第一章波函數與Schr

1、第一章第一章 波函數與波函數與SchrdingerSchrdinger方程方程1 波函數的統(tǒng)計解釋波函數的統(tǒng)計解釋 2 力學量的平均值和算符的引進力學量的平均值和算符的引進 3 Schrdinger 方程方程4 量子態(tài)疊加原理量子態(tài)疊加原理1 波函數的統(tǒng)計解釋波函數的統(tǒng)計解釋 一一. . 實物粒子的波粒二象性（實物粒子的波粒二象性（Wave-particle dualityWave-particle duality） 19231923年，在愛因斯坦光子理論的啟發(fā)下，德布年，在愛因斯坦光子理論的啟發(fā)下，德布羅意提出一切實物粒子（如電子等）均具有波粒二羅意提出一切實物粒子（如電子等）均具有波粒二象

2、性，即實物粒子都伴隨著一種波，稱為象性，即實物粒子都伴隨著一種波，稱為德布羅意德布羅意波波或或物質波物質波（matter wavematter wave）：）：; hEph; pkE等等 價價（ 德布羅意德布羅意- -愛因斯坦公式愛因斯坦公式） 粒子的物質波波長粒子的物質波波長p、E 粒子的動量和能量粒子的動量和能量50 (18050 )/265 0.091nm d 0.165 nm 2 sindk 布拉格公式：布拉格公式： 微粒波動性的實驗證實微粒波動性的實驗證實1 1 戴維孫戴維孫- -革末實驗（革末實驗（19271927）54VU 當自由粒子速度較小時當自由粒子速度較小時 Ek E0 ，

3、按牛頓力學處理，按牛頓力學處理hp 02khm E如果電子經過加速電場獲得動能如果電子經過加速電場獲得動能kEeU2hmeU 1.23nmU當當U54V時時1.2354 0.167nm 可見，由德布羅意關系給出的電子波波長的理論可見，由德布羅意關系給出的電子波波長的理論值與實驗結果吻合。值與實驗結果吻合。 微粒波動性的實驗證實微粒波動性的實驗證實2 C2 C6060分子束光柵衍射實驗（分子束光柵衍射實驗（19991999）（a） C60分子束光柵衍射實驗裝置分子束光柵衍射實驗裝置(M. Arndt, et al., Nature,Vol.401, P680,1999)每每 秒秒 計計 數數每每

4、 50 秒秒 計計 數數(b) 實驗結果實驗結果圖，圓圈代表圖，圓圈代表C60 分子的計分子的計數，其中數，其中b 圖圖是無光柵時的是無光柵時的結果。結果。（c）簡化分析：）簡化分析：C60分子的雙縫衍射示意圖分子的雙縫衍射示意圖 粒子性和波動性是一對矛盾的屬性，微觀粒子的性質由這對彼此對立，但又相互補充的矛盾屬性完全描述互補原理（Complementarity principleComplementarity principle）“波粒二象性是輻射（波粒二象性是輻射（radiationradiation）和實物粒子）和實物粒子（material particlematerial partic

5、le）都具有的內稟的和不可避免）都具有的內稟的和不可避免的性質。波動和粒子描述是兩個理想的經典概念，各的性質。波動和粒子描述是兩個理想的經典概念，各自有其適用范圍。在特定的物理現象中，輻射和實物自有其適用范圍。在特定的物理現象中，輻射和實物粒子均可展現其波動性或粒子性。但這兩種理想的描粒子均可展現其波動性或粒子性。但這兩種理想的描繪中的任何單獨一方，都不能對所研究的現象給出完繪中的任何單獨一方，都不能對所研究的現象給出完整的說明。整的說明?！?N.N.玻爾玻爾19271927直線運動的自由粒子波包直線運動的自由粒子波包二二. . 粒子波動性的兩種錯誤看法粒子波動性的兩種錯誤看法l觀點：觀點：波

6、包即粒子波包即粒子 薛定諤將德布羅意的位相波理解為像電磁場E和B那樣的“物質波物質波”，代表一種真實的物理波動。波動就是一切，粒子不過是波的聚集，稱之為“波群”，也即后來所說的“波包波包”，波包的大小即粒子大小，群速度即粒波包的大小即粒子大小，群速度即粒子速度子速度。 l什么是波包？什么是波包？單色平面波通常不存在，而實際的單色平面波通常不存在，而實際的波可則展開為各種波長平面波的迭加，稱為波包。波可則展開為各種波長平面波的迭加，稱為波包。(1) (1) 粒子由波組成粒子由波組成“波包論波包論”( (薛定諤薛定諤) )l 困難之處困難之處 理論分析表明，隨傳播時間的推移，自由粒子的理論分析表明

7、，隨傳播時間的推移，自由粒子的物質波波包會不斷的擴散，粒子將變得越來越物質波波包會不斷的擴散，粒子將變得越來越“胖胖”，因此粒子的結構是不穩(wěn)定的。因此粒子的結構是不穩(wěn)定的。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小1 1 與實驗事實相矛盾！與實驗事實相矛盾！物質波包的觀點夸大了波動性，抹殺了粒子性，物質波包的觀點夸大了波動性，抹殺了粒子性，帶有片面性。其核心是將量子的波看成經典的波帶有片面性。其核心是將量子的波看成經典的波(2) (2) 波由粒子組成波由粒子組成如如聲波聲

8、波，是介質分子（粒子）密度疏密變化而形，是介質分子（粒子）密度疏密變化而形成的一種分布。成的一種分布。觀點：電子的波動性是由于大量的電子分布于空觀點：電子的波動性是由于大量的電子分布于空間而形成的疏密波。間而形成的疏密波。 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。其核其核心仍是將量子的粒子看成經典的粒子。心仍是將量子的粒子看成經典的粒子。這種看法是這種看法是與實驗矛盾與實驗矛盾的，它不能解釋長時間的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。單個電子衍射實驗。電子雙縫實驗電子雙縫實驗單個

9、電子多次重復性行為單個電子多次重復性行為單個電子顯示出波動性！單個電子顯示出波動性！電子究竟是什么東西呢？是粒子？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？還是波？“ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是 經典的粒子也不是經典的波.我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一。” 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。經典粒子和量子論中的粒子的差別？經典粒子和量子論中的粒子的差別？經典的波和量子的波經典的波和量子的波( (物質波物質波) )的區(qū)別？的區(qū)別？核心問題核心問題：經典概念中粒子意味著經典概念中粒子意味著：1. 1. 有一定質量、電荷等有一定質量、電荷

10、等“顆粒性顆粒性”或或“原子性原子性”的的屬性屬性; ; 2 2有確定的運動有確定的運動軌道軌道，可以準確預言每一時刻的位，可以準確預言每一時刻的位置和速度（動量），是置和速度（動量），是決定性的描述決定性的描述。經典概念中波意味著經典概念中波意味著：1.1.實在物理量的空間分布作周期性的變化實在物理量的空間分布作周期性的變化; ; 2.2.干涉、衍射現象，其本質在于干涉、衍射現象，其本質在于相干疊加性相干疊加性。量子世界中的粒子量子世界中的粒子：1. 1. 有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”或或“原子性原子性”的的屬性屬性; ; 2 2有確定的運動有確定的運動軌道軌道，可以

11、準確預言每一時刻的位，可以準確預言每一時刻的位置和速度（動量），是置和速度（動量），是決定性的描述決定性的描述。（。（ ）量子世界中的波（物質波）量子世界中的波（物質波）：1.1.實在物理量的空間分布作周期性的變化實在物理量的空間分布作周期性的變化; ( ); ( )2.2.干涉、衍射現象，其本質在于干涉、衍射現象，其本質在于相干疊加性相干疊加性。（微粒的“軌道”是不可觀測量，因而應摒棄；微粒的位置和動量亦不能同時確定* ）（波做概率解釋，是幾率波，其絕對值平方代表粒子出現幾率）三三. . 波函數的統(tǒng)計解釋波函數的統(tǒng)計解釋（1 1） 波函數波函數 為了方便對物質波進行數學描述，薛定諤引入了為了

12、方便對物質波進行數學描述，薛定諤引入了函數函數 ，稱為波函數（，稱為波函數（復函數復函數），來表示物質波，），來表示物質波，并建立了波函數的偏微分方程并建立了波函數的偏微分方程薛定諤方程。薛定諤方程。n 自由粒子的波函數自由粒子的波函數單色平面波單色平面波,exp() exp()r tAi k rtiAp rEt （利用了德布羅（利用了德布羅意公式）意公式）k 波矢量；波矢量；p、E 自由粒子的動量和能量自由粒子的動量和能量n 力場中的粒子波函數力場中的粒子波函數kdetkctrrk i),()2(1),(23 實際的粒子通常受力場的作用（例如原子中的實際的粒子通常受力場的作用（例如原子中的電

13、子），其物質波波函數電子），其物質波波函數 (r,t)不能再用單色平面不能再用單色平面波描寫，波描寫，具體形式視情況而定，但是都可展開為具體形式視情況而定，但是都可展開為不同波長（波數）的單色平面波的疊加：不同波長（波數）的單色平面波的疊加：321( , )( , )(2)ip rr tc p t edp 或或單色平面波（自單色平面波（自由粒子波函數）由粒子波函數）自由粒子波函數自由粒子波函數的歸一化因子的歸一化因子xyzdpdp dp dp其中其中從數學上看，這從數學上看，這相當于將波函數相當于將波函數 (r,t)(r,t)做傅里葉做傅里葉展開，展開，C C是展開系數，且有明確的物理意義。是

14、展開系數，且有明確的物理意義。傅里葉逆變換傅里葉逆變換321( , )( , )(2)ip rc p tr t edr 3drd rdxdydz其中其中問題： c(p，t)的物理意義是什么呢？波函數 的物理含義？ 如果說粒子的波函數如果說粒子的波函數 代表粒子的空間分布，那代表粒子的空間分布，那么自由粒子的波函數在空間上是無限展延的，而作么自由粒子的波函數在空間上是無限展延的，而作為一個實物粒子，因其為一個實物粒子，因其“原子性原子性”，占有的空間體，占有的空間體積是十分有限的，顯然彼此矛盾！積是十分有限的，顯然彼此矛盾！ 玻爾曾經說：玻爾曾經說：“量子理論詮釋的關鍵在于，必量子理論詮釋的關鍵

15、在于，必須把彼此矛盾的波動和粒子這兩種描述協(xié)調起須把彼此矛盾的波動和粒子這兩種描述協(xié)調起來來”。因此上述對波函數的解釋行不通！。因此上述對波函數的解釋行不通！ 因此因此對波函數的物理詮釋必須要求把波動和粒子對波函數的物理詮釋必須要求把波動和粒子性融合在一起性融合在一起。1926年，玻恩對波函數的物理解釋年，玻恩對波函數的物理解釋做到了這一點！做到了這一點?。? 2） 概率波（概率波（Probability waveProbability wave） 波函數波函數 在空間某點的強度（在空間某點的強度（i.e.振幅絕對值的平振幅絕對值的平方方|(r,t)|2 ）和在這點找到粒子的概率成正比。）和在

16、這點找到粒子的概率成正比。 該點附近感光點的數目該點附近感光點的數目 該點附近出現的電子數目該點附近出現的電子數目 電子出現在電子出現在r r點附近的點附近的概率概率在電子衍射實驗中，照相底片上在電子衍射實驗中，照相底片上r r點附近衍射花樣的強度（點附近衍射花樣的強度（ |2 ）以電子的單縫衍射為例。以電子的單縫衍射為例。因此，量子力學中的波函數所描述的，并不像經典量子力學中的波函數所描述的，并不像經典波那樣代表什么實在物理量的空間波動，只不過是波那樣代表什么實在物理量的空間波動，只不過是刻畫粒子在空間的概率分布的刻畫粒子在空間的概率分布的概率波概率波而已而已?？紤]自由粒子的波函數,exp(

17、)ir tAp rEt 2,.r tconst 即自由粒子在空間各點出現的概率均等，符合自由粒子的物理描述，前面所述的矛盾也不存在了！ 由于由于|(r,t)|(r,t)|2 2 代表粒子出現的概率，因此玻代表粒子出現的概率，因此玻恩對恩對波函數的統(tǒng)計解釋，把彼此矛盾的波和粒子波函數的統(tǒng)計解釋，把彼此矛盾的波和粒子性統(tǒng)一在了一起性統(tǒng)一在了一起。換言之，波函數的概率解釋，。換言之，波函數的概率解釋，是實物粒子波粒二象性的內在要求。是實物粒子波粒二象性的內在要求。 另一方面，微觀粒子的性質由彼此對立，但又相另一方面，微觀粒子的性質由彼此對立，但又相互補充的矛盾屬性，即波動性和粒子性，完全描述互補充的

18、矛盾屬性，即波動性和粒子性，完全描述（互補原理互補原理）。）。微觀粒子的運動狀態(tài)（量子態(tài)）由波函數完全描述，只要給出了波函數就可得到體系所有性質（如位置、動量、角動量、動能、勢能、電場、磁場等） 量子力學的基本假定之一量子力學的基本假定之一 量子力學中這種狀態(tài)的描寫方式與經典力學中量子力學中這種狀態(tài)的描寫方式與經典力學中描寫質點運動狀態(tài)的方式完全不同。在經典力學中，描寫質點運動狀態(tài)的方式完全不同。在經典力學中，質點的狀態(tài)用質點的狀態(tài)用（r，p）完全描述，只要給出質點的完全描述，只要給出質點的位置和動量，其他力學量（如能量等）均可表示為位置和動量，其他力學量（如能量等）均可表示為r r和和p p

19、的函數，因而也隨之確定。但在量子力學中，的函數，因而也隨之確定。但在量子力學中，由于波粒二象性，由于波粒二象性，r r和和p p不能同時有確定值（海森堡不能同時有確定值（海森堡的不確定原理），而波粒二象性現在被統(tǒng)一到波函的不確定原理），而波粒二象性現在被統(tǒng)一到波函數數中，所以量子力學中用波函數中，所以量子力學中用波函數描述量子態(tài)。描述量子態(tài)。顯然，正是顯然，正是波粒二象性決定了量子的和經典的描述波粒二象性決定了量子的和經典的描述方式本質的差別方式本質的差別。 總之，由于波粒二象性，微觀粒子服從統(tǒng)計性規(guī)總之，由于波粒二象性，微觀粒子服從統(tǒng)計性規(guī)律，用不確定的語言（如概率）描述；經典粒子服律，用不

20、確定的語言（如概率）描述；經典粒子服從決定性規(guī)律，用確定性語言（如軌道）描述。從決定性規(guī)律，用確定性語言（如軌道）描述。n 概率解釋對波函數的要求概率解釋對波函數的要求 根據波函數的統(tǒng)計解釋，在空間根據波函數的統(tǒng)計解釋，在空間r r點附近的體積元點附近的體積元xyz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2xyz 。 概率密度概率密度2, r t 概率波幅概率波幅, r t則在任意體積空間則在任意體積空間 中，找到粒子的概率：中，找到粒子的概率：223,r td rr tdxdydz 真實真實的波函數應滿足歸一化條件（平方可積）的波函數應滿足歸一化條件（平方可積）在全體積空間中，找到粒子的概

21、率應等于在全體積空間中，找到粒子的概率應等于1 1：223,1r td rr tdxdydz問題問題： 自由粒子的波函數滿足歸一化條件嗎？自由粒子的波函數滿足歸一化條件嗎？ 標準化條件標準化條件 粒子在某時刻在空間某點出現的概率應該單值、粒子在某時刻在空間某點出現的概率應該單值、有限，因此波函數應該是坐標有限，因此波函數應該是坐標r的單值、有限函數，的單值、有限函數，且且波函數及其各階導數波函數及其各階導數也要連續(xù)。波函數滿足也要連續(xù)。波函數滿足單單值、有限、連續(xù)性值、有限、連續(xù)性要求，稱為要求，稱為標準化條件標準化條件。 統(tǒng)計解釋中只涉及波函數的振幅，因此波函數還統(tǒng)計解釋中只涉及波函數的振幅

22、，因此波函數還存在下述不確定性：存在下述不確定性： 常數因子的不確定性常數因子的不確定性 若(r,t) 歸一，C為常數，則(r,t)和C(r,t) 描述同一個物理狀態(tài)，因為它們的相對概率相同22112222,r tCr tr tCr t即，和C表示同一個概率波，因此對于概率分布對于概率分布來說，重要的是相對概率來說，重要的是相對概率。 相位的不確定性相位的不確定性(r,t)和(r,t)ei（為實常數）代表同一個概率波，因兩者的模從而概率密度相同。（3 3） 多粒子體系的波函數多粒子體系的波函數設體系由設體系由N N個粒子組成，則個粒子組成，則NNrdrdrdtrrr.),.,(21221粒子粒

23、子1 1出現在出現在( )( )中中同時同時粒子粒子2 2出現在出現在( )( )中中同時同時粒子粒子N N出現在出現在( )( )中的幾率中的幾率111,rdrr222,rdrrNNNrdrr,),.,(21trrrN體系的波函數體系的波函數(態(tài)函數態(tài)函數)21212( , ,., ).1NNr rrtdrdrdr 歸一化條件歸一化條件本節(jié)例題本節(jié)例題例例1 1 設粒子波函數為設粒子波函數為 ，求在，求在( (x, x+dx) )范范圍中找到粒子的幾率。圍中找到粒子的幾率。),(zyx 解：解： 根據波函數的統(tǒng)計解釋，在空間根據波函數的統(tǒng)計解釋，在空間r r點附近的體點附近的體積元積元dxd

24、ydz中找到粒子的概率是中找到粒子的概率是|2 2dxdydz 。則在則在(x, x+dx)范圍內范圍內，找到粒子的概率：，找到粒子的概率：22, , ,x dxxdydzx y zdxdxx y zdydz 例例2 2 設二粒子體系的波函數為設二粒子體系的波函數為 ，求測得粒，求測得粒子子1 1在在 中的幾率中的幾率。12( , )r r 111,r rdr 解：由于解：由于 21212( , )r rdrdr 代表粒子代表粒子1 1出現在出現在( )( )中，中，同時同時粒子粒子2 2出現出現在在( )( )中的幾率，故所求為中的幾率，故所求為111,rdrr222,rdrr21122,d

25、rr rdr 例例3 3 設設 ， 為常數，為常數，求歸一化常求歸一化常數數A A。 222xxAe解：由波函數歸一化條件知道：解：由波函數歸一化條件知道： 22221xxdxA edx2xedx利用積分公式利用積分公式12A四四. . 動量空間（表象）的波函數動量空間（表象）的波函數 描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數不僅可以是坐標描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數不僅可以是坐標r r和時間和時間t t的函數，即的函數，即(r,t)(r,t)；也可以是動量；也可以是動量p p和時間和時間t t的函數，即的函數，即 (p(p，t)t)。（。（那么可以是那么可以是r r和和p p的函數？的函數？）(r,t)

26、 以坐標為自變量以坐標為自變量坐標表象坐標表象(re- presentation)中的波函數表示中的波函數表示 (p,t) 以動量為自變量以動量為自變量動量表象動量表象中中 的波函數表示的波函數表示同一個狀態(tài)不同一個狀態(tài)不同的描述方式同的描述方式表象表象= =“坐標系坐標系”問題：問題： 波函數波函數(r,t)和和 (p，t)之間的聯(lián)系？之間的聯(lián)系？ 波函數(r,t)可以展開為各種波長（波數）的平面波的疊加，按照德布羅意關系，也可展開為具有不同動量的單色平面波的疊加，即321( , )( , )(2)ip rr tc p t edp 將付氏展開系數C(p,t) (p,t)321( , )( ,

27、 )(2)ip rr tp t edp 付氏分波付氏分波（1） 按按(1)式，任意粒子波函數式，任意粒子波函數(r,t)包含包含各種動量成各種動量成分分的傅里葉分波，故在波函數的傅里葉分波，故在波函數所描寫的狀態(tài)下測所描寫的狀態(tài)下測量粒子的動量，不會有確定值，展開式中的每一種量粒子的動量，不會有確定值，展開式中的每一種動量值都有可能出現，換言之，動量值都有可能出現，換言之，每一個傅里葉分波每一個傅里葉分波所對應的動量值是以某一概率出現在測量中！所對應的動量值是以某一概率出現在測量中！問題：問題： 測到粒子動量為測到粒子動量為p的概率是多少？的概率是多少？傅里葉逆變換傅里葉逆變換321( , )

28、( , )(2)ip rp tr t edr （2）321( , )( , ) (1)(2)ip rr tp t edp 將波函數將波函數歸一化：歸一化：*3( , )( , )11( , ) ( , )(2)ip prr tr t drp tp t edrdp dp *( , ) ( , )ip prp tp tedr 3*(, ) ( , )2p tp tpp 2i xedx其中使用了積分其中使用了積分*( , )( , ) ( , ) ( , )r tr t drp tp tppdp dp22( , )( , )1p tdpr tdr2*( , ) ( , )( , )p tp t dp

29、p tdp若若 已歸一化，則已歸一化，則 也是歸一化的也是歸一化的( , )p t),(tr 所以，粒子波函數所以，粒子波函數(r,t)(r,t)的傅里葉展開系數的傅里葉展開系數 (p,t)(p,t)也做概率波解釋，描述的是每一個可能的動也做概率波解釋，描述的是每一個可能的動量值出現的概率量值出現的概率 。 動量表象下的波函數動量表象下的波函數( , )( , )p tr t故與具有類似的物理含義:| (p,t)|2 dp 測得測得粒子動量在粒子動量在p p附近，即附近，即 pp+dp內的概率；內的概率；| (p,t)|2 粒子動量分布的概率密度粒子動量分布的概率密度 很明顯，很明顯，波函數波

30、函數(r,t)(r,t)和和 (p,t)(p,t)不過是在不同不過是在不同的表象空間描述同一個量子態(tài)而已的表象空間描述同一個量子態(tài)而已！只是前者刻畫！只是前者刻畫的是粒子的位置分布概率，而后者刻畫的是粒子的的是粒子的位置分布概率，而后者刻畫的是粒子的動量分布概率。數動量分布概率。數學上，學上，和和 互為傅里葉變換互為傅里葉變換。 若給出粒子狀態(tài)的波函數若給出粒子狀態(tài)的波函數(r,t) (r,t) 解薛定諤方程解薛定諤方程相應的測量概率相應的測量概率123,t,t,t .rrr222，123 .rrr， ， ， 在此態(tài)下測量粒子的位置，結果是一系列可能值：在此態(tài)下測量粒子的位置，結果是一系列可能

31、值： 在此態(tài)下測量粒子動量，結果也是一系列可能值：在此態(tài)下測量粒子動量，結果也是一系列可能值：123 .ppp，相應的測量概率相應的測量概率123,t,t,t .ppp222， 由由(2)式計算式計算 實際上，不僅位置和動量，粒子的其它力學實際上，不僅位置和動量，粒子的其它力學量如角動量、能量等也都可以根據波函數計算量如角動量、能量等也都可以根據波函數計算出各自的測量概率。因此，出各自的測量概率。因此，只要給出了粒子的只要給出了粒子的波函數，粒子的所有力學量的測量概率都可以波函數，粒子的所有力學量的測量概率都可以知道知道，也就是粒子的所有物理性質統(tǒng)統(tǒng)可以知，也就是粒子的所有物理性質統(tǒng)統(tǒng)可以知道

32、。因此，道。因此，量子力學中粒子的狀態(tài)由一個波函量子力學中粒子的狀態(tài)由一個波函數完全描述！數完全描述！坐標表象：坐標表象： 位置概率密度位置概率密度（分布）（分布）2, r t2, r tdr粒子粒子位置位置在在r r+dr內的內的概率概率2,1r tdr歸一化條件歸一化條件動量表象：動量表象： 動量概率密度動量概率密度（分布）（分布）2, p t2, p tdp粒子粒子動量動量在在p p+dp內的內的概率概率2,1p tdp歸一化條件歸一化條件同一個量子態(tài)在不同表象中的描述！同一個量子態(tài)在不同表象中的描述！2 力學量的平均值和算符的引進力學量的平均值和算符的引進 一般來說，當微觀粒子處于某種

33、狀態(tài)時，它的一般來說，當微觀粒子處于某種狀態(tài)時，它的力學量，如坐標、動量、角動量、能量等，具有一力學量，如坐標、動量、角動量、能量等，具有一系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出現，系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出現，當給定描述該狀態(tài)的波函數當給定描述該狀態(tài)的波函數后，力學量各種可能后，力學量各種可能值的相應概率就完全確定，利用值的相應概率就完全確定，利用統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均的方法，的方法，就可以算出該力學量的平均值，進而與實驗的觀測就可以算出該力學量的平均值，進而與實驗的觀測值相比較。換言之，力學量平均值就是在值相比較。換言之，力學量平均值就是在所描述所描述的量子態(tài)下，相應力學量的觀測

34、結果。的量子態(tài)下，相應力學量的觀測結果。一一. . 力學量的平均值力學量的平均值在統(tǒng)計物理中知道在統(tǒng)計物理中知道u 當可能值為離散值時當可能值為離散值時: : 一個物理量的統(tǒng)計平均一個物理量的統(tǒng)計平均值等于物理量的各種可能值乘上相應的值等于物理量的各種可能值乘上相應的概率求和；概率求和；（加權平均加權平均） u 當可能值為連續(xù)取值時：當可能值為連續(xù)取值時： 一個物理量出現的各一個物理量出現的各種可能值乘上相應的種可能值乘上相應的概率密度求積分。概率密度求積分。 如，氣體分子速率在（0，+）內取值，則氣體分子速率的算術平均： 0vvf v dvf(v) 速率分布函數，亦做概率解釋（概率密度）給定

35、粒子的波函數給定粒子的波函數(r,t)：u 若波函數已歸一化，則力學量若波函數已歸一化，則力學量F的平均值的平均值 2*F rF rrdrr F rr dru 若波函數未歸一化，則力學量若波函數未歸一化，則力學量F的平均值的平均值 *r F rr drF rrr dr( (相對概率密度相對概率密度) )力學量平均值的計算公式力學量平均值的計算公式注：注：這實際上是在坐標表象中計算這實際上是在坐標表象中計算F F的平均值，故要求的平均值，故要求F F要要 能表示成能表示成r r的函數的函數（1 1）坐標平均值）坐標平均值2|( ) |xxxxdx 一維情況一維情況 設設(x)是歸一化波函數，是歸

36、一化波函數，|(x)|2 是是粒子出現在粒子出現在x點的概率密度，則點的概率密度，則 三維情況三維情況 設設(r)(r)是歸一化，是歸一化，|(r)|(r)|2 2 是粒是粒子出現在子出現在r點的概率密度，則點的概率密度，則2|( ) |rrrrdr 注注: : 為了方便，這里暫不考慮時間為了方便，這里暫不考慮時間t t 給定歸一化波函數給定歸一化波函數(r)，此量子態(tài)下粒子動量，此量子態(tài)下粒子動量平均值為平均值為（2 2）動量平均值）動量平均值 *prpr dr 要計算右邊積分，必須給出動量要計算右邊積分，必須給出動量p p與坐標與坐標r r的函數的函數關系。但是關系。但是由于波粒二象性，粒

37、子的坐標由于波粒二象性，粒子的坐標r r和動量和動量p p不同時確定，因此不同時確定，因此“粒子在空間某點粒子在空間某點r r處的動量處的動量”是無意義的，即動量是無意義的，即動量p p不能表示成坐標不能表示成坐標r r的函數，的函數，p p p(r)p(r)。故。故上式積分在坐標表象中無法計算！上式積分在坐標表象中無法計算！如何計算粒子動量的平均值呢？如何計算粒子動量的平均值呢？二二. . 力學量用算符表示力學量用算符表示 何為算符？何為算符？ 量子力學中的力學量為何要用算符表示？量子力學中的力學量為何要用算符表示？ 如何得到力學量算符表達式？如何得到力學量算符表達式？ 算符的運算規(guī)則？算符

38、的運算規(guī)則？（見第三章）（見第三章）（1 1） 什么是算符什么是算符 數學上的算符（數學上的算符（OperatorOperator）代表一種運算，如）代表一種運算，如 加、減、乘、除、微分、積分等；在量子力學中，加、減、乘、除、微分、積分等；在量子力學中，算符代表算符代表對波函數（量子態(tài)）的一種運算對波函數（量子態(tài)）的一種運算，例如，例如2* .ddx 、經典力學經典力學 力學量是一個數力學量是一個數，如坐標，如坐標r、動量、動量p、 能量能量E、角動量、角動量l等；等；量子力學量子力學 力學量是一個算符力學量是一個算符，用其經典力學量，用其經典力學量 符號上方加符號上方加“ ”表示，如：表示

39、，如：rr坐標算符坐標算符pp動量算符動量算符（2 2）力學量為何要用算符表示力學量為何要用算符表示 先回到上一個問題：先回到上一個問題：“如何計算動量平均值如何計算動量平均值”？在在坐標表象坐標表象中，動量平均值中，動量平均值 * (3)pr pr dr 該式無法計算?，F改用該式無法計算?，F改用動量表象動量表象，動量平均值，動量平均值*： *pp pp dp 代入波函數代入波函數 (p)(p)的傅里葉變換式：的傅里葉變換式：321( )( )(2)ip rpr edr *3 21( )( ) (2)ip rpr epp drdp ip rep 得到得到iip rp repie 3 21*(

40、)(2)( ) ip repridrpdp 3 21= *)( )(2( ip rer drp dpi *( )( )prir dr *( )( )prir dr 結果又回到了坐標表象！結果又回到了坐標表象！對比對比(3)式：式： * (3)pr pr dr 原來在坐標表象中由于動量原來在坐標表象中由于動量p p不能寫成不能寫成r r的函數形式，的函數形式，導致導致(3(3）式不能計算?，F在只要將動量）式不能計算?，F在只要將動量p p改造成算改造成算符符ppi 形式，就能形式，就能直接使用坐標表象中的波函數直接使用坐標表象中的波函數(r)(r)計計算平均值！算平均值！ 力學量改造成與經典力學不

41、同的算符形式稱為力學量改造成與經典力學不同的算符形式稱為第第一次量子化一次量子化，其，其根源在于根源在于微觀粒子的微觀粒子的波粒二象性波粒二象性。波粒二象性波粒二象性波函數做波函數做幾率解釋幾率解釋測量力學量測量力學量出現一系列出現一系列可能值可能值計算力學量計算力學量平均值須引平均值須引入算符入算符 *, (4)Fr Fr drF 一般地一般地（3 3）力學量算符力學量算符 表達式表達式F那么，如何得到那么，如何得到(4)(4)式中算符式中算符 的具體形式？的具體形式？Fl 坐標算符坐標算符l 動量算符動量算符pi (); 1 xxrr維（3維）*( )( )rr rr dr 坐標表象坐標表

42、象對比對比(4)式即得式即得動量算符在直角坐標動量算符在直角坐標系的分量形式？系的分量形式？其它其它力學量算符可按下述規(guī)則寫出：力學量算符可按下述規(guī)則寫出：如果量子力學中的力學量如果量子力學中的力學量F 在經典力學中有對在經典力學中有對應的力學量，則表示這個力學量的算符應的力學量，則表示這個力學量的算符 由經由經典表示式典表示式F(r,p)中將中將p換成算符換成算符 而得出，即而得出，即Fp ,FF r pFF r pF ri l 角動量算符角動量算符lrpi r 經典式經典式lrp()()()xzyyxzzyxlypzpiyzzylzpxpizxxzlxpypixyyx 三個直角分量三個直角

43、分量l 勢能算符勢能算符 V rV r即勢能算符等于勢能自身！即勢能算符等于勢能自身！為什么？為什么？你能寫出動能算符？你能寫出動能算符？l 動能算符動能算符2222p pTmm l 能量算符（哈密頓算符）能量算符（哈密頓算符）粒子的能量粒子的能量 22pEV rm在經典力學中稱之為哈密頓（在經典力學中稱之為哈密頓（HamiltonHamilton）函數，）函數，故相應的算符又稱哈密頓算符，用故相應的算符又稱哈密頓算符，用 表示表示H 222HTV rV rm 注：注：以上給出的都是以上給出的都是坐標表象坐標表象中算符的具體形式中算符的具體形式在不同的表象中，算符的表示式會不同！在不同的表象中

44、，算符的表示式會不同！ 在在自身表象中，算符的形式最簡單自身表象中，算符的形式最簡單(等于自身等于自身)！例如例如pipp 坐標表象坐標表象動量表象動量表象( (自身表象自身表象) )rrrip坐標表象坐標表象(自身表象自身表象)動量表象動量表象(見教程見教程p14思考題思考題)為什么？為什么？本節(jié)例題本節(jié)例題例題例題1 1：一維諧振子處在基態(tài)（一維諧振子處在基態(tài)（ 為諧振子折合質量為諧振子折合質量） 求：求：(1)(1)勢能的平均值；勢能的平均值； (2)(2)動能的平均值；動能的平均值； (3)(3)動量的概率分布函數。動量的概率分布函數。 2222; xitxe解：（解：（1）一維諧振子

45、的勢能一維諧振子的勢能 2212Vxx 2222*1 2xVx Vxxdedxx 勢能的平均值勢能的平均值2222211112222V 221 3 5212 naxnnnx edxaa利用積分公式利用積分公式（I I）14V （2） 動能平均值動能平均值 *Tx Tx dx 力學量算符須夾力學量算符須夾在在* *和和之間之間222222222pdTdx 2222222222()xxdTeedxdx 22232212xTxedx 2222222222()xxdTeedxdx 222222322xxedxx edx2xedx利用積分公式利用積分公式及及(I)(I)式式14T （3） 動量的概率分布

46、函數（概率密度）動量的概率分布函數（概率密度）1( , )( )2ipxp tx edx222212xipitxeedx22222 222212ippxiteedxe22 2221iptee22 222122iptee 動量的概率分布函數動量的概率分布函數: :22 221,pp te例題例題2 2：證明在一維情況下，動量表象中的坐標算符證明在一維情況下，動量表象中的坐標算符本節(jié)例題本節(jié)例題 xip 證明：在動量表象下，坐標證明：在動量表象下，坐標x的平均值的平均值 *xpp dxp 而在坐標表象下，坐標而在坐標表象下，坐標x的平均值的平均值 *xxxxx d 使用波函數使用波函數 (x)(x

47、)的傅里葉變換式：的傅里葉變換式：121( )( )(2)ip xxp edp 1*2iip xpxxp ep edp dpdxx 代人上面第二式，得到代人上面第二式，得到 1*2iip xpxpp dp dpexedx iipxpxxeiep 其中其中 1*2iip xpxxpp dp dpeiedxp ippxiedxp 22ippp 利用了利用了 2ikxedxk *xippppdpdpp ppp dpppp *xpipdpppip dpp 附錄附錄A2（23）式）式因此坐標表象下，因此坐標表象下，x平均值平均值應該和動量表象下，坐標應該和動量表象下，坐標x的平均值相等的平均值相等: *

48、xp xp dp 對比兩式，得到動量表象下，坐標對比兩式，得到動量表象下，坐標x的算符形式：的算符形式： xip 推廣到三維情況：推廣到三維情況：= priip 得證！得證！ *()xpip dpp 3 Schrdinger Schrdinger 方程方程 （一）（一） 引言引言 （二）（二） 自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 （三）（三） 勢場勢場 V(r) 中運動的粒子中運動的粒子 （四）（四） 定域的幾率守恒定域的幾率守恒（五）（五） 定態(tài)和非定態(tài)定態(tài)和非定態(tài)（六）（六） 多粒子體系的多粒子體系的Schrdinger方程方程 在各種具體情況下，在各種具體情況下，找出找出描述體系狀描述

49、體系狀 態(tài)的各種可能的態(tài)的各種可能的波函數；波函數； (2) (2) 波函數如何隨時間演化波函數如何隨時間演化。( (據此可知據此可知 體系任意時刻的狀態(tài)體系任意時刻的狀態(tài)) ) 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數完全描述微觀粒子量子狀態(tài)用波函數完全描述，波函數確，波函數確定之后，粒子的任何一個力學量的定之后，粒子的任何一個力學量的平均值平均值及其測量及其測量的的可能值可能值和相應的和相應的幾率幾率分布也都被完全確定。因此分布也都被完全確定。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：（一）（一） 引言引言目標：目標： 建立一個關于波函數的建立一個關于波函

50、數的含時含時的微分的微分 方程方程 薛定諤方程薛定諤方程(1926)(1926)。 下面從最簡單的情況下面從最簡單的情況自由粒子自由粒子著手，建立上著手，建立上述方程，然后再推廣到一般的情況，即述方程，然后再推廣到一般的情況，即力場中的力場中的粒子粒子情形。情形。（二）（二）自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 )(EtrPiAe 描寫自由粒子的波函數應是所要建立的方程的解。 將上式對時間微商，得 iEtiEt (5)這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E，方方程程(5)(5)只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足可能的狀態(tài)所滿足。

51、將對坐標二次微商，得222222222222 , yxzpppxyz ， 12222222222zyxpppzyx222222(61 )22hpmmp - -(5) (6) 式222()()22piEtmm 22pEm自由粒子故自由粒子滿足的波動方程：222itm （7）討論：討論： 根據根據(5)(5)式，粒子能量式，粒子能量E E和作用在波函數上的算符和作用在波函數上的算符 相當，即相當，即 （能量算符的另一種表（能量算符的另一種表示式）。示式）。 it Eit 根據經典的能量關系根據經典的能量關系E = p2/2m， 將其寫成如下將其寫成如下方程形式：方程形式：2()02pEm 2222

52、; -Eitpp （8）做下列算符替換，即可得方程做下列算符替換，即可得方程(7)式。式。（三）勢場中運動的粒子（自由粒子的推廣）（三）勢場中運動的粒子（自由粒子的推廣）若粒子處于勢場若粒子處于勢場V(r)中運動，則能量關系變?yōu)椋褐羞\動，則能量關系變?yōu)椋?( )2pEV rHm對其做（對其做（8 8）式的算符替換，并作用于波函數后有）式的算符替換，并作用于波函數后有22( , )( ) ( , )( , )2ir tV rr tHr ttm （9 9）式中，體系的兩個能量算符式中，體系的兩個能量算符 和和 完全相當，因其對波函數作用結果相同。完全相當，因其對波函數作用結果相同。it 222(

53、)mV r 方程方程(9)(9)稱為稱為含時含時SchrSchrdingerdinger方程，方程，也稱也稱波動方程波動方程。（V = 0即自由粒子）即自由粒子）薛定諤方程的幾點說明：薛定諤方程的幾點說明：（1 1） 薛定諤方程是薛定諤方程是量子力學的一個基本假定量子力學的一個基本假定，它，它不能從其他更基本的理論來獲得證明（不能從其他更基本的理論來獲得證明（前面只是通過前面只是通過導引來建立方程的導引來建立方程的），其正確性只能通過在具體情況下），其正確性只能通過在具體情況下由方程得出的結論和實驗結果相比較來驗證。由方程得出的結論和實驗結果相比較來驗證。（2 2） 求解薛定諤方程，可以得到任

54、何情況下體系求解薛定諤方程，可以得到任何情況下體系的波函數，以及波函數隨時間的演化規(guī)律。只要給的波函數，以及波函數隨時間的演化規(guī)律。只要給定初值條件定初值條件 (r(r0 0,t,t0 0) )，即初態(tài)，就可以得到體系在，即初態(tài)，就可以得到體系在任意時刻的狀態(tài)。所以，任意時刻的狀態(tài)。所以，薛定諤方程反映了微觀粒薛定諤方程反映了微觀粒子運動規(guī)律，是量子力學中最基本的方程，其地位子運動規(guī)律，是量子力學中最基本的方程，其地位和經典力學中的牛頓方程相當和經典力學中的牛頓方程相當。（3 3） 薛定諤方程是復數方程，其解薛定諤方程是復數方程，其解 (r,t)(r,t)顯然是顯然是復數。因此在復數。因此在量

55、子力學中體系的波函數只能是復數量子力學中體系的波函數只能是復數表示表示。而且波函數本身不是可觀測量，從這個角度。而且波函數本身不是可觀測量，從這個角度說波函數也不能是實數，因為物理上的可觀測量一說波函數也不能是實數，因為物理上的可觀測量一定是實數。定是實數。（5 5） 薛定諤方程是薛定諤方程是非相對論的非相對論的，在相對論情況下，在相對論情況下由狄拉克方程取代。由狄拉克方程取代。（6 6） 在極限的情況下，薛定諤方程滿足對應原理：在極限的情況下，薛定諤方程滿足對應原理：當當 時，它能過渡到經典力學的運動方程。時，它能過渡到經典力學的運動方程。（ 進入運動方程是量子化的基本特征進入運動方程是量子

56、化的基本特征）0（4 4） 薛定諤薛定諤方程的解方程的解（波函數）要（波函數）要滿足歸一化和滿足歸一化和標準化條件標準化條件。（四）（四）定域的幾率守恒定域的幾率守恒 在討論了狀態(tài)或波函數隨時間變化的規(guī)律后，我們在討論了狀態(tài)或波函數隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步進一步討論粒子在一定空間區(qū)域（討論粒子在一定空間區(qū)域（定域定域）內出現的幾）內出現的幾率將怎樣隨時間變化率將怎樣隨時間變化。 粒子在粒子在 t 時刻時刻 r 點周圍單點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：2|),(|),(),(),(trtrtrtr 在非相對論情況下，因沒有粒子的產生和湮滅問題

57、，在非相對論情況下，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變。對粒子數保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變的幾率總和應不隨時間改變，即，即 ,0 dr t drdt (10)(10)總幾率守恒總幾率守恒 證明：考慮考慮 SchrSchrdinger dinger 方程及其共軛形式：方程及其共軛形式： ()iVtm 22112()iVtm 22122VV *將將 * *（1111） （1212）式得）式得2222 iittm 22（） itm 2222 iittm 22（）didddtm 在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：中將上

58、式積分，則有： 2（） didddtm 2iJm *( , ) r t 令令概率密度概率密度J是什么呢？是什么呢？( , ) dr t dJddt dS S 使用使用 Gauss 定理定理(散度定理散度定理) ( , )Sdr t dJ dSdt r rr rr r （1313） ( , )Sdr t dJ dSdt r rr rr r （1313）閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒子上找到粒子的幾率的幾率( (粒子數粒子數) )在單在單位時間內的增量位時間內的增量單位時間內通過單位時間內通過的封閉的封閉表面表面S S流入（積分前的負號）流入（積分前的負號）內的幾率內的幾率( (粒子數粒子數) )所以所以(

59、13)(13)式是式是定域定域的的幾率幾率( (粒子數粒子數) )守恒守恒的積分表示式。的積分表示式。J是是幾率流幾率流( (粒子流粒子流) )密度密度，是一矢量。，是一矢量。0Jt 量子力學的連續(xù)性方程量子力學的連續(xù)性方程幾率幾率( (粒子數粒子數) )守恒守恒的微分表示式：的微分表示式： 令令Eq.(13)Eq.(13)趨于趨于，即讓積分對全空間進行，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.(13)Eq.(13)變?yōu)樽優(yōu)镋q.(10

60、)Eq.(10)：(, )0drt drdt 表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。理意義是粒子既未產生也未消滅。0Jt 討論：討論： (1) (1) 這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種率不變，并伴隨著某種“流流”來實現這種變化。來實現這種變化。 ;( , )Sdr t dJ dSdt r rr rr r (2) 連續(xù)性意味著某種流的存在。連續(xù)性意味著某種流的存在?！俺榈稊嗨鞒?/p>