zhì)：#、對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1，而在變量，而在變量取其它各組值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值都是取其它各組值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值都是0；#、不同的最小項(xiàng)，使它的值為、不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組變量取值也不同；的那一組變量取值也不同；#、對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為、對(duì)于變量的任

19、一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；#、對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為、對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1；A B C0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001CBACBACBABCACBACBACABABC例：由三變量最小項(xiàng)真值表看最小項(xiàng)的性質(zhì)例：由三變量最小項(xiàng)真值表看最小項(xiàng)的性質(zhì)最小項(xiàng)的編號(hào)表示：最小項(xiàng)的編號(hào)表示： 為了敘述方便，人為的把最小項(xiàng)加以編號(hào)。通常以使其為為了敘述方便，人為的把最小項(xiàng)加以編號(hào)。通常以使其為1的變量取值的十進(jìn)的變量取值的

20、十進(jìn)制數(shù)作為制數(shù)作為m的下標(biāo)來標(biāo)記。的下標(biāo)來標(biāo)記。變量的一組取值A(chǔ)BC對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)k對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)代表符號(hào)mk00000011010201131004101511061117例：三變量最小項(xiàng)編號(hào)例：三變量最小項(xiàng)編號(hào)0mCBA1mCBA2mCBA3mBCA4mCBA5mCBA6mCAB7mABC 2、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法（布爾代數(shù)化簡法）、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法（布爾代數(shù)化簡法）#、化簡目標(biāo)：邏輯函數(shù)表達(dá)式要求化為最簡的與化簡目標(biāo)：邏輯函數(shù)表達(dá)式要求化為最簡的與-或表達(dá)形式或表達(dá)形式(SOP)。 最簡的與最簡的與-或表達(dá)形式特征：首先應(yīng)是乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）的數(shù)目是最少的；或表達(dá)形式特征：首先應(yīng)是乘積項(xiàng)

21、（與項(xiàng)）的數(shù)目是最少的； 其次在滿足乘積項(xiàng)最少的條件下，要求每其次在滿足乘積項(xiàng)最少的條件下，要求每 個(gè)乘積項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)也最少；個(gè)乘積項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)也最少；#、化簡方法：利用布爾代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡。、化簡方法：利用布爾代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡。例：（配項(xiàng)法）（）（）（消去法）（吸收法）（并項(xiàng)法）CAABCBACACABABCBACABCAABCBAACAABCBCAABFCABCABABCBAABCBCAABFBAFEBCDABAFBACCBACBACBAF4321(注意:邏輯表達(dá)式有兩種常用標(biāo)準(zhǔn)形式.SOP(積項(xiàng)和)sum-of-products;POS(和項(xiàng)積)produ

22、ct-of-sums;3、卡諾圖及卡諾圖化簡法、卡諾圖及卡諾圖化簡法#、卡諾圖（、卡諾圖（Karnaugh map）是一種化簡布爾表達(dá)式的圖形工具。）是一種化簡布爾表達(dá)式的圖形工具。 它適用于對(duì)變量數(shù)少于它適用于對(duì)變量數(shù)少于4個(gè)的布爾表達(dá)式進(jìn)行化簡，對(duì)于多于個(gè)的布爾表達(dá)式進(jìn)行化簡，對(duì)于多于4個(gè)個(gè)變量的情況，卡諾圖方法將變的十分麻煩，通常不予使用。變量的情況，卡諾圖方法將變的十分麻煩，通常不予使用。 它分為許多單元，每個(gè)單元表示變量的某種特定組合。對(duì)于給定它分為許多單元，每個(gè)單元表示變量的某種特定組合。對(duì)于給定的卡諾圖，單元總數(shù)等于邏輯表達(dá)式中變量所有可能的組合數(shù)。如的卡諾圖，單元總數(shù)等于邏輯表

23、達(dá)式中變量所有可能的組合數(shù)。如3變量變量SOP表達(dá)式，其卡諾圖有表達(dá)式，其卡諾圖有23=8個(gè)單元；如個(gè)單元；如4變量變量SOP表達(dá)式，其卡表達(dá)式，其卡諾圖有諾圖有24=16個(gè)單元。個(gè)單元。m0m1m2m3m6m7m4m5CBACBACBABCACBACBACABABCABC00011110013變量卡諾圖記法m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m12BABAABBADCDCCDDC4變量卡諾圖記法#、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：第一步：將待化簡的邏輯函數(shù)利用布爾代數(shù)變換為最小項(xiàng)表達(dá)式；第一步：將待化簡的邏輯函數(shù)利用布爾代數(shù)變換為最小項(xiàng)表達(dá)式；第二步：在對(duì)應(yīng)的卡諾圖中將最小項(xiàng)表達(dá)式中的最小項(xiàng)添入對(duì)應(yīng)的單元中（添第二步：在對(duì)應(yīng)的