醫(yī)用高等數(shù)學中“湊微分”思想淺析

1、    醫(yī)用高等數(shù)學中“湊微分”思想淺析日期: 2011-5-24 14:01:15瀏覽: 0來源: 學海網收集整理作者:                          作者：安洪慶 孔雨佳 王培承【摘要】  不定積分的求解一直是高等數(shù)學的重點，但由于其方法的靈活性以及結果的不確定性，又一直是高等數(shù)學的難

2、點。針對不定積分求解方法的核心思想“湊微分”，就其技巧、步驟的形式化方面做了相關分析和總結，并給出了一系列行之有效的“湊微分”的形式化步驟和技巧。 【關鍵詞】  不定積分; 湊微分; 換元積分法; 分部積分法; 醫(yī)用高等數(shù)學微積分是醫(yī)用高等數(shù)學的基本和主要內容，在數(shù)學甚至是自然科學的發(fā)展階段中有著不可磨滅的貢獻，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里”1。不定積分是微積分中的重要一章，是解決反問題的重要方法，在科學、技術和經濟等許多領域中有著重要的應

3、用。不定積分掌握程度的好壞直接決定著對后面定積分、多元函數(shù)微積分以及微分方程等章節(jié)內容的掌握，亦對后續(xù)課程的學習有很大的影響。由于不定積分方法的靈活性和結果的不確定性，同學們在學習時往往顯得無從下手，下面結合自己在講授不定積分時的經驗，關于不定積分求解方法的學習提幾點建議。作者在教學之余，曾關于不定積分的求解方法總結過一句口訣“原函數(shù)，結牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”2。不定積分的常規(guī)求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即“湊微分”。1 換元積分法中的“湊微分”換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，其基

4、本原理是：當JF(Zg(x)dxJF) 不容易直接求出時，則將其轉化成JF(Zf(x)(x)dxJF) ，然后令(x)dx=d(x)=du (取(x)=u ) ，即JF(Zg(x)dxJF)=JF(Zf(x)(x)dxJF)=JF(Zf(x)d(x)JF)=JF(Zf(u)duJF) 。其中的關鍵是第一步：將g(x) 拆分成f(x)(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個常見的湊微分公式并不能給同學們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結為“一拆、二靠、三轉化”三步走，并且結合常見的不定積分公式求解，這樣同學們掌握起來就比較容易了。1.1 “拆”遇到一個不定積

5、分題目，首先看其能否直接拆分成若干個函數(shù)的乘積，若能，則挨個觀察拆分成的函數(shù)能否湊微分，找出合適的進行湊微分求解。如：求解不定積分 JF(Zcosx2xdxJF)分析：觀察到被積函數(shù)cosx2x 可以拆分成兩個函數(shù)的乘積：cosx?12x ，并且12x 可以進行湊微分從而變成dx 。解：JF(Zcosx2xdxJF)=JF(Zcosx?12xdxJF)=JF(ZcosxdxJF)=sinx+C。1.2 “靠”若一個不定積分不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標去靠近

6、從而求解。如：求解不定積分 JF(Z1a2+x2dxJF)分析：通過觀察此不定積分不能直接進行拆分，但其與不定積分基本公式JF(Z11+u2duJF)=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標去靠近。解：JF(Z1a2+x2dxJF)=1a2JF(Z11+(xa)2dxJF)=1aJF(Z1adx1+(xa)2JF)=1aJF(Zd(1ax)1+(xa)2JF)=1aarctanxa+C。1.3 轉化若一個不定積分既不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近，則可以先利用恒等變形等方法進行轉化，再根據(jù)

7、轉化的形式進行相應求解。如：求解不定積分 JF(Z1a2-x2dxJF)分析：此不定積分既不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近。通過觀察被積函數(shù)1a2-x2 可以用拆分成1a-x?1a+x ，從而逆用通分公式變成12a(1a-x+1a+x) 進行求解。解：JF(Z1a2-x2dxJF)=JF(Z1(a+x)(a-x)dxJF)=12aJF(Z(1a+x+1a-x) dxJF)=12aJF(Z1a+xdxJF)+JF(Z1a-x) dxJF)=12aJF(Z1a+xd(a+x)JF)-JF(Z1a-x) d(a

8、-x)JF)=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。2 分部積分法中的“湊微分”分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式(主要是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)五類基本初等函數(shù)形式的乘積)的不定積分，主體內容可以概括為“一套公式、兩個步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：JF(Zu(x)dv(x)JF)=u(x)v(x)-JF(Zv(x)du(x)JF)等價于 JF(Zu(x)v(x)dxJF)=u(x)v(x)-JF(Zv(x)u(x)dxJF)兩個基本步驟即： 配微分，即將JF(Zf(x)dxJF) 變形為 JF(ZudvJF)

9、; 代入分部積分公式求解、化簡(可以重復使用)。三種解題類型即： 配微分后直接套公式計算、化簡; 使用兩次分部積分公式后移項解方程; 直接積分法、換元積分法和分部積分法結合運用。分部積分法的關鍵是步驟中的配微分，即將f(x) 拆分成uv。u與v選擇不當會使題目求解越陷越繁瑣，例如求解不定積分JF(ZxcosxdxJF) ：解法1：選擇u=cosx ，v=xJF(ZxcosxdxJF)=12JF(Zcosxdx2JF)=12x2cosx+12JF(Zx2sinxdxJF)=12x2cosx+16JF(Zsinxdx3JF)=12x2cosx+16x3sinx-16JF(Zx3d sinxJF)=

10、12x2cosx+16x3sinx-16JF(Zx3cosxdxJF)= (陷入無限循環(huán)中)。解法2：選擇u=x ，v=cosxJF(ZxcosxdxJF)=JF(Zxd sinxJF)=xsinx- JF(ZsinxdxJF)=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解簡單明了)。對于u 與v的選擇，我們有以下兩個原則: u 、v選擇要得當，使 v容易求出。 JF(ZvduJF)要比原積分 JF(ZudvJF) 容易求解。遵循上面的兩個原則，在教學實際中我們總結出一個比較實用的方法：對拆分成乘積的兩個函數(shù)求導數(shù)，若函數(shù)類型發(fā)生變化則做u，沒有發(fā)生變化則做v，全部沒有發(fā)生變

11、化則任選其一做u 即可。如：求解不定積分 JF(ZexcosxdxJF)分析：指數(shù)函數(shù)ex 與三角函數(shù)cosx 求導數(shù)后仍然為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)，函數(shù)類型都沒有發(fā)生變化，則任選其一做u 即可。解1：JF(ZexcosxdxJF)=JF(Zexd sinxJF)=exsinx-JF(ZsinxdexJF)=exsinx-JF(Zsinx exdxJF)=exsinx+JF(Zexd cosxJF)=exsinx+excosx-JF(ZcosxdexJF)=exsinx+excosx-JF(ZexcosxdxJF)移項整理得 JF(ZexcosxdxJF)=12ex(sinx+cosx)+C。解2

12、： JF(ZexcosxdxJF)=JF(ZcosxdexJF)=excosx-JF(Zexd cosxJF)=excosx+JF(ZexsinxdxJF)=excosx+JF(ZsinxdexJF)=excosx+exsinx-JF(Zexd sinxJF)=excosx+exsinx-JF(ZexcosxdxJF)移項整理得 JF(ZexcosxdxJF)=12ex(cosx+sinx)+C。另外，針對某些被積函數(shù)只有一個的情況，可以看成其與常數(shù)的乘積。如：求解不定積分 JF(ZarctanxdxJF)分析: 被積函數(shù)arctanx 可以看成arctanx?1 ，arctanx 求導得11

13、+x2 ，類型由反三角函數(shù)形式變成冪函數(shù)形式，而1求導得0，仍為冪函數(shù)形式不變，因此取u=arctanx ，v=1 即v=x 。解：JF(ZarctanxdxJF)=xarccosx-JF(Zxd arccosxJF)= xarccosx+JF(Zx11-x2 dxJF)=xarccosx+12JF(Zx11-x2 dx2JF)=xarccosx-12JF(Zx11-x2 d(1-x2)JF)xarccosx-1-x2+C。此方法對于“配微分”的選擇來說是比較實用的，并且可以培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維，但在一定方面亦有其局限性，對于某些題目，容易使同學們產生“歧途亡羊”之感。如：求解不定積分 JF(

14、Zx2cosx dxJF)分析: 被積函數(shù)x2 求導得2x ，cosx 求導得-sinx ，類型仍是冪函數(shù)和三角函數(shù)形式，因此應該任取一個做u 即可，但通過下面的求解發(fā)現(xiàn)并不是如此。解法1：JF(Zx2cosx dxJF)=13JF(Zcosx dx3JF)=13x3cosx-13JF(Zx3d cosxJF)=13x3cosx+13JF(Zx3sinxdxJF)=13x3cosx+112JF(Zsinxdx4JF)=13x3cosx+112x4sinx-112JF(Zx4d sinxJF)=13x3cosx+112x4sinx-112JF(Zx4cosxdxJF)= (陷入無限循環(huán))。解法2

15、： JF(Zx2cosx dxJF)=JF(Zx2d sinxJF)=x2sinx-JF(Zsinx dx2JF)=x2sinx-2JF(Zxsinx dxJF)=x2sinx+2JF(Zxd cosxJF)=x2sinx+2xcosx-2JF(Zcosx dxJF)=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解簡單明了)。為解決此缺陷，我們再給出一個選擇u 及v 的簡便方法(此法在高等數(shù)學3中亦有相應體現(xiàn))：把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三(反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))”的順序,前者為u ，后者為v 。如：求解不定積分 JF(Zx2cosx dxJF)分析：被積函數(shù)x2cosx 可以看成冪函數(shù)x2 與三角函數(shù)cosx 的乘積，按照“反對冪指三”順序取u=x2 ，v=cosx (具體求解過程即上例解法2)。其實，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學生的發(fā)散思維，但對于某些問題不能廣泛使用，第二種方法雖然簡潔、應用廣泛，但是又限制了同學們發(fā)散