吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義

1、吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義第十二章 微分方程12-1微分方程的基本概念一、引例首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。例1一條曲線通過點(diǎn)（1,2），且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率為2，求這條曲線的方程。解： 設(shè)曲線方程為.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿足 （1）同時還滿足以下條件 時， （2）把（1）式兩端積分，得 即 （3）其中C是任意常數(shù)。把條件（2）代入（3）式，得， 由此解出C并代入（3）式，得到所求曲線方程： （4）例2列車在平直線路上以20的速度行駛；當(dāng)制動時列車獲得加速度.問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程？解： 設(shè)列車開

2、始制動后秒時行駛了米。根據(jù)題意，反映制動階段列車運(yùn)動規(guī)律的函數(shù)滿足： （5）此外，還滿足條件：時， （6）(5)式兩端積分一次得：吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 （7）再積分一次得 （8）其中都是任意常數(shù)。把條件“時”和“時”分別代入（7）式和（8）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：。再把代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程上述兩個例子中的關(guān)系式（1）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程。二 微分方程的基本概念 定義 1 凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程

3、。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。定義 1微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程是四階微分方程。一般地，階微分方程的形式是 （11）吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義其中F是個變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程（11）中，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程中，除外，其他變量都沒有出現(xiàn)。由前面的例子我們看到，在研究某些實(shí)際問題時，首先要建立微分方程，然后找出滿足微分方程的函數(shù)，就是說，找出這樣的函數(shù) ，把

4、這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個函數(shù)就叫做該微分方程的解。定義 3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，那么函數(shù)就叫做微分方程（11）在區(qū)間上的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。如果微分方程（11）的解中含有個任意常數(shù)，則稱該解為微分方程（11）的通解；如果方程（11）的通解為，其中常數(shù)由條件初始條件確定，則稱為微分方程（11）的特解。例如，函數(shù)（3）是方程（1）的解，它含有一個任意常數(shù)，而方程（1）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有兩個任意常數(shù)，而方程（5）是二階

5、的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。求微分方程滿足初始條件的特解這樣一個問題，叫做一階微分方程的初值問題，記作吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 （12）微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點(diǎn)的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題特解的幾何意義是求微分方程的通過點(diǎn)且在該點(diǎn)處的切線斜率為的那條積分曲線。例3 驗(yàn)證：函數(shù) （13）是微分方程 （14）的解。解 求出所給函數(shù)（13）的導(dǎo)數(shù) 把 及 的表達(dá)式代入方程（14）得+函數(shù)（13）及其導(dǎo)數(shù)代入方程（14）后成為一個恒等式，因此函數(shù)（13）是微分方程（14）的解。例4 已知

6、函數(shù)（13）當(dāng) 時是微分方程（14）的通解，求滿足初始條件吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義的特解。解 將條件“ 時，”代入（14）式得 。將條件“ 時，”代入（1）式，得 。把的值代入（13）式，就得所求的特解為。 12-2 可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程 本節(jié)開始,我們討論一階微分方程 (1)的一些解法.如果一階微分方程能寫成 （2）的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（2）中的函數(shù)和是連續(xù)的，設(shè)是方程的解，將它代入（2）中得到恒等式將上式兩端積分，并由引進(jìn)變量，得設(shè)及依次為和的原函數(shù)，

7、于是有 （3）吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義因此，方程（3）滿足關(guān)系式（6）。反之，如果是由關(guān)系到式（3）所確定的隱函數(shù) ，那么在的條件下，也是方程（2）的解。事實(shí)上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當(dāng)時，這就表示函數(shù)滿足方程（2）。所以如果已分離變量的方程（2）中和是連續(xù)的，且，那么（2）式兩端積分后得到的關(guān)系式（3），就用隱式給出了方程（2）的解，（3）式就叫做微分方程（2）的隱式解。又由于關(guān)系式（3）中含有任意常數(shù)，因此（3）式所確定的隱函數(shù)是方程（2）的通解，所以（3）式叫做微分方程（2）的隱式通解。例1 求微分方程 （4）的通解。解 方程（4）是可分離變量的，分離變量后得兩端積分

8、 得 從而 。又因?yàn)槿允侨我獬?shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解。例2 求微分方程的通解。例3 求微分方程的通解。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義例4 求微分方程滿足初始條件的特解。例5 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比。已知時鈾的含量為，求在衰變過程中含量隨時間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對時間的導(dǎo)數(shù)。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下 （5）其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負(fù)號是指由于當(dāng)增加時M單調(diào)減少，即的緣故。由題易知，初始條件為方程

9、（5）是可以分離變量的，分離后得兩端積分 以表示任意常數(shù)，因?yàn)椋眉?是方程（5）的通解。以初始條件代入上式，解得故得 由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。小結(jié)：1.本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始問題吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義2.本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程及其解法。作業(yè)：269頁 1-（1）（4）（8）（10）； 2-（1）（4）（5）；選作：5214吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12-3 齊次方程 一 齊次方程的形式如果一階微分方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即，則稱這方程為齊次方程。

10、例如是齊次方程，因?yàn)槠淇苫癁? 齊次方程 （1）的解法。作代換 ，則，于是從而 ，分離變量得 兩端積分得 求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的通解。如上例吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義分離變量，得 積分后，將=代回即得所求通解。例1 解方程解 原式可化為，令=，則 ，于是分離變量 兩端積分得 即 。故方程通解為 。例2求微分方程的通解， 。例3 求微分方程的通解。例4 求微分方程滿足初始條件的特解 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12-4 一階線性微分方程一、一 階線性微分方程1定義 方程 （1）稱為一階線性微分方程。特點(diǎn)： 關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。若，稱（

11、1）為齊次的；若，稱（1）為非齊次的。如：（1） （2）2解法當(dāng)時，方程（1）為可分離變量的微分方程。當(dāng)時，為求其解首先把換為0，即 （2）稱為對應(yīng)于（1）的齊次微分方程，求得其解為求（1）的解，利用常數(shù)變易法，用代替，即于是 代入（1），得故 。 （3）例1 求微分方程 的通解.解 直接應(yīng)用（3）式吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義得到方程的通解，其中， 代入積分同樣可得方程通解，例2 求微分方程的通解。例3 求微分方程的通解解：方程變形它是關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一階線性微分方程。通解例4 求微分方程滿足初始條件的特解。例5 求微分方程滿足初始條件的特解解：方程變形它是關(guān)于未知函數(shù)及

12、其導(dǎo)數(shù)一階線性微分方程。通解二貝努利方程1定義 稱為貝努力方程。當(dāng)時，為一階線性微分方程。2解法 兩邊同除吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義令，則有 而 為一階線性微分方程，故。貝努利方程的解題步驟：（1） 兩端同；（2） 代換；（3） 解關(guān)于的線性微分方程；（4） 還原。例6 求微分方程的通解。解 以除方程的兩端，得即 。令，則上述方程成為。這是一個線性方程，它的通解為。以代，得所求方程得通解為 。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義例7 求微分方程的通解。解：設(shè) ，通解為例8 求微分方程的通解。解：設(shè) ，通解為一、 利用變量代換解微分方程例9求微分方程 的通解。解 令 ，

13、則 ，于是解得 ， 即 例4 解方程 解 令則代入原方程，得。分離變量得兩端積分得 。以代入上式，即得或 小結(jié)：1.本節(jié)講述了齊次方程，及其解法2.本節(jié)講述了一階線性微分方程，及貝努利方程的解法，利用常數(shù)變易法，利用變量代換法來解微分方程。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義作業(yè)：276頁 1-（1） （3）；2-（2）281頁 1-（1） （4） （8） （10）；2-（2）（4）；7-（1）（2）（3）；吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12-5 全微分方程1 定義 若 （1）恰為某一個函數(shù)的全微分方程，即存在某個，使有，則稱（1）為全微分方程?？梢宰C明 是（1）式的隱式

14、通解。2解法 若，在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件是（1）式為全微分方程的充要要條件。通解為 。例1 求解 解 令 ，則 此方程為全微分方程。于是通解為 小結(jié)：1. 格林公式及應(yīng)用，積分與路徑無關(guān)的四個等價命題，全微分求積。2. 格林公式使有些問題簡化，有時可計(jì)算不封閉曲線積分，只需添上一條線使之成為封閉曲線，再減去所添曲線的積分值即可。3.本節(jié)講述了全微分方程的解法，作業(yè)：153頁 1(2),3,4(1),5(3),6(2)吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12- 6 可降階的高階微分方程一、型微分方程令 ，則原方程可化為 ，于是 同理 n次積分后可求其通解。其特點(diǎn)：只含有和

15、，不含及的階導(dǎo)數(shù)。例1 求微分方程的通解。解 對所給方程接連積分三次，得。這就是所求的通解。例2 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受力的作用沿作直線運(yùn)動。設(shè)力僅是時間的函數(shù)：。在開始時刻時，隨著時間的增大，此力均勻地減小，直到時，。如果開始時質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初速度為零，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。 解 設(shè)表示在時刻時質(zhì)點(diǎn)的位置，根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程為 （1）由題設(shè)，力隨增大而均勻地減小，且時，所以；又當(dāng)時，從而吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義。于是方程（1）可以寫成。 (2)其初始條件為。 把（2）式兩端積分，得，即 。 （3）將條件代入（3）式，得，于是（3）式成為。 （4）把（4）式兩端積

16、分，得將條件代入上式，得。于是所求質(zhì)點(diǎn)得運(yùn)動規(guī)律為。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義例3 求微分方程的通解。二、型微分方程令 則 ，于是可將其化成一階微分方程， 于是特點(diǎn)： 含有，不含。例4 求微分方程滿足初始條件的特解。解 所給方程是型的。設(shè)，代入方程并分離變量后，有。兩端積分，得，即 。又由條件，得，于是所求得特解為。例5 求微分方程的通解。解： 設(shè) ，令 則， 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義例6 求微分方程滿足初始條件 的特解 。三、型微分方程令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。特點(diǎn)： 不顯含例 7 一個離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止開始落向底面。求

17、它落到地面時的速度和所需的時間（不計(jì)空氣阻力）。解 取連結(jié)地球中心與該物體的直線為軸，其方向鉛直向上，取地球的中心為原點(diǎn)（圖124）。設(shè)地球的半徑為，物體的質(zhì)量為，物體開始下落時與地球中心的距離為，在時刻物體所在位置為于是速度為。根據(jù)萬有引力定律，即得微分方程， （5）即 ，其中為地球得質(zhì)量，為引力常數(shù)。因?yàn)椋耶?dāng)時，（這里置負(fù)號是由于物體運(yùn)動加速度得方向與軸得正向相反得緣故），所以。于是方程（5）成為（5）成為吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義。 （6）初始條件是 。先求物體到達(dá)地面時的速度。由，得代入方程（6）并分離變量，得。兩端積分，得 。把初始條件代入上式，得于是 （7） 在

18、（7）式中令，就得到物體到達(dá)地面時的速度為這里取負(fù)號是由于物體運(yùn)動的方向與軸的正向相反的緣故。下面來求物體落到地面所需的時間。由（7）式有分離變量得吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義。兩端積分（對右端積分利用置換），得。 （8）由條件得。于是（8）式成為。在上式中令，便得到物體到達(dá)地面所需得時間為。例8求微分方程的通解。例9求微分方程滿足初始條件 的特解 。例10求微分方程滿足初始條件 的特解 。解 小結(jié)：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法作業(yè)：292頁 1-（1）（4）（5）（6）；2-（4）（6）；3；吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12- -7 高階線

19、性微分方程一、二階線性微分方程1、定義：方程 （1）稱為二階線性微分方程。當(dāng)時稱為齊次的，當(dāng)時稱為非齊次的。為求解方程（1）需討論其解的性質(zhì)2、解的性質(zhì) （2）性質(zhì)1 若是（2）的解，則也是（2）的解，其中，為任意常數(shù)。稱性質(zhì)1為解的疊加原理。但此解未必是通解，若，則，那么何時成為通解？只有當(dāng)與線性無關(guān)時。線性相關(guān) 設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在不全為零的數(shù)使得恒成立，則稱線性相關(guān)。線性無關(guān)不是線性相關(guān)。如： 線性相關(guān)線性無關(guān)。對兩個函數(shù)，當(dāng)它們的比值為常數(shù)時，此二函數(shù)線性相關(guān)。若它們的比值是函數(shù)時，線性無關(guān)。性質(zhì)2 若是（2）的兩個線性無關(guān)的特解，那么吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版

20、講義（，為任意常數(shù)）是方程（2）的通解。此性質(zhì)稱為二階齊次線性微分方程（2）的通解結(jié)構(gòu)。例如，方程是二階齊次線性方程（這里），容易驗(yàn)證，與是所給方程的兩個解，且，即它們是線性無關(guān)的因此方程的通解為又如，方程也是二階齊次線性方程(這里)，容易驗(yàn)證，是所給方程的兩個解，且，即它們是線性無關(guān)的。因此方程的通解為下面討論二階非齊次線性方程（5）。我們把方程（6）叫做與非齊次方程（5）對應(yīng)的齊次方程。在第四節(jié)中我們已經(jīng)看到，一階非齊次線性微分方程的通解由兩部分構(gòu)成：一部分是對應(yīng)齊次方程的通解；另一部分是非齊次方程本身的一個特解。實(shí)際上，不僅一階非齊次線性微分方程的通解具有這樣的結(jié)構(gòu)，而且二階及更高階的非

21、齊次線性微分方程的通解也具有同樣的結(jié)構(gòu)。下面討論非齊次微分方程（1）的解的性質(zhì).稱（2）為（1）所對應(yīng)的齊次方程。性質(zhì)3 設(shè)是（1）的特解，是（2）的通解，則是（1）的通解。證 把（8）式代入方程（5）的吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義由于是方程（6）得解，是（5）的解，可知第一個括號內(nèi)的表達(dá)式恒等于零，第二個恒等于，這樣，使（5）的兩端恒等，即（8）式是方程（5）的解。由于對應(yīng)的齊次方程（6）的通解中含有兩個任意常數(shù)，所以中也含有兩個任意常數(shù)，從而它就是二階非齊次線性方程（5）的通解。如：， 為的通解，又是特解則的通解。性質(zhì)4 設(shè)（5）式中，若分別是，的特解，則為原方程的特解。證

22、 將代入方程（9）的左端，得因此是方程（9）的一個特解。這一定理通常稱為非齊次線性微分方程的解的疊加原理。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義12-8 二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1.定義:若 （1）中為常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次微分方程，而(1)稱之為二階變系數(shù)齊次微方程。記： （2）2. 通解:將代入（2）中有，稱為（2）的特征方程。 （3）設(shè)為（3）的解。（1）當(dāng)即時，為其通解。例1 求微分方程的通解。解 所給微分方程的特征方程為其根是兩個不相等的實(shí)根，此所求通解為例2 求微分方程的通解。（2）當(dāng)即時，（3）只有一個解。設(shè)是齊次微分方程（2）的解，于是

23、因?yàn)槭翘卣鞣匠痰亩馗?，?， 則 故取，因此齊次微分方程（2）的另一個解，則齊次微分方程（2）的通解吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義例3 求微分方程的通解。例4 求微分方程滿足初始條件，的特解。解 所給方程的特征方程為其根是兩個相等的實(shí)根，因此所求微分方程的通解為 將條件代入通解，得，從而將上式對求導(dǎo)，得再把條件代入上式，得。于是所求特解為（3）當(dāng)即時，有是解。利用歐拉公式可得實(shí)解，故通解為。例5 求微分方程的通解。解 所給微分方程的特征方程為其根為一對共軛復(fù)根，因此所求通解為例6 求微分方程的通解。吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義求二階常系數(shù)齊次線性微分方程 （2）的通解的步驟如下：(1.) .寫出微分方程（2）的特征方程 （3）(2). 求出特征方程（3）的兩個根、。根據(jù)特征方程（3）的兩個根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程（2）的通解：特征方程的兩個跟微分方程的通解兩個不相等的實(shí)根兩個相等的實(shí)根一對共軛復(fù)根例7在第八節(jié)例1中，設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力的作用，且在初瞬時的位置為初始速度為。求反映物體運(yùn)動規(guī)律的函數(shù)。解 由于不計(jì)阻力，即假設(shè)，所以第八節(jié)中的方程（1）成為 （4）方程（4）叫做無阻尼自由振動的微分方程。 反映物體運(yùn)動規(guī)律的函數(shù)是滿足微分方程（4）及初始條件的特解。方程（4）的特征方程為，其根是一對共軛復(fù)根，所以方程（4）