高中數(shù)學十字交叉相乘法

1、高中十字交叉法十字交叉一、適用范圍：  “十字交叉法”適用于兩組分混合物（或多組分混合物，但其中若干種有確定的物質的量比，因而可以看做兩組分的混合物），求算混合物中關于組分的某個化學量（微粒數(shù)、質量、氣體體積等）的比值或百分含量。  例1：實驗測得乙烯與氧氣的混合氣體的密度是氫氣的14.5倍。可知其中乙烯的質量分數(shù)為（  ）  A.25.0%  B.27.6%   C.72.4%    D.75.0%C2H4  28O2  322931解析：要求混合氣中乙烯的質量分數(shù)可通過十

2、字交叉法先求出乙烯與氧氣的物質的量之比（當然也可以求兩組分的質量比，但較繁，不可?。?，再進一步求出質量分數(shù)。即：n(C2H4)       n(O2)                    =31            

3、                 這樣，乙烯的質量分數(shù)是： （C2H4）= ×100 =72.4%             答案：C  。       （解畢）      

4、;                   二、十字交叉法的解法探討：1.十字交叉法的依據：對一個二元混合體系，可建立一個特性方程：       ax+b(1x)=c(a、b、c為常數(shù)，分別表示A組分、B組分和混合體系的某種平均化學量，如：單位為g/mol的摩爾質量、單位為g/g的質量分數(shù)等) ；x為組分A在混合體系中某化學量的百分數(shù)（下同）。如欲求x/(1x)

5、之比值，可展開上述關系式，并整理得： axbx=cb 解之，得：即：2.十字交叉法的常見形式： 為方便操作和應用，采用模仿數(shù)學因式分解中的十字交叉法，記為：組分1   a               cb混合物                  &#

6、160;                      組分2   b              a c  C c x(組分1)cb1x (組分2)ac=   &#

7、160;                           3.解法關健和難點所在：十字交叉法應用于解題快速簡捷，一旦教給了學生，學生往往愛用，但是也往往出錯。究其原因，無外乎亂用平均量（即上述a、b、c不知何物）、交叉相減后其差值之比不知為何量之比。  關于上述a、b、c這些化學平均量，在這里是指其量綱為（化學量1

8、 ÷化學量2）的一些比值，如摩爾質量（g/mol）、溶液中溶質的質量分數(shù)(溶質質量÷溶液質量)或關于物質組成、變化的其它化學量等等。設計這些平均量時應優(yōu)先考慮待求量和題給條件，一般情況下盡可能的將待求量設計為上述化學量2（分數(shù)中的分母） ，至于化學量1則依題給條件選取最容易獲得的化學量(分數(shù)中的分子)，這樣上述第1論點中的a、b、c應該是分別這樣的一些化學平均量（如下圖）：= =              

9、           =    而這些化學平均量a、b、c交叉相減后所得差值之比，則是組分1和組分2的化學平均量的量綱中化學量2 如a、b、c為摩爾質量（g/mol）時，便是物質的量 mol的比值。例2：把CaCO3和MgCO3組成的混合物充分加熱到質量不再減少時，稱得殘留物的質量是原混合物質量的一半。則殘留物中鈣和鎂兩元素原子的物質的量之比是  A.1:4      B.1:

10、3      C.1:1      D.1:2解析：上述問題是計算兩組分混合物中某兩個化學量之比，可用十字交叉法解題。解題時先設計混合物的平均化學量c，該題中要求鈣和鎂兩元素原子的物質的量之比（即原子個數(shù)比），而平均量中分母（即上述化學量y(組分2)）與題給條件相差甚遠，故以一摩爾組分質量為分母，一摩爾物質分解后殘留物質量為分子而得如下的幾個平均量： a=56g÷100g ;    b=40g÷84g;   

11、;   c=1/2       應用于十字交叉法：m(CaCO3)m(MgCO3)=1/423/50組分CaCO3 56/100            1/42混合物                  

12、0;              組分MgCO3  40/84           3/501/2                     &

13、#160;                                       即：  所以，原混合物中兩組分CaCO3和MgCO3物質的量之比（即殘留物中Ca和Mg的物質的量之比為：n(Ca

14、)n(Mg)=(1/42)g÷100g/mol(3/50) g÷84 g/mol=13      答案：B      （解畢）  注：熟練后或在要表達的計算題中可略去上圖，而只以比例式表示，為防止出錯，也可在草稿中畫上述十字交叉圖。三、十字交叉法的應用與例析：1.兩組分混合物中已知組分及混合體系的摩爾質量（或式量）,求組分的物質的量之比（或組分氣體的體積比、組分物質的微粒數(shù)之比）： 解答這類問題，需設計的平均化學量a、b、c就直接用摩爾質量（g /mol）

15、。而用十字交叉法交叉相減后所得差值之比是組分的物質的量之比（或微粒數(shù)之比），或依阿伏加德羅定律，也等于（相同狀態(tài)下）氣態(tài)混合體系中組分氣體的體積比。      例3.硼的平均相對原子質量為10.8，硼在自然界中有種同位素： B 與 B，則這兩種同位素 B、 B在自然界中的原子個數(shù)比為    A. 12         B.14     C.16   

16、;  D.18解析：相對原子質量與原子的摩爾質量數(shù)值上相等，故元素或原子的相對原子質量可看做十字交叉法中的平均化學量，量綱為gmol1,交叉相減后所得差值之比為兩同位素的物質的量（即原子數(shù)）之比。B  10         0.2   B  11         0.8         &

17、#160;        = = 10.8        答案：B   解畢）2.兩種溶液（同溶質）相混合，已知兩溶液及混合溶液中溶質的質量分數(shù)，求兩溶液的質量比：例4.將密度為1.84gcm3，質量分數(shù)為98的濃硫酸與水配制成30的稀溶液，應怎么配制？解析：要配制這種硫酸，必須先求出濃硫酸與水的比例。因為溶液中溶質的質量分數(shù)為溶質質量占溶液質量的分數(shù)，所以質量分數(shù)實際上也是一種平均化學量，可用于十字交叉法

18、求出濃硫酸和水的質量比。這樣，上述平均化學量a、b、c中的化學量2最好就設計為溶液質量，而化學量1取最方便的就是溶質質量，即平均化學量a、b、c就是溶液中溶質的質量分數(shù)，應用于十字交叉法（圖略），記為： m(濃硫酸)m(水)=（300）(98%30%)=1534即取15份質量的濃硫酸與34份質量的水混合得此稀硫酸。 （解畢）3.兩可燃物組成的混合體系，已知其組分及混合物的燃燒熱，求組分的物質的量之比或百分含量。例5.在一定條件下，CO和CH4燃燒的熱化學方程式分別為：2CO(氣)+O2(氣)=2CO2(氣)+566KJ；CH4(氣)+2O2(氣)=CO2(氣)+2H2O(液

19、)+890KJ現(xiàn)有CO和CH4組成的氣體混合物89.6L(標準狀態(tài)下測定)，在上述條件下燃燒，釋放的熱量為2953KJ，則CO和CH4的體積比為（   ）A. 13    B. 31      C.12     D.21解析：可燃物的反應熱以摩爾反應熱來表示時，單位是：KJ/mol，因此也可以看做是一個平均化學量，兩可燃組分及混合物的反應熱可當做十字交叉法基本形式中的a、b、c進行十字交叉，交叉相減后所得差值之比即為兩可燃組分的物質的量之 比。解題時設計并

20、先求算氣體混合物的反應熱：混合氣體的物質的量：n=89.6L÷22.4Lmol1=4.00mol混合氣體的平均反應熱： Q（混合物）=2953KJ÷4.00mol=738.3KJmol1雙兩組分的反應熱分別為：Q(CO)=566KJ÷2mol=283KJmo1；Q(CH4)=890KJmol1這樣，十字交叉法就記為：n(CO)n(CH4)  =(890738.3)(738.3283)13 答案：B。           (解畢)4.其它

21、有關物質組成、變化關系的兩組分混合體系，依題意，設計適當?shù)钠骄瘜W量，也可用十字交叉法求算兩組分的某個化學量的比值或百分含量。例6.在一定條件下，將25 gCO2和CO的混合氣體通過灼熱的碳粉，使之充分反應，測知所得氣體在標準狀態(tài)下的體積為22.4 L，則在相同狀態(tài)下原混合氣體中CO2和CO的體積比為 A.14       B.13        C.12        D.21           CO2+C= 2CO高溫解析：本題所求為兩組分混合氣體中組分氣體的體積之比（按阿伏加德羅定律，即為兩組分氣體的物質的量之比），依