第十六講希爾伯特變換和解析過程

1、 3.1 線性系統(tǒng)基本理論線性系統(tǒng)基本理論 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 3.4 白噪聲通過線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬白噪聲通過線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬 3.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程 3.6 窄帶隨機(jī)過程表示方法窄帶隨機(jī)過程表示方法 3.7 窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性 3.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的包絡(luò)和相位的特性之和的包絡(luò)和相位的特性2022-3-172( )x t1 希爾伯特變換希爾伯特變換 ，其希爾伯特，其希爾伯

2、特 )(tx)(txH 設(shè)有一個實(shí)值函數(shù)設(shè)有一個實(shí)值函數(shù)（或記作（或記作 ）變換記作變換記作( )x t1( )( )( )xx tH x tdt反變換為反變換為11( )( )( )xx tHx tdt 希爾伯特希爾伯特2022-3-173 t1()1()( )1()1()( )x tx tx tddx tx tx tdd 2022-3-1742022-3-1741( )( )1( )( )*()xxx tddx tttt( )x t( )x t希爾伯特變換希爾伯特變換 正交濾波器正交濾波器 由由 可知，可知， 的希爾伯特變換看成是：將的希爾伯特變換看成是：將 通過一個具有沖通過一個具有沖擊

3、響應(yīng)為擊響應(yīng)為 的線性濾波器（時不變系統(tǒng)）的線性濾波器（時不變系統(tǒng)） 。( )1/h tt2022-3-1752022-3-175希爾伯特變換的沖擊響應(yīng)及傳遞函數(shù)希爾伯特變換的沖擊響應(yīng)及傳遞函數(shù)01( )()sgn( )0HHjhtHjjjt 證明：由對稱性性質(zhì)可知，若證明：由對稱性性質(zhì)可知，若 ，則，則)()(jFtf)(2)(fjtF因?yàn)橐驗(yàn)閖t2)sgn(，所以，所以)sgn(2)sgn(22jt整理得：整理得：1( )()sgn( )HHhtHjjt 2022-3-1762022-3-176002( )|( )| 1( )002jHHj 正交濾波器的傳輸函數(shù)正交濾波器的傳輸函數(shù)2022

4、-3-1772022-3-177希爾伯特逆變換希爾伯特逆變換11()1( )( )* ( ) x tx tHx tdx tt 11( )Hhtt 為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應(yīng)。為希爾伯特逆變換的單位沖擊響應(yīng)。 證明：證明： 若輸入信號為若輸入信號為 ( )( )*( )Hx tx tht通過一個濾波器通過一個濾波器 1( )Hht輸出為輸出為 11( )( )*( )( )*( )*( )HHHx tx thtx ththt顯然有顯然有1()()1HHHjHj所以所以 111()sgn( )()sgn( )HHHjjHjj反變換反變換 111( )()sgn( ) HHhtHjjt 2022

5、-3-1782022-3-1792022-3-1710可見，若可見，若x(t)x(t)若為若為t t的偶函數(shù)，則的偶函數(shù)，則 為為t t的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。同理，可見，若同理，可見，若x(t)x(t)若為若為t t的奇函數(shù)，則的奇函數(shù)，則 為為t t的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。( )x t( )x t2022-3-17112022-3-1712 1. 的希爾伯特變換為的希爾伯特變換為 。( )X t( )X t連續(xù)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于連續(xù)兩次連續(xù)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于連續(xù)兩次90度相度相移，正好移，正好180度相反。度相反。1( )( )( )XH X tdX tt 希爾伯特變換的性質(zhì)希爾伯特變換的

6、性質(zhì)2022-3-17132022-3-17142022-3-17152 解析過程及其性質(zhì)解析過程及其性質(zhì) 定義任一實(shí)隨機(jī)過程定義任一實(shí)隨機(jī)過程 ， 是是 的希爾伯特變換的希爾伯特變換, , 即即 ( )X t( )X t( )X t復(fù)復(fù)隨機(jī)過程定義為隨機(jī)過程定義為 ( )( )( )X tX tjX t為實(shí)隨機(jī)過程為實(shí)隨機(jī)過程 的復(fù)解析過程，簡稱的復(fù)解析過程，簡稱解析過程解析過程。( )X t( )X tdtXtXHtX)(1)()(2022-3-1716解析過程的性質(zhì)解析過程的性質(zhì)（1）若）若 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則 也是實(shí)隨也是實(shí)隨 機(jī)平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。機(jī)平穩(wěn)過程，

7、且聯(lián)合平穩(wěn)。( )X t( )X t 因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換，線性系統(tǒng)因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。平穩(wěn)。 2022-3-1717（2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同( )( )* ( )X tX th t2( )( )()( )XXXSSH jS2()1)H j經(jīng)傅里葉反變換，得經(jīng)傅里葉反變換，得( )( )XXRR( )( ),( )( )XXXXRRSS2022-3-1718（3）( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )(

8、)()XXRE X t X t代入代入 1( )( )XX tdt1( )( )()XXXREdX ttt令令 1()()( )XXX tX tREd11()()E X tX td()1( )XXRdR 將將 2022-3-1719（4）( )( )XXXXRR ( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )( )XXXXRR 2022-3-1720（5）()( )XXXXRR ()( )XXXXRR 1( )()( )()()XXXRE X t X tEdX tt令令 并作變量替換并作變量替換t()()1()XXE X tX tRd()()11XXRRdd ( )( )XXXRR 希爾

9、伯特變換與它的原實(shí)過程之間的希爾伯特變換與它的原實(shí)過程之間的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)2022-3-1721（6）(0)0XXR()( )XXXXRR (0)0XXR(0)(0)XXXXRR 表明在同一個時刻表明在同一個時刻t，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量 和和 正交，即正交，即注意，上式并不意味著注意，上式并不意味著 和和 兩個隨機(jī)過程正交。兩個隨機(jī)過程正交。tXtXtXtX0ttXXE2022-3-1722（7）( )2( )( )2( )( )XXXXXXRRjRRjR( )( ) () ( )( ) ()()( )( )( )( )2( )( )XXXXXXXXXXRE X t X t

10、E X tjX tX tjX tRRj RRRjR2022-3-1723（8）( )0( )( )0XXXXjSSjS由性質(zhì)由性質(zhì)（3）可知，可知， ( )( )( )*( )XXHXXRRRh兩邊取傅里葉變換兩邊取傅里葉變換 ( )sgn( )( )XXXSjS ( )0( )( )0XXXXjSSjS2022-3-1724（9）4( )0( )00XXSS由性質(zhì)由性質(zhì)（7）可知，可知， ( )2( )( )XXXXRRjR兩邊取傅里葉變換兩邊取傅里葉變換 ( )2( )( )2( )sgn( )( )2( )sgn( )( )4( )000XXXXXXXXXSSjSSjjSSSS解析過程的

11、功率譜密度只存在于正頻率，即它具有單邊功率解析過程的功率譜密度只存在于正頻率，即它具有單邊功率譜密度，其強(qiáng)度等于原來實(shí)過程功率譜密度強(qiáng)度的譜密度，其強(qiáng)度等于原來實(shí)過程功率譜密度強(qiáng)度的4倍。倍。2022-3-1725 ( )XS 4( )XS012022-3-17262022-3-17261( ) ( )()( )X ttjX tt1( )()1sgn( )2 ( )tjjjut ( )u將解析信號表達(dá)式進(jìn)行變換：將解析信號表達(dá)式進(jìn)行變換：而而式中：式中： 是頻域的單位階躍函數(shù)，因此是頻域的單位階躍函數(shù)，因此 如果如果 是平穩(wěn)隨機(jī)信號，則解析信號是隨機(jī)的，是平穩(wěn)隨機(jī)信號，則解析信號是隨機(jī)的，其頻

12、譜為：其頻譜為：( )X t2( ) 0( )( )2 ( )0 0XXXu 解析信號本質(zhì)是原信號的正頻率部分，為原信號頻譜正解析信號本質(zhì)是原信號的正頻率部分，為原信號頻譜正頻域分量的兩倍。它是實(shí)信號的一種頻域分量的兩倍。它是實(shí)信號的一種“簡潔簡潔”形式。形式。研究解析信號的意義研究解析信號的意義2022-3-17272022-3-1727實(shí)連續(xù)信號的包絡(luò)、瞬時相位、瞬時頻率實(shí)連續(xù)信號的包絡(luò)、瞬時相位、瞬時頻率( )( )( )X tX tjX t22( )( )( )( )A tX tXtXt( )( )arctan( )X ttX t( )( )dttdt包絡(luò)，瞬時振幅包絡(luò)，瞬時振幅瞬時相

13、位瞬時相位瞬時頻率瞬時頻率2022-3-17282022-3-1728Matlab實(shí)例clc;clear all;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) %信x的表達(dá)式y(tǒng)=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).2+abs(y).2); %求信號x的包絡(luò)，瞬時振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信號x(t)subplot(2,2,2);plot(A);title(信號x(t)的包絡(luò))thet=atan(iz./rz); %求信號x的瞬時相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(信號x(t)的瞬時相位)2022-3-17292022-3-17292022-3-1730例例 設(shè)低頻信號設(shè)低頻信號 的頻譜為的頻譜為( )|2( )0AA其他)(ta證明：當(dāng)證明：當(dāng) 時，滿足時，滿足20ttattaHttattaH0000cos)(sin)(sin)(cos)(2022-3-1731設(shè)設(shè)證證其頻譜為：其頻譜為：ttats0cos)()(0)(210)(21)()(21)(0000AAAAS其希爾伯特變換的頻譜密度為：其希爾伯特變換的頻譜密度為：0000( )sgn( ) ( ) ()()2( )( )s