FIR濾波器的設(shè)計(jì)

1、FIR濾波器的設(shè)計(jì)FIR型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：MnnMznhzMhzhhzH01)()() 1 ()0()(FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(與IIR數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) ： （1）很容易獲得）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位嚴(yán)格的線性相位，避免被，避免被處理的信號(hào)處理的信號(hào) 產(chǎn)生相位失真；產(chǎn)生相位失真；（2）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定 性問題；性問題；（3）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，過一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以因果性總所以因果性總是滿足；是滿足；（4）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小

2、。）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： （1）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)；以較高的階數(shù)為代價(jià)；（2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為)(jdeH那么 FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)頻率響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)頻率響應(yīng)10)(NnjnjenheH去逼近去逼近)(jdeH，逼近方法有三種：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）頻率采樣設(shè)計(jì)法（頻域逼近

3、）頻率采樣設(shè)計(jì)法（頻域逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)法（等波紋逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)法（等波紋逼近）一、一、FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性數(shù)字濾波器的線性相位特性 線性相位是指 是 的線性函數(shù) )(jeH)(第一類線性相位)(第二類線性相位dd)(可以證明，線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)滿足下面條件： 為實(shí)序列，且滿足 ，N為長(zhǎng)度，即， 關(guān)于 偶對(duì)稱或奇對(duì)稱。 )(nh21N)1()(nNhnh)(nh分四種情況：分四種情況：1 h(n) 偶對(duì)稱，偶對(duì)稱， h(n) = h(N- -1- -n) N 為奇數(shù)為奇數(shù) 2 h(n) 偶對(duì)稱，偶對(duì)稱， h(n) = h(N- -1- -n) N 為偶數(shù)為偶數(shù)3.

4、h(n) 奇對(duì)稱，奇對(duì)稱， h(n) = - - h(N- -1- -n) N為奇數(shù)為奇數(shù)4. h(n) 奇對(duì)稱，奇對(duì)稱， h(n) = - - h(N- -1- -n) N為偶數(shù)為偶數(shù)四種線性相位四種線性相位FIR DF特性：特性：第一種情況第一種情況 ，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器， 不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器， 其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、

5、帶通濾波器，第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器， 不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函數(shù)H ( )。解：解： 為奇數(shù)并且 h(n)滿足偶對(duì)稱關(guān)系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos +cos2)小結(jié)：小結(jié)：四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對(duì)稱性，而與h(n)的值無關(guān)；幅度特性取決于h(n)的值；設(shè)計(jì)FIR數(shù)

6、字濾波器時(shí)，在保證h(n)對(duì)稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。二、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法二、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)思想：設(shè)計(jì)思想：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，著手，使使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj以一個(gè)截止頻率為以一個(gè)截止頻率為 c的線性相位理想低通的線性相位理想低通濾波器為例濾波器為例ccjjdeeH01)(：低通濾波器的延時(shí))()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc則：理想低通濾波器特性的理想低通濾波器特性的hd(n)和和Hd(

7、 )是無限時(shí)寬的，且是非因果的，無法實(shí)現(xiàn)的為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNR)(*)()(jRjdjeWeHeH 2/sin2/sinNWR|0|1)(ccdH卷積卷積4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：1. =0時(shí), H(0)近似等于Hd(0)2. = c時(shí)， H(c)=0.5H(0);3. = c2/N時(shí)，出現(xiàn)正肩峰；4. = c +2/N 時(shí)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。窗口函數(shù)對(duì)理想特性的影響：窗口函數(shù)對(duì)理想特性的影響：改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為4/N ，等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長(zhǎng)決定于窗長(zhǎng)）過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余

8、振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于WR()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng) ，與 N無關(guān)。（決定于窗口形狀決定于窗口形狀）N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。（ 8.95% ，吉布斯（Gibbs）效應(yīng)）xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變變WR( 的絕對(duì)值大小和起伏的密度。的絕對(duì)值大小和起伏的密度。肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。0.04680.0895-0.08950.0468cc10 改變窗函數(shù)的形狀，可改

9、善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。瓣寬度來?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。幾種常用的窗函數(shù)：幾種常用的窗函數(shù)：1. 矩形窗：主瓣寬度為4/N 2. 三角形窗：主瓣寬度為8/N 3. 漢寧

10、窗（升余弦窗）：主瓣寬度為8/N 4.漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗）：主瓣寬度為8/N 5.布萊克曼窗（三階升余弦窗）：主瓣寬度為 12/N )12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR5 . 051cN窗函數(shù)旁瓣大致幅度/ dB過渡帶寬阻帶最小衰減/ dB矩形窗13 4/N21三角窗25 8/N25漢寧窗31 8/N44漢明窗41 8/N53 凱塞窗凱塞窗其他窗是增加主瓣寬度為代價(jià)來降低旁瓣；凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)；是零階修正貝塞爾函數(shù)；可自由選擇，決定主瓣寬度與可自由選擇，決定主瓣寬度與 旁

11、瓣衰減。旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取 49。=5.44 接近漢明；=8.5 接近布萊克曼=0 為矩形過渡帶通帶波紋（dB）阻帶最小衰減(dB)2.1203.00/N0.27-303.3844.46/N0.08647-404.5385.86/N0.0274-505.6587.24/N0.00868-606.7648.64/N0.00275-707.86510.0/N0.000868-808.96011.4/N0.000275-9010.05612.8/N0.000087-100窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟：n根據(jù)技術(shù)要求確定濾波器的頻響特性確定其對(duì)應(yīng)的單

12、位脈沖響應(yīng)。n根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減指標(biāo)的要求，選擇窗函數(shù)形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。n計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)n計(jì)算濾波器頻率響應(yīng)njNnjenheH)()(10)(jeH)()()(nnhnhddeeHhnjjdd)(21)n(例：試用窗口法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器。已知2,020,)(jjdeeH6求： （1）求 的長(zhǎng)度N ； （2）在矩形窗口條件下，求出的表達(dá)式 ； （3）寫出過渡帶寬 。)(nh )(nh解：（1）21N1312N(2) N為奇數(shù)。且是低通濾波器， 故屬于第一類廣義線性相位FIR濾波器，截至頻率2/c)(nhd)6()6(2sin)()(sinnnnnc)()6()6(2

13、sin)()()(13nRnnnRnhnhNd120 n三、利用頻率采樣法設(shè)計(jì)三、利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器n頻域采樣法就是一種頻域設(shè)計(jì)方法。n它的基本思想是使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散的頻率點(diǎn)上的值，準(zhǔn)確地等于所需的濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其他頻率處的特征按照一定的優(yōu)化設(shè)計(jì)則有較好的迫近。確定頻率特性指標(biāo) )(jdeH頻率采樣IDFTZT)()(/2kHeHdNkjd)(nh)(/ )(jeHzH頻率采樣設(shè)計(jì)的基本方法存在兩個(gè)問題頻率采樣設(shè)計(jì)的基本方法存在兩個(gè)問題n用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件n頻率采樣法的設(shè)計(jì)誤差及其改進(jìn)用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器

14、的條件用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件由于具有線性相位的FIR濾波器，其單位采樣響應(yīng)是實(shí)序列，且滿足條件 ，由此推導(dǎo)出第一類線性相位濾波器傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：)1()(nNhnh)()()(jgjdeHeH) 1(21)(N將 寫成幅度 和相位 的形式)(kH)(kHg)(k)()()(kjgdekHkH1, 2 , 1 , 0Nk)()(ggHkHNk /2|)()(kkNNNk1|/2式中)()(kNHkHgg)()(kNHkHggN為奇數(shù)N為偶數(shù)幅度特性必須滿足的線性相位的條件頻率采樣法的設(shè)計(jì)誤差及其改進(jìn)頻率采樣法的設(shè)計(jì)誤差及其改進(jìn)jkkeHkHH)(,由上述設(shè)計(jì)過程得到的 與

15、的逼近程度，以及 與 的關(guān)系？jeHjdeHjeH kH)2()()(10kNkHeHNkj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN式中在每個(gè)采樣點(diǎn)上， 逼近誤差為零，頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等;)()(kHeHkj)(jeH在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差?。环粗?，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近， 會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋)(jeHN增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小。為了減小逼近誤差，可以在理想頻率響應(yīng)的邊緣加上一些過渡的采樣點(diǎn)。但這樣處理卻會(huì)使得過濾帶加寬。 增加采

16、樣點(diǎn)數(shù)N來提高所需濾波器的性能，使得濾波器的過渡帶是窄帶。但是太大會(huì)使濾波器成本和運(yùn)算復(fù)雜度增加。從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減兩種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔4/33，其阻帶衰減增加到約 -40dB。2)增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。 例如，同樣截止頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并

17、在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H17=H48=0.1065 , 這時(shí)得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65， 小于33點(diǎn)采樣時(shí)插入一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)的過渡帶寬 4/33 ，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價(jià)是濾波器 階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。小結(jié)：小結(jié)：頻率采樣設(shè)計(jì)法頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾

18、個(gè)非零值。非零值。 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。死板。 充分加大充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。算量和復(fù)雜性增加。 判斷題1 . 雙線形變換法不能設(shè)計(jì)高通濾波器。 2 . 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置。3 . 矩形窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器的過渡帶最窄。 4.頻率采樣法設(shè)計(jì)的FIR濾波器，增加過渡帶采樣點(diǎn)可以增加過渡帶衰減。 5. 雙線性變換法的頻率坐標(biāo)變換是線性關(guān)系。 6. FFT可以用來計(jì)算IIR濾波器，以減少運(yùn)算量。 7. 等波紋逼近是一種滿足最大誤差最小化準(zhǔn)則的FIR濾波器設(shè)計(jì)。 8. 用矩形窗設(shè)計(jì)