寧夏銀川市興慶區(qū)長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模考試試題文含解析

PAGE19-寧夏銀川市興慶區(qū)長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模考試試題文（含解析）考試時(shí)間：120分鐘留意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3.做選考題時(shí)，考生須依據(jù)題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.第Ⅰ卷共60分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合B，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的角運(yùn)算，同時(shí)考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，故，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列公式干脆計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.4.已知命題；命題，．則下列命題中是真命題的為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別推斷命題為真，命題為真，得到答案.【詳解】取，可知，故命題為真；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故命題為真；故為真，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假推斷，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力.5.如圖所示，線段是正方形的一條對(duì)角線，現(xiàn)以為一條邊，作正方形，記正方形與的公共部分為（如圖中陰影部分所示），則往五邊形中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】五邊形的面積，陰影的面積為，得到概率.【詳解】不妨設(shè)，故五邊形的面積，陰影的面積為，故所求概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.6.已知向量與的夾角的余弦值為，且，則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由向量與的夾角的余弦值為，且，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的定義，需熟記定義，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分不必要條件()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理即可得出.【詳解】對(duì)于A，，則，故解除A；對(duì)于B，，則與相交或，故解除B；對(duì)于C，，則，故解除C；對(duì)于D，，則；反之，若，與的位置關(guān)系不確定，當(dāng)時(shí)，或，故的一個(gè)充分不必要條件，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線、平面的平行與垂直的推斷、充分條件與必要條件的推斷等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力、轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行四邊形法則求解即可.【詳解】依題意，，故故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)珍寶，其第五卷商功中有如下問(wèn)題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺，問(wèn)積幾何？”翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)就是：今有三面皆為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體的隧道，前端下寬尺，上寬一丈，深尺，末端寬尺，無(wú)深，長(zhǎng)尺（注：一丈十尺）．則該五面體的體積為（）A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺【答案】C【解析】【分析】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖，在，上取，，使得，連接，，，，故多面體的體積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.10.已知函數(shù)在上僅有個(gè)最值，且為最大值，則實(shí)數(shù)的值不行能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)，依據(jù)在上僅有個(gè)最值，且為最大值，得到，解得或，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】，因在上僅有個(gè)最值，且為最大值，故，解得，故，或故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)三角函數(shù)最值求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在左準(zhǔn)線上，若，且直線的斜率，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于N，所以,直線的斜率，所以,在直角三角形中，，，依據(jù)拋物線定義知，,又,,所以,因此是等邊三角形，故，所以的面積為，故選C.12.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：對(duì)恒成立，故，即恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值，故只需保證，解得．故選C．【考點(diǎn)】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,留意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問(wèn)題,即留意正、余弦函數(shù)的有界性.第Ⅱ卷共90分二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.13.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的方程為_______________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)雙曲線的方程為，依據(jù)焦距計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，故，則或，解得或，故雙曲線的方程為或．故答案：或.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程，設(shè)方程為是解題的關(guān)鍵.14.已知實(shí)數(shù)滿意，則的取值范圍為___________________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍.【詳解】作出可行域，如圖所示由得，則為直線在軸上的截距.平移直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z有最小值0.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z有最大值.解方程組得，即點(diǎn)，.故的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.15.已知等比數(shù)列中，，則________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出，結(jié)合二倍角的余弦公式得出，即可求出的值.【詳解】因?yàn)椋允瞧浯蜗笙藿?；因?yàn)?，所以故，故．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知中，，若，，．（1）證明：為等邊三角形；（2）若的面積為，求的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理得到，得到證明.（2）依據(jù)面積得到，再依據(jù)正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理得，所以，解得．又，，所以是等邊三角形．（2）因?yàn)?，且，故，所以，解得，在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．【點(diǎn)睛】本題考察了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.18.共享單車又稱為小黃車，近年來(lái)漸漸走進(jìn)了人們的生活，也成為削減空氣污染，緩解城市交通壓力的一種重要手段．為調(diào)查某地區(qū)居民對(duì)共享單車的運(yùn)用狀況，從該地區(qū)居民中按年齡用隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到這人對(duì)共享單車的評(píng)價(jià)得分統(tǒng)計(jì)填入莖葉圖，如下所示（滿分分）：（1）找出居民問(wèn)卷得分的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）請(qǐng)計(jì)算這位居民問(wèn)卷的平均得分；（3）若在成果為分的居民中隨機(jī)抽取人，求恰有人成果超過(guò)分的概率．【答案】（1）眾數(shù)為，中位數(shù)為；（2）88（3）【解析】【分析】（1）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)，中位數(shù)的定義即可得出答案；（2）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的定義，即可得出這位居民問(wèn)卷的平均得分；（3）由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）依題意，居民問(wèn)卷得分的眾數(shù)為，中位數(shù)為；（2）依題意，所求平均得分為（3）依題意，從人中任選人，可能的狀況為，，，，，，，，，，其中滿意條件的為種，故所求概率；【點(diǎn)睛】本題主要考查了由莖葉圖計(jì)算眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)以及利用古典概型概率公式計(jì)算概率，屬于中檔題.19.在四棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，為棱上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理證明即可；（2）由面面垂直的性質(zhì)得出平面，結(jié)合棱錐的體積公式即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，分別在線段，上，且，故，又平面，平面，故平面；因?yàn)?，故，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，故；又平面，平面，故平面因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面；?）因?yàn)椋矫?，平面平面為平面，平面的交線所以平面，即平面由已知可得，，由．【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明面面平行，求棱錐的體積，屬于中檔題.20.已知橢圓的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，圓是以為直徑的圓．（1）求橢圓的方程；（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)不在圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)離心率公式以及將點(diǎn)代入橢圓方程，聯(lián)立方程組，即可得出橢圓方程；（2）聯(lián)立橢圓以及直線方程，由判別式大于0，得出的范圍，結(jié)合韋達(dá)定理得出，的值，將點(diǎn)與圓的位置，轉(zhuǎn)化為，解不等式，即可得出答案.【詳解】（1）依題意，，，，解得，，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立消去并整理得：因直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有不等的兩實(shí)根，故，解得設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得點(diǎn)不在圓內(nèi)，即又由解得，故，則或．則滿實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)在區(qū)間的最大值為.最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，.分和兩種狀況探討，即求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，則.比較和大小，分和兩種狀況探討，構(gòu)造函數(shù)，求的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令可得；令可得，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.，，.由.①當(dāng)時(shí)，，有.記，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，，即.此時(shí)的取值范圍為.②當(dāng)時(shí)，，有.記，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即.此時(shí)的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）若，求直線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，，，求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求出，，依據(jù)，求出直線的斜率即可．【詳解】（1）由題意，直線，可得直線是過(guò)原點(diǎn)的直線，故其極坐標(biāo)方程為，又，故；（2）由題意，直線l的極坐標(biāo)為，設(shè)、對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，將代入曲線的極坐標(biāo)可得：，故，，，故，則，即，，所以