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1、 3.1 線性系統(tǒng)基本理論線性系統(tǒng)基本理論 3.2 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析 3.3 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析 3.4 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬 3.5 希爾伯特變換和解析過(guò)程希爾伯特變換和解析過(guò)程 3.6 窄帶隨機(jī)過(guò)程表示方法窄帶隨機(jī)過(guò)程表示方法 3.7 窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性窄帶隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)和相位的特性 3.8 正弦信號(hào)與窄帶正弦信號(hào)與窄帶SPSP之和的包絡(luò)和相位的特性之和的包絡(luò)和相位的特性2022-3-172( )x t1 希爾伯特變換希爾伯特變換 ,其希爾伯特,其希爾伯

2、特 )(tx)(txH 設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù)設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù)(或記作(或記作 )變換記作變換記作( )x t1( )( )( )xx tH x tdt反變換為反變換為11( )( )( )xx tHx tdt 希爾伯特希爾伯特2022-3-173 t1()1()( )1()1()( )x tx tx tddx tx tx tdd 2022-3-1742022-3-1741( )( )1( )( )*()xxx tddx tttt( )x t( )x t希爾伯特變換希爾伯特變換 正交濾波器正交濾波器 由由 可知,可知, 的希爾伯特變換看成是:將的希爾伯特變換看成是:將 通過(guò)一個(gè)具有沖通過(guò)一個(gè)具有沖擊

3、響應(yīng)為擊響應(yīng)為 的線性濾波器(時(shí)不變系統(tǒng))的線性濾波器(時(shí)不變系統(tǒng)) 。( )1/h tt2022-3-1752022-3-175希爾伯特變換的沖擊響應(yīng)及傳遞函數(shù)希爾伯特變換的沖擊響應(yīng)及傳遞函數(shù)01( )()sgn( )0HHjhtHjjjt 證明:由對(duì)稱性性質(zhì)可知,若證明:由對(duì)稱性性質(zhì)可知,若 ,則,則)()(jFtf)(2)(fjtF因?yàn)橐驗(yàn)閖t2)sgn(,所以,所以)sgn(2)sgn(22jt整理得:整理得:1( )()sgn( )HHhtHjjt 2022-3-1762022-3-176002( )|( )| 1( )002jHHj 正交濾波器的傳輸函數(shù)正交濾波器的傳輸函數(shù)2022

4、-3-1772022-3-177希爾伯特逆變換希爾伯特逆變換11()1( )( )* ( ) x tx tHx tdx tt 11( )Hhtt 為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應(yīng)。為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應(yīng)。 證明:證明: 若輸入信號(hào)為若輸入信號(hào)為 ( )( )*( )Hx tx tht通過(guò)一個(gè)濾波器通過(guò)一個(gè)濾波器 1( )Hht輸出為輸出為 11( )( )*( )( )*( )*( )HHHx tx thtx ththt顯然有顯然有1()()1HHHjHj所以所以 111()sgn( )()sgn( )HHHjjHjj反變換反變換 111( )()sgn( ) HHhtHjjt 2022

5、-3-1782022-3-1792022-3-1710可見(jiàn),若可見(jiàn),若x(t)x(t)若為若為t t的偶函數(shù),則的偶函數(shù),則 為為t t的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。同理,可見(jiàn),若同理,可見(jiàn),若x(t)x(t)若為若為t t的奇函數(shù),則的奇函數(shù),則 為為t t的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。( )x t( )x t2022-3-17112022-3-1712 1. 的希爾伯特變換為的希爾伯特變換為 。( )X t( )X t連續(xù)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于連續(xù)兩次連續(xù)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于連續(xù)兩次90度相度相移,正好移,正好180度相反。度相反。1( )( )( )XH X tdX tt 希爾伯特變換的性質(zhì)希爾伯特變換的

6、性質(zhì)2022-3-17132022-3-17142022-3-17152 解析過(guò)程及其性質(zhì)解析過(guò)程及其性質(zhì) 定義任一實(shí)隨機(jī)過(guò)程定義任一實(shí)隨機(jī)過(guò)程 , 是是 的希爾伯特變換的希爾伯特變換, , 即即 ( )X t( )X t( )X t復(fù)復(fù)隨機(jī)過(guò)程定義為隨機(jī)過(guò)程定義為 ( )( )( )X tX tjX t為實(shí)隨機(jī)過(guò)程為實(shí)隨機(jī)過(guò)程 的復(fù)解析過(guò)程,簡(jiǎn)稱的復(fù)解析過(guò)程,簡(jiǎn)稱解析過(guò)程解析過(guò)程。( )X t( )X tdtXtXHtX)(1)()(2022-3-1716解析過(guò)程的性質(zhì)解析過(guò)程的性質(zhì)(1)若)若 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則 也是實(shí)隨也是實(shí)隨 機(jī)平穩(wěn)過(guò)程,且聯(lián)合平穩(wěn)。機(jī)平穩(wěn)過(guò)程,

7、且聯(lián)合平穩(wěn)。( )X t( )X t 因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換,線性系統(tǒng)因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換,線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過(guò)程,輸出也為平穩(wěn)過(guò)程,且聯(lián)合輸入為平穩(wěn)過(guò)程,輸出也為平穩(wěn)過(guò)程,且聯(lián)合平穩(wěn)。平穩(wěn)。 2022-3-1717(2)實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同( )( )* ( )X tX th t2( )( )()( )XXXSSH jS2()1)H j經(jīng)傅里葉反變換,得經(jīng)傅里葉反變換,得( )( )XXRR( )( ),( )( )XXXXRRSS2022-3-1718(3)( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )(

8、)()XXRE X t X t代入代入 1( )( )XX tdt1( )( )()XXXREdX ttt令令 1()()( )XXX tX tREd11()()E X tX td()1( )XXRdR 將將 2022-3-1719(4)( )( )XXXXRR ( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )( )XXXXRR 2022-3-1720(5)()( )XXXXRR ()( )XXXXRR 1( )()( )()()XXXRE X t X tEdX tt令令 并作變量替換并作變量替換t()()1()XXE X tX tRd()()11XXRRdd ( )( )XXXRR 希爾

9、伯特變換與它的原實(shí)過(guò)程之間的希爾伯特變換與它的原實(shí)過(guò)程之間的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)2022-3-1721(6)(0)0XXR()( )XXXXRR (0)0XXR(0)(0)XXXXRR 表明在同一個(gè)時(shí)刻表明在同一個(gè)時(shí)刻t,隨機(jī)變量,隨機(jī)變量 和和 正交,即正交,即注意,上式并不意味著注意,上式并不意味著 和和 兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程正交。兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程正交。tXtXtXtX0ttXXE2022-3-1722(7)( )2( )( )2( )( )XXXXXXRRjRRjR( )( ) () ( )( ) ()()( )( )( )( )2( )( )XXXXXXXXXXRE X t X t

10、E X tjX tX tjX tRRj RRRjR2022-3-1723(8)( )0( )( )0XXXXjSSjS由性質(zhì)由性質(zhì)(3)可知,可知, ( )( )( )*( )XXHXXRRRh兩邊取傅里葉變換兩邊取傅里葉變換 ( )sgn( )( )XXXSjS ( )0( )( )0XXXXjSSjS2022-3-1724(9)4( )0( )00XXSS由性質(zhì)由性質(zhì)(7)可知,可知, ( )2( )( )XXXXRRjR兩邊取傅里葉變換兩邊取傅里葉變換 ( )2( )( )2( )sgn( )( )2( )sgn( )( )4( )000XXXXXXXXXSSjSSjjSSSS解析過(guò)程的

11、功率譜密度只存在于正頻率,即它具有單邊功率解析過(guò)程的功率譜密度只存在于正頻率,即它具有單邊功率譜密度,其強(qiáng)度等于原來(lái)實(shí)過(guò)程功率譜密度強(qiáng)度的譜密度,其強(qiáng)度等于原來(lái)實(shí)過(guò)程功率譜密度強(qiáng)度的4倍。倍。2022-3-1725 ( )XS 4( )XS012022-3-17262022-3-17261( ) ( )()( )X ttjX tt1( )()1sgn( )2 ( )tjjjut ( )u將解析信號(hào)表達(dá)式進(jìn)行變換:將解析信號(hào)表達(dá)式進(jìn)行變換:而而式中:式中: 是頻域的單位階躍函數(shù),因此是頻域的單位階躍函數(shù),因此 如果如果 是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),則解析信號(hào)是隨機(jī)的,是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),則解析信號(hào)是隨機(jī)的,其頻

12、譜為:其頻譜為:( )X t2( ) 0( )( )2 ( )0 0XXXu 解析信號(hào)本質(zhì)是原信號(hào)的正頻率部分,為原信號(hào)頻譜正解析信號(hào)本質(zhì)是原信號(hào)的正頻率部分,為原信號(hào)頻譜正頻域分量的兩倍。它是實(shí)信號(hào)的一種頻域分量的兩倍。它是實(shí)信號(hào)的一種“簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)潔”形式。形式。研究解析信號(hào)的意義研究解析信號(hào)的意義2022-3-17272022-3-1727實(shí)連續(xù)信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率實(shí)連續(xù)信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率( )( )( )X tX tjX t22( )( )( )( )A tX tXtXt( )( )arctan( )X ttX t( )( )dttdt包絡(luò),瞬時(shí)振幅包絡(luò),瞬時(shí)振幅瞬時(shí)相

13、位瞬時(shí)相位瞬時(shí)頻率瞬時(shí)頻率2022-3-17282022-3-1728Matlab實(shí)例clc;clear all;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) %信x的表達(dá)式y(tǒng)=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).2+abs(y).2); %求信號(hào)x的包絡(luò),瞬時(shí)振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信號(hào)x(t)subplot(2,2,2);plot(A);title(信號(hào)x(t)的包絡(luò))thet=atan(iz./rz); %求信號(hào)x的瞬時(shí)相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(信號(hào)x(t)的瞬時(shí)相位)2022-3-17292022-3-17292022-3-1730例例 設(shè)低頻信號(hào)設(shè)低頻信號(hào) 的頻譜為的頻譜為( )|2( )0AA其他)(ta證明:當(dāng)證明:當(dāng) 時(shí),滿足時(shí),滿足20ttattaHttattaH0000cos)(sin)(sin)(cos)(2022-3-1731設(shè)設(shè)證證其頻譜為:其頻譜為:ttats0cos)()(0)(210)(21)()(21)(0000AAAAS其希爾伯特變換的頻譜密度為:其希爾伯特變換的頻譜密度為:0000( )sgn( ) ( ) ()()2( )( )s

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