基于Matlab的IIR數(shù)字濾波器設計(論文)

1、摘 要在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N復雜成分，所以很多信號分析都是基于濾波器而進行的，而數(shù)字濾波器是通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(FIR數(shù)字濾波器。實現(xiàn)IIR 濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應用很廣。Matlab 軟件以矩陣運算為基礎，把計算、可視化及程序設計有機融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和應用提供了一個直觀、高效、便

2、捷的利器。尤其是Matlab 中的信號處理工具箱使各個領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究與工程應用。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設計要求。接著利用MATLAB 函數(shù)語言編程，用信號處理圖形界面FDATool 來設計濾波器以及Sptool 界面設計的方法，并用FDATool 模擬IIR 數(shù)字濾波器處理信號。重點設計Chebyshev I型和Chebyshev II型數(shù)字低通濾波器, 并介紹最優(yōu)化設計?！娟P(guān)鍵字】 IIR 濾波器 FDATool Sptool SimulinkABSTRACTIn modern communication systems, Because ofte

3、n mixed with various signal complex components, So many signal analysis is based on filters, and the digital filter is realized through numerical computation, digital filters filter with high precision, stability and flexibility, don't exist, can realize the impedance matching simulating the spe

4、cial filter cannot achieve filter function. Digital filter according to its impulse response function and characteristics of the time can be divided into two kinds, namely the infinite impulse response (IIR digital filter and finite impulse response (FIR digital filters. The order of realizing IIR f

5、ilter is used, low and high efficiency less storage unit, high precision, and can keep some simulation characteristics of filter, so it is widely used. Matlab software based on matrix computation, the calculation, visualization and program design of organic integration to interactive environment for

6、 digital filter, and the research and application of provides an intuitive, efficient and convenient tool. Especially in the Matlab signal processing to all areas of research toolbox personnel can easily for scientific research and engineering application. This paper introduces the concept of digita

7、l filter, classification and design requirements. Then using MATLAB language programming, with functions of signal processing FDATool graphical interface design of interface design and Sptool filter, and FDATool analog signal processing IIR digital filter. Key design Chebyshev type I and II digital

8、Chebyshev lowpass filter, and introduces optimization design.【Keywords 】 IIR Filter FDATool Sptool Simulink目 錄前 言. 第一章 數(shù)字濾波器. 第一節(jié) 數(shù)字濾波器的概念 . 第二節(jié) 數(shù)字濾波器的分類 . 第三節(jié) 數(shù)字濾波器的設計要求 . 第二章 IIR數(shù)字濾波器設計方法 . 第一節(jié) IIR數(shù)字濾波器的設計步驟. 第二節(jié) 用脈沖相應不變法設計IIR 數(shù)字濾波器 . 一、設計原理. 二、脈沖響應不變法優(yōu)缺點. 第三節(jié) 雙線性變換法設計IIR 數(shù)字濾波器 . 一、設計原理. 二、雙線性變換法優(yōu)

9、缺點. 第三章 IIR濾波器的MATLAB 設計 . 第一節(jié) IIR數(shù)字濾波器的典型設計法. 第二節(jié) IIR數(shù)字濾波器的直接設計法. 第三節(jié) FDATool介紹和界面設計. 第四節(jié) FDATOOL設計IIR 數(shù)字濾波器. 第五節(jié) SIMULINK 仿真IIR 濾波器 . 總 結(jié). 致 謝. 參考文獻. 結(jié)束語. 前 言隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術(shù)領(lǐng)域。目前數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應用。在數(shù)字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應用的是數(shù)字濾波器（DF ，Digital F

10、ilter），根據(jù)其單位沖激響應函數(shù)的時域特性可分為兩類：無限沖激響應IIR （Infinite Impulse Response ）濾波器和有限沖激響應FIR （Finite Impulse Response）濾波器。與FIR 濾波器相比，IIR 的實現(xiàn)采用的是遞歸結(jié)構(gòu)，極點須在單位圓內(nèi)，在相同設計指標下，實現(xiàn)IIR 濾波器的階次較低，即所用的存儲單元少，從而經(jīng)濟效率高。MATLAB 是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室 的縮寫。它是美國的MathWorks 公司推出的一套用于科學計算和圖形處理可視化、高性能語言與軟件環(huán)境。MATLAB 的信號處理工具箱是專門應用于信號處理領(lǐng)

11、域的專用工具箱，它的兩個基本組成就是濾波器的設計與實現(xiàn)部分以及譜分析部分。工具箱提供了豐富而簡便的設計，使原來繁瑣的程序設計簡化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標參數(shù)調(diào)用相應的濾波器設計程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設計結(jié)果，使用非常方便。重慶郵電大學高教自考畢業(yè)設計（論文）第一章 數(shù)字濾波器第一節(jié) 數(shù)字濾波器的概念濾波器是指用來對輸入信號進行濾波的硬件和軟件。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法，將代表輸入信號的數(shù)字時間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號的數(shù)字時間序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號按預定的形式變化。數(shù)字濾波實質(zhì)上是一種運算過程，實現(xiàn)對信號的運

12、算處理。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因為信號的形式和實現(xiàn)濾波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個完成特定運算的數(shù)字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:Y (e j =X (e j H (e j （式1-1）其中Y (e j 、X (e j 分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, H (

13、e j 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜X (e j 經(jīng)過濾波后X (e j H (e j , 因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇H (e j ，使得濾波后的X (e j H (e j 滿足設計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。第二節(jié) 數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典

14、濾波器不能有效地濾除干擾，最大限度地恢復信號，這時就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地回復信號，從而達到最佳濾波的目的。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。 圖1-1 各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(FIR數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現(xiàn)，其差分方程為：NNiy (

15、n =ai =0x (n -i +bi =1iy (n -i （式1-2）系統(tǒng)函數(shù)為：MbH (z =r =0NZ r-r（式1-3）i1+ak =1Z-k設計IIR 濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z，使其頻率響應H(z滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。 第三節(jié) 數(shù)字濾波器的設計要求濾波器的指標常常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)H (e jw 一般為復函數(shù)，所以通常表示為：H (e =H (z |z =e jw =H (e ejw jw j (w （式1-4）其中，|H (e jw |稱為幅頻特性函數(shù)，(w稱

16、為相頻特性函數(shù)。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時間上的延時情況。一般IIR 數(shù)字濾波器，通常只用幅頻響應函數(shù)|H (e jw |來描述設計指標，相頻特性一般不作要求。IIR 濾波器指標參數(shù)如下圖所示。圖中，p 和s 分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；1和2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB 數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB ）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB ）分別為p 和s 表示：a p =-20lg1-11+1=20lg1+11-1（式1-5）a s =-20lg 2（式1-6）一般要求：當0p 時，-20lg H (ej

17、wa pjw；當時，a s -20lg H (e。 圖1-2 低通濾波器的技術(shù)要求第二章 IIR 數(shù)字濾波器設計方法IIR 數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為MbH (Z =k =0Nkz-k=kr (z x (z （式2-1）1-ak =1z-k假設M N ，當M N 時, 系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR 的子系統(tǒng)和一個(M-N的FIR 子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR 數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)a k 和b k ，它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S 平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z 平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。第

18、一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的設計步驟IIR 數(shù)字濾波器的設計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設計方法進行。其設計步驟是，先設計模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內(nèi)進行，由于需要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機做輔助設計。其設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)H a (s ，然后將H a (s 按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H (z 。這是因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)

19、良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉(zhuǎn)換后的H (z 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求:(1因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2數(shù)字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性，s 平面的虛軸映射為z 平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關(guān)系。 利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR 數(shù)字濾波器的過程是：(1確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：通帶邊界頻率p 、通帶最大衰減p 、阻帶截止頻率s 、阻帶最小衰減s 。(2將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成相應的模擬低通濾波器的技術(shù)指標。(3按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設計過渡模擬低通濾波器。(4用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器H

20、a (s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H (z 。IIR 數(shù)字濾波器的設計流程圖如下：圖2-1 IIR數(shù)字濾波器的設計步驟流程圖成熟的模擬濾波器設計方法主要有脈沖響應不變法和雙線性變換法。第二節(jié) 用脈沖相應不變法設計IIR 數(shù)字濾波器一、設計原理利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h (n 模仿模擬濾波器的沖激響應h a (t ，即將h a (t 進行等間隔采樣，使h (n 正好等于h a (t 的采樣值，滿足h (n =h a (nT 式中, T 是采樣周

21、期。如果令H a (s 是h a(t 的拉普拉斯變換，H (z 為h (n 的Z 變換，利用采樣序列的Z 變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 X (z |z -g xT =1Tk =-X a (s -jk s =1Tk =-2X a s -j k (式T 2-2則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S 平面變換成數(shù)字濾波器的Z 平面，這個從s 到z 的變換z =esT 是從S 平面變換到Z 平面的標準變換關(guān)系式。 S 平面圖2-2 脈沖響應不變法的映射關(guān)系由（2-2）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關(guān)系為H (ej =1Tk =-2k H a j (式T 2-3這就是說，數(shù)

22、字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即H a (j =0T=s 2(式2-4才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真，即H (eej =H a j <T T 1(式2-5但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖

23、響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 圖2-3脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應h a (t 進行采樣，采樣頻率為f s ，若使f s增加，即令采樣時間間隔（T =1/f s ）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。二、脈沖響應不變法優(yōu)缺點從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T 。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應不變法的最

24、大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 ，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數(shù)。 第三節(jié) 雙線性變換法設計IIR 數(shù)字濾波器一、設計原理脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S 平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，

25、可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T /T 之間，再用z =esT 轉(zhuǎn)換到Z 平面上。也就是說，第一步先將整個S 平面壓縮映射到S 1平面的-/T /T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z =es 1T 將此橫帶變換到整個Z 平面上去。這樣就使S 平面與Z 平面建立了一一對應的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖2-3所示。 S 平面S 1平面 Z 平面圖2-4雙線性變換的映射關(guān)系為了將S 平面的整個虛軸j 壓縮到S1平面j 1軸上的-/T 到/T 段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)=T tan 1 （式T 222-6）式中, T 仍是

26、采樣間隔。當1由-/T 經(jīng)過0變化到/T 時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j 軸。將式（2-6）寫成j =2T e.ej 1T /2-e +ej T /2j 1T /2-j 1T /2（式2-7）將此關(guān)系解析延拓到整個S 平面和S1平面，令j =s ，j 1=s 1，則得2e i -e i 2s 1T 21-e 1s =. s T /2=tanh =. -s i T /2-s i T （式2-8） iT e T 2T +e 1+e s T /2-s T /2-s T再將S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到Z 平面z =e 1sT（式2-9）從而得到S 平面和Z 平面的單值映射關(guān)系為：s =

27、21-z T 1+z-1-1（式2-10）+s1+z =1-T T 2s s2=2T（式2-11）-s式（2-10）與式（2-11）是S 平面與Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（2-6）與式（2-10）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 首先, 把z =e，可得s =21-e T 1+e-j -j j =jtan =j （式2-12） T 22即S 平面的虛軸映射到Z 平面的單位圓。 其次，將s =+j代入式（2-12），得2z =T 2T+j （式2-13）-j 因此22 +T 22 -+T 22z =（式2-14）由此看出，當<0

28、時，|z |<1；當>0時，|z |>1。也就是說，S 平面的左半平面映射到Z 平面的單位圓內(nèi)，S 平面的右半平面映射到Z 平面的單位圓外，S 平面的虛軸映射到Z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。二、雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S 平面與Z 平面是單值的一一對應關(guān)系。S 平面整個j 軸單值地對應于Z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（2-10）所示，重寫如下：=tan T 22（式2-15）上式表明，S 平面上與Z 平面的成非線性的正

29、切關(guān)系，如圖2-4所示。由圖2-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖2-5雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（2-12）及圖2-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)

30、型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖2-5所示。 圖2-6雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。第三章 IIR 濾波器的MATLAB 設計MATLAB 是矩陣實驗室（Matrix Laboratory ）之意。除具備卓越

31、的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學, 工程中常用的形式十分相似, 故用MATLAB 來解算問題要比用C,FORTRAN 等語言完相同的事情簡捷得多. 在新的版本中也加入了對C,FORTRAN,c+ ,JAVA 的支持. 可以直接調(diào)用, 用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB 函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB 愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用，非常的方便。模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，

32、如巴特沃斯(Butterworth 濾波器、切比雪夫(Chebyshev濾波器、橢圓(Cauer 濾波器、貝塞爾(Bessel 濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。用MATLAB 進行數(shù)字濾波器的設計的步驟如下:（1） 將設計指標歸一化處理。如果采用雙線性變換法，還需進行預畸變。 （2） 根據(jù)歸一化頻率，確定最小階數(shù)N 和頻率參數(shù)Wn ?？晒┻x用的階數(shù)擇函數(shù)有:buttord，cheblord ，cheb2ord ，ellipord 等。（3） 運用最小階數(shù)N 設計模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和besselap

33、 ，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用zp2tf 函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項式形式。如果想根據(jù)最小階數(shù)直接設計模擬低通濾波器原型，可用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的Wn 設為1。（4） 根據(jù)第2步的頻率參數(shù)Wn ，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs 。（5） 運用脈沖響應不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是impinvar 和bilinear 。脈沖響應不變法適用于采樣頻率大于4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于

34、相位特性要求不高的各型濾波器。（6） 根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)，調(diào)用函數(shù)buttord 計算N 和wc ，有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)Z, 再用freqz 函數(shù)驗證設計結(jié)果。第一節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的典型設計法設計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=2.1kHZ，通帶最大衰減Rp=0.5dB；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ。低通巴特沃斯濾波器設計步驟如下： （1） 確定階數(shù)N 。k sp =10100. 1R s 0. 1R p-1-1=112. 233sp =2f s 2fp=3. 8N =lg 112.

35、 233lg 3. 8=3. 35, 取N=4（2） 求極點p 0=e3j 5，p 1=e4j 5，p 2=ej ，p 3=e6j 5，p 4=e7j 5歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為G a (p =14p k (p -k =0由N=4直接查表得到：極點：-0. 3827±j 0. 9239 -0. 9239±j 0. 3827歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為G a (p =1p +b 3p +b 2p +b 1p +b 04321式中，b 0=0.0000, b 1=0.0999, b 2=0.1914, b 3=0.0252（3） 將G a (p 去歸一化最終得到H a (s =c

36、43252314s +b 3c s +b 2s +b 1s +b 0c通過計算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯，結(jié)果不直觀。 下面用M 程序設計來實現(xiàn)用脈沖響應不變法設計的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的M 程序如下： fp=2100; fs=8000; Fs=20000; Rp=0.5; Rs=30;T=1/Fs; %設計指標 W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;%求歸一化頻率 N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,'s' %確定butterworth 的最小介數(shù)N 和頻率參數(shù)Wnz,p,k=buttap(N; %設計模擬低通原型的零極點增益參數(shù) bp,

37、ap=zp2tf(z,p,k; %將零極點增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù) bs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs;%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通 bz,az=impinvar(bs,as,Fs; %用脈沖響應不變法進行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T; %給出傳輸函數(shù)H(Z H,W=freqz(bz,az,512,Fs; %生成頻率響應參數(shù) subplot(2,1,1;plot(W,20*log10(abs(H; %繪制幅頻響應 grid on; %加坐標網(wǎng)格 xlabel('頻率/Hz' ylabel('振幅/dB' subplot(2,1,2;plo

38、t(W,abs(H; grid on; xlabel('頻率/Hz' ylabel('振幅/H'運行后的波形如下： 圖3-1 典型濾波器在Matlab 上運行波形運行結(jié)果： N =4bz = 0.0000 0.0999 0.1914 0.0252az= 1.0000 -1.4336 1.0984 -0.4115 0.0627 可以得出：只需編程，結(jié)果非常直觀。 雙線性變換法設計步驟如下：（1）首先寫出該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H (s =a s +a, a =1RC（2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H 1(z 為H 1(z =H a (s |aT aT +

39、221-z-1=a 1(1+z 1+a 2z-1-1s =T 1+z -1a 1=, a 2=aT -2aT +2用雙線性變換法設計橢圓數(shù)字低通濾波器的M 程序如下： fs=20000;wp=2*pi*2100/fs; ws=2*pi*8000/fs; Rp=0.5; Rs=30; Ts=1/fs;Wp=2/Ts*tan(wp/2;Ws=2/Ts*tan(ws/2; %按頻率轉(zhuǎn)換公式進行轉(zhuǎn)換 N,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s' %計算模擬濾波器的最小階數(shù) z,p,k=ellipap(N,Rp,Rs;%設計模擬原型濾波器Bap,Aap=zp2tf(z,p,

40、k; %零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn; %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)化bz,az=bilinear(b,a,fs; %運用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) H,f=freqz(bz,az,512,fs; subplot(2,1,1;plot(f,20*log10(abs(H; title('N=2 頻率響應' grid on;xlabel('頻率/Hz' ylabel('振幅/dB' subplot(2,1,2;plot(f,abs(H; grid on; xlabel('頻率/Hz&#

41、39; ylabel('振幅/H'圖3-2 雙線性變換法設計的橢圓數(shù)字低通濾波器運行波形運行結(jié)果：N=2bz= 0.1213 0.1662 0.1213az= 1.0000 -0.9889 0.4218第二節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的直接設計法除了典型設計以外，MATLAB 信號處理工具箱提供了幾個直接設計IIR 數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用就可以設計濾波器，這為設計通用濾波器提供了方便。主要有以下幾種方法：1. 零極點累試法這種方法也稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意：(1極點必須位于z 平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；(2復數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的

42、系數(shù)是實的。2. 在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設計IIR 數(shù)字濾波器3. 在時域直接設計IIR 數(shù)字濾波器 設計Butterworth 濾波器用函數(shù)butter(，可以設計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度。設計Chebyshev I型濾波器用函數(shù)chebyl(?？梢栽O計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬Chebyshev I 型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。Chebyshev I型濾波器的下降斜度比II 型大，但其代價目是通帶內(nèi)波紋較大。設計Chebyshev II 型濾波器用函數(shù)cheby2(。可以設

43、計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬Chebyshev II 型濾波器，其通帶內(nèi)為單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋。Chebyshev II型濾波器的下降斜度比I 型小，但其阻帶內(nèi)波紋較大。設計橢圓濾波器用函數(shù)ellip(，與chebyl, cheby2類似，可以設計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器。與Butterworth 和chebyshev 濾波器相比，ellip 函數(shù)可以得到下降斜度更大的濾波器，得通帶和阻帶均為等波紋。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實現(xiàn)指定的性能指標。在使用各類濾波器函數(shù)時應當注意以下重點:(1、階數(shù)和固有頻率的選擇:N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs可得

44、到符合要求性質(zhì)的濾波器的最小階數(shù)N 以及數(shù)字Butterworth 濾波器的固有頻率Wn(即3dB 。設計的要求是在通帶內(nèi)的衰減不超過Rp, 在阻帶內(nèi)的衰減不小于Rs ，通帶和阻帶有截止頻率分別是Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是0, 1，對應弧度。(2、有關(guān)濾波器設計當中的頻率歸一化問題:信號處理工具箱中經(jīng)常使用的頻率是Nyquist 頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數(shù)選擇和設計中的截止頻率均使用Nyquist 頻率進行歸一化處理。例如對于一個采樣頻率為1000 Hz 的系統(tǒng)，400Hz 的歸一化即為400/500=0.8。歸一化頻率的范圍在0, 1之間。如果要將歸一化頻率

45、轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以; 如果要將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為Hz, 則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。(3、設計一個N 階的低通Butterworth 濾波器使用函數(shù)B,A=butter(N, Wn ，返回濾波器系數(shù)矩陣B,A。其中固有頻率Wn 必須是歸一化頻率。它的最大值是采樣頻率的一半。Fs 缺省時默認為2Hz 。如果Wn=Wl,W2是一個兩元素的向量，則函數(shù)將設計出一個2N 階的帶通濾波器，通帶為W1,W2。設計Chebyshev I型和Chebyshev II型數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻率fp=2.1kHZ，通帶最大衰減Rp=0.5dB；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs

46、=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ。Chebyshev I型的M 程序如下：Fs=20000;Fls=8000;Wp=2*Flp/Fs; %歸一化的通帶截止頻率Ws=2*Fls/Fs;Rp=0.5;Rs=30; %歸一化的阻帶截止頻率 %通帶最大衰減（單位：dB ） %抽樣頻率20KHz Flp=2100; %阻帶最小衰減（單位：dB ）N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs; %返回最小階數(shù)和截止頻率b,a=cheby1(N,Rp,Wn; %返回H(z的分子分母系數(shù)hw,w=freqz(b,a;subplot(2,1,1;plot(w/pi,20*log10(abs(hw;g

47、rid on;xlabel('/'ylabel('幅度（dB ）'title('切比雪夫I 型幅頻響應'subplot(2,1,2;plot(w/pi,abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（H ）'運行后的波形如下： 圖3-3 Chebyshev I型運行波形運行結(jié)果：N=2b= 0.1007 0.2014 0.1007a= 1.0000 -0.9872 0.4140Chebyshev II型M 程序如下：Fs=20000;Fls=8000;Wp=2*Flp/Fs; %歸一化的通帶

48、截止頻率Ws=2*Fls/Fs; %歸一化的阻帶截止頻率Rp=0.5;Rs=30; %通帶最大衰減（單位：dB ） %抽樣頻率20KHz Flp=2100; %阻帶最小衰減（單位：dB ）N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs; %返回最小階數(shù)和截止頻率b,a=cheby2(N,Rs,Wn; %返回H(z的分子分母系數(shù)hw,w=freqz(b,a;subplot(2,1,1;plot(w/pi,20*log10(abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（dB ）'title('切比雪夫II 型幅頻響應's

49、ubplot(2,1,2;plot(w/pi,abs(hw;grid on;xlabel('/'ylabel('幅度（H ）'運行后的波形： 圖3-4 Chebyshev II型運行波形運行結(jié)果：N=2b= 0.2357 0.4241 0.2357a= 1.0000 -0.2996 0.1950從頻率響應圖中可以看出:巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，通帶內(nèi)平滑; 切比雪I 型濾波器的幅頻特性在通帶內(nèi)有波動，阻帶內(nèi)單調(diào);chebyshev II 型濾波器的幅頻特性在阻帶內(nèi)有波動，通帶內(nèi)單調(diào); 橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，下降斜度比較大，通帶和阻帶內(nèi)

50、均為等波紋，同樣的性能指標，橢圓濾波器可以最低的階數(shù)來實現(xiàn)。這樣根據(jù)不同的要求可以選用不同類波器。第三節(jié) FDATool 介紹和界面設計FDATool(Filter Design&Analysis Tool是MATLAB 信號處理工具箱里專用的濾波器設計分析工具，MATLAB 6.O以上的版本還專門增加了濾波器設計工具箱(Filter Design Toolbox。FDATool 可以設計幾乎所有的常規(guī)濾波器，包括FIR 和IIR 的各種設計方法。它操作簡單，方便靈活。FDATool 。界面總共分兩大部分，一部分是Design Filter。在界面的下半部，用來設置濾波器的設計參數(shù)；另

51、一部分則是特性區(qū)，在界面的上半部分，用來顯示濾波器的各種特性。Design Filter部分主要分為：Filter Type(濾波器類型 選項，包括Lowpass(低通 、Highpass(高通 、Bandpass(帶通 、Bandstop(帶阻 和特殊的 FIR濾波器。Design Method(設計方法 選項，包括IIR 濾波器的Butterwotth(巴特沃思 法、Chebyshev Type I(切比雪夫I 型 法、Chebyshev Type II(切比雪夫II 型 法、Elliptic(橢圓濾波器 法和FIR 濾波器的Equiripple 法、Least-Squares(最小乘方

52、法、 Window(窗函數(shù) 法。Filter Order(濾波器階數(shù) 選項，定義濾波器的階數(shù)，包括Specify Order(指定階數(shù) 和Minimum Order(最小階數(shù) 。在Specify Order中填入所要設計的濾波器的階數(shù)(N階濾波器，Specify Order="N-1"。如果選擇Minimum Order ，則MATLAB 根據(jù)所選擇的濾波器類型自動使用最小階數(shù)。Frequency Specifications選項，可以詳細定義頻帶的各參數(shù)，包括采樣頻率和頻帶的截止頻率。它的具體選項由Filter Type 選項和Design Method 選項決定。例如B

53、andpass(帶通 濾波器需要定義Fstop1(下阻帶截止頻率 、Fpass1(通帶下限截止頻率 、Fpass2 (通帶上限截止頻率 、Fstop2(上阻帶截止頻率 ，而Lowpass(低通 濾波器只需要定義Fstop1、Fpass1。采用窗函數(shù)設計濾波器時，由于過渡帶是由窗函數(shù)的類型和階數(shù)所決定，所以只需定義通帶截止頻率，而不必定義阻帶參數(shù)。Magnitude Specifications選項，可以定義幅值衰減的情況。例如設計帶通濾波器時，可以定義Wstop1(頻率Fstop1處的幅值衰減 、Wpass (通帶范圍內(nèi)的幅值衰減 、Wstop2(頻率Fstop2處的幅值衰減 。當采用窗函數(shù)設計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為6db ，所以不必定義。Window Specifications 選項，當選取采用窗函數(shù)設計，該選項可定義，它包含了各種窗函數(shù)?；贛ATLAB 函數(shù)的濾波器設計完成后，需要對已設計的濾波器的頻率響應要進行校核。要得到幅頻、相頻響應特性，運算量也是很大的。而利用MATLAB 強大的信號處理界面工具進行計算機輔助設計，可以快速有效地設計數(shù)字濾波器，大大地簡化了計算量。第四節(jié) FDATOOL 設計IIR 數(shù)字濾波器我們將以一個IIR 濾波器的設計實例來具體說明使用MATLAB 工具箱的方便。要求設計Chebyshev1 型低通濾波器滿足指