數(shù)學(xué)建模中的隨機問題

1、2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院12006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2p能夠識別隨機因素和非隨機因素，能識別隨機模型問題和非隨機模型問題p能簡化隨機問題，并能正確假設(shè)隨機變量的分布和檢驗方法p能運用概率知識、統(tǒng)計學(xué)知識描述隨機模型p掌握運用計算機模擬方法解決較簡單的隨機模型問題2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院3問題問題1：傳送帶的效率傳送帶的效率 如圖，工作臺上方一條傳送帶的在運轉(zhuǎn)，傳送帶上有若干個鉤子，工人們將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上，產(chǎn)品被帶走當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后每個工人生產(chǎn)出一種產(chǎn)品的時間不變，但他要掛產(chǎn)品的時刻卻是隨機的，如何描述這種傳送帶的效率？ 效率？效率？

2、隨機因素？隨機因素？規(guī)律？規(guī)律？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院4什么是隨機因素？什么是隨機變量？問題問題2:傳染病的感染人數(shù)傳染病的感染人數(shù) 假設(shè)人群中既有病人(帶菌者)也有健康人，任何兩人之間的接觸是隨機的，當(dāng)健康人與病人接觸時健康人是否被感染也是隨機的如果通過實際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗掌握了這些隨機規(guī)律，那么怎樣估計平均每天有多少健康人被感染，這種估計的準(zhǔn)確性有多大?如何描述隨機變量？分布分布期望期望方差方差統(tǒng)計規(guī)律2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院5問題問題3：一報童從報刊發(fā)行處訂報后零售。 每賣出一份報可賺錢a元。若賣不出去，可退回報刊發(fā)行處，但須賠b元（ab） 。雖然每天賣出的份

3、數(shù)是隨機的，但可由以往賣報紙的情況統(tǒng)計得每天賣n份報紙的概率np。求訂報量*，使報童每天期望損失費達(dá)到最小。 最佳訂報量最佳訂報量適合隨機模型問題的特點：適合隨機模型問題的特點：1.存在影響系統(tǒng)或目標(biāo)的重要隨機因素2.已知或能推斷隨機因素的隨機規(guī)律（分布、或密度）3.已知或能推斷隨機因素之間的關(guān)系（獨立性、相關(guān)性）2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院6周期內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)傳送帶的效率提出問題選擇建模方法推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式求解模型回答問題度量指標(biāo)2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院7模型假設(shè)模型假設(shè)(1)車間中的n個工人生產(chǎn)互相獨立的。(2) 每個工人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時

4、刻是等可能的(3) 每個鉤子至多只能掛一件產(chǎn)品(4) 在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的那只鉤于是空的則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果那只鉤子非空，則他只能將這件產(chǎn)品放在地上，退出傳送系統(tǒng)。2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院8建模與求解建模與求解 設(shè)s表示傳送帶在一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)的期望值n表示在一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)，D表示傳送帶的效率nsD 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院9先計算鉤子能掛上產(chǎn)品的概率：先計算鉤子能掛上產(chǎn)品的概率：設(shè)為某指定鉤子能掛上的產(chǎn)品數(shù)，則的可能取值是 0、1P 為一周期內(nèi)某指定鉤子能掛上產(chǎn)品的概率 對于任一指定的工人來講在一周期內(nèi)他完成一件產(chǎn)品，而他

5、把這件產(chǎn)品掛上經(jīng)過他上方的 m 個鉤子中的任一個是等可能的。故對于任一指定的鉤子而言，它被任一指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是m1沒有被指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是m11。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院10因工人生產(chǎn)的獨立性，故任一指定的鉤子經(jīng)過 n 個工作臺上方后都沒有被掛上產(chǎn)品的概率是nm11，能掛上產(chǎn)品的概率nmP111。 某指定鉤于任一周期內(nèi)平均能掛上的產(chǎn)品數(shù)為nnnmmmE11111111102006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院11因為一周期內(nèi)傳送帶有 m 個鉤子經(jīng)過工作臺上方，所以傳送帶在一周期內(nèi)送走的產(chǎn)品數(shù)的期望值是 nmmEms111 結(jié)果得 nmnmnsD111 當(dāng)n

6、m 時， 2! 2) 1(111mnnmnmn 傳送帶的效率公式可化簡為 mnD211 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院12n=10m2022242628303234363840D0.77500.79550.81250.82690.83930.85000.85940.86760.87500.88160.88752006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13思考問題：思考問題：設(shè)工人數(shù)n固定不變在原來放置一個鉤子的地方放兩個鉤子，那么每個工人在任何時刻可以同時觸到兩個鉤子，只要有一個是空的他就可以掛上產(chǎn)品，試問此時的傳送帶效率如何?模型中哪些地方改變？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)

7、院14模型假設(shè)模型假設(shè) （1）人群只分為病人和健康人兩類，病人數(shù)和健康人數(shù)分別記為 i 和 s，總?cè)藬?shù)為 n 不變，即nsi。 （2）人群中任二人接觸是相互獨立的，具有相同概率，每人每天平均與 m 人接觸。 （3）當(dāng)健康人與一病人接觸后，被感染的概率為。 研究的問題如果更接近實際情研究的問題如果更接近實際情況？你認(rèn)為還須考慮什么因素？況？你認(rèn)為還須考慮什么因素？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院15于是， 模型分析模型分析 先要求出一健康人被一名指定的病人接觸并感染的概率 p1nm1nmp 假設(shè)任何二人接觸的概率為p，這就是一健康人與一名指定病人接觸的概率.一健康人每天接觸的人數(shù)服從二項

8、分布，分布的平均值是m 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院16 再計算一健康人被一名指定病人接觸并感染的概率為1nmpp1健康人被一名指定病人接觸，但不被感染的概率為 1p1i個健康人接觸這名病人，但不被感染的概率為 i1p12006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院17因此，i個健康人接觸這名病人后，有人被感染的概率為 ii121nm11p11p上述也是一健康人平均每天被感染的概率。 健康人每天平均被感染的人數(shù)為 22pinsp2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院18均方差為 2222p1pinp1sp為了得到簡明的結(jié)果，通常假設(shè)mn ，1n ，取近似值得 nmi1nmi11p220

9、06-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院19最后得 ninmiinmiminpinp122式子給出了健康人每天平均被感染的人數(shù)和相對誤差。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院20模型解釋模型解釋 為了使讀者對模型有直觀的了解，給山了幾組數(shù)字結(jié)果。設(shè)m20，0.1，n=10000，對于不同的i，計算和。function u,su=infect(lmta,m,n,i) u=lmta*m.*i.*(n-i)./n; su=sqrt(n-lmta*m.*i)./(lmta*m.*i.*(n-i); lmta=0.1;m=20;n=10000;i=logspace(2,4,100); u,su=inf

10、ect(lmta,m,n,i) subplot(2,1,1);plot(i,u),xlabel(i),ylabel(u) subplot(2,1,2);plot(i,su),xlabel(i),ylabel(su) 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院212006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院22 如果考慮隔離人群，模型應(yīng)如何改動？某廠設(shè)計一種電子設(shè)備由三種元件 Dl、D2、D3 組成，已知這三種元件的單價分別為 30、15、20 元，可靠性分別為 0.9、0.8、0.6，為了增加設(shè)備的可靠性，某些元件可裝備用件，并設(shè)計有備用元件自動啟動裝置，要求設(shè)計中所使用元件費用不超過 105 元，

11、試問應(yīng)如何設(shè)計可使設(shè)備可靠性達(dá)到最大。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院23模型假設(shè)模型假設(shè)u市場只有報童一家銷售，無競爭;u市場需要量服從一定分布u報童只以追求利潤最大為目標(biāo)2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院24模型分析設(shè)每天訂份報紙，每天賣出了份。 損失一（供大于求） ： nnpnbbEC)( 損失二（供不應(yīng)求） ： 1nn22p)n(aaEC 所以每天期望損失 CCC)( 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院25所以每天期望損失 CCC)( 求一個全局的極小值*，使 )(min*)(CCN 這個*，也可以通過下式求得： *00)(*)() 1*(nnapbaCC 1*0

12、0)() 1*(*)(nnapbaCC 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院26計算機模擬求解模型計算機模擬求解模型 先給出如下變量的說明，再繪出程序框圖來說明模擬過程。 T：對每個值，預(yù)定的模擬次數(shù) G：訂報量上限的估計值； ：報童訂報量； opt：最優(yōu)訂報量； D：損失的累計值； D：損失的平均值； T：模擬天數(shù)累計值； D：最小平均損失值。 D的初值應(yīng)盡可能大，以避免最小值丟失，此處，初值D。 2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院27是=+1輸出opt，結(jié) 束是D2=D1/T0D2DD=D2,opt=G否輸入、G、D=1010D1=0，T1=0T1T0T1=T1+1按概率分布產(chǎn)生

13、隨機數(shù)，對應(yīng)rrD1=D1+(-r)*bD1=D1+(r-)*a是否否否2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院282006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院29市場平均需求量102030405060708090100最佳訂報量81628374757688284942006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院30 若每份報紙的購進(jìn)價為0.15元、售出價為0.20元，退回價為0.12元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙才能使平均收入最高這個最高收入是多少？2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院312006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院32劉偉，陳銀冬，梁志聰指

14、導(dǎo)教師：梁滿發(fā)摘要：摘要：我們假定吸引力因子由中獎概率和獎金額決定，參考Logistic函數(shù)構(gòu)造了反映吸引力程度的“吸引力指數(shù)”；從經(jīng)營角度分析，定義了能反應(yīng)經(jīng)營風(fēng)險的指數(shù)，綜合兩指數(shù)定義了“綜合指數(shù)”，以綜合指數(shù)的大小來評價個方案的優(yōu)劣。2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院33trlnp20e1mM1Mftr10e1mM1Mf“冒險型冒險型”吸引力因子函數(shù)：吸引力因子函數(shù)：“穩(wěn)健型穩(wěn)健型”吸引力因子函數(shù)：吸引力因子函數(shù)：22111ffd2006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院34方案號77.979.878.579.380.982.285.087.389.282.4方案號86.981.58

15、4.186.283.289.279.686.381.287.2方案號89.190.888.489.189.787.179.179.379.32006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院35141s4iii14n10500tnaNn1060實際返獎率合理條件實際返獎率合理條件 計算機模擬計算實際返獎率與理論值的偏差指數(shù)，計算機模擬計算實際返獎率與理論值的偏差指數(shù)，即即“穩(wěn)定指數(shù)穩(wěn)定指數(shù)”：nRxdn1i2i22006-5-9華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院36方案號1.2141.1631.1221.2121.0751.0561.0921.0991.1051.108方案號1.1051.1361.1461.1431.1611.1651.1831.1871.213