機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)約束優(yōu)化方法課件

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第六章約束優(yōu)化方法第六章約束優(yōu)化方法一、概述一、概述二、隨機(jī)方向法二、隨機(jī)方向法三、復(fù)合形法三、復(fù)合形法四、懲罰函數(shù)法四、懲罰函數(shù)法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)一、概述一、概述1 1、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型12,min,nfXfx xx. .st12,0(1,2,)jjngXgx xxjm12,0(1,2,)kknhXhx xxkl求解上式的方法稱為約束優(yōu)化方法求解上式的方法稱為約束優(yōu)化方法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2 2、求解方法、求解方法（1 1）直接解法：直接解法：將迭代點(diǎn)限制在可行域內(nèi)（將迭代點(diǎn)限制在可行域內(nèi)（可行可行性性），步步降低目標(biāo)函數(shù)值（），步步降低目標(biāo)函數(shù)值（下降性下降性），直至到達(dá)），直至到達(dá)最

2、優(yōu)點(diǎn)。如最優(yōu)點(diǎn)。如隨機(jī)方向法、復(fù)合形法隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、可行方向法、廣義簡約梯度法。廣義簡約梯度法。 根據(jù)求解方式不同，約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可分為根據(jù)求解方式不同，約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可分為直接解法和間接解法。直接解法和間接解法。（2 2）間接解法：間接解法：通過變換，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化通過變換，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題求解。如為無約束優(yōu)化問題求解。如懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法、增廣乘子、增廣乘子法等。法等。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）直接解法）直接解法 適用于僅含不等式約束的問題，基本思路是：適用于僅含不等式約束的問題，基本思路是：11,2,kkkkXXdk 在不等式確定的在不等式確定的可

3、行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定，然后決定可可行搜索方向行搜索方向，且以，且以適當(dāng)?shù)牟介L適當(dāng)?shù)牟介L進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。k-步長步長-可行搜索方向可行搜索方向kd可行搜索方向可行搜索方向：當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)：當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)直接解法的搜索路線直

4、接解法的搜索路線機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代計(jì)算無論何時(shí)終止，都可獲得一個(gè)比初始迭代計(jì)算無論何時(shí)終止，都可獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)；點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)；若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則可保若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行域是凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，將由于所選擇的初始點(diǎn)證獲得全域最優(yōu)解。否則，將由于所選擇的初始點(diǎn)的不同，而探測(cè)到不同的局部最優(yōu)解上，在這種情的不同，而探測(cè)到不同的局部最優(yōu)解上，在這種情況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)系，為了況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)系，為了能得到全局最優(yōu)解，在探索過程中最好能改變初始能得到全局最優(yōu)解，在探索過程中最好能改變初始點(diǎn)，或選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分

5、別計(jì)算，以便點(diǎn)，或選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別計(jì)算，以便從多個(gè)局部最優(yōu)解中從多個(gè)局部最優(yōu)解中 選擇更好的最優(yōu)解；選擇更好的最優(yōu)解；要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占丛谟薪缈尚杏蛞罂尚杏驗(yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義內(nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。2 2）直接解法的特點(diǎn)）直接解法的特點(diǎn)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)a) a) 可行域是凸集；可行域是凸集；b)b)可行域是非凸集可行域是非凸集機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（2 2）間接解法）間接解法1)1)基本思路基本思路 將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)

6、成新的目標(biāo)權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約的無約束優(yōu)化問題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問題的最束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問題的最優(yōu)解。優(yōu)解。 121211,mljkjkxf xG gxH hx 新目標(biāo)函數(shù)新目標(biāo)函數(shù)加權(quán)因子加權(quán)因子機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2)2)間接解法的特點(diǎn)間接解法的特點(diǎn)計(jì)算效率和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性有較大提高；計(jì)算效率和數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性有較大提高；可以有效地處理具有約束等式約束的約束優(yōu)化可以有效地處理具有約束等式約束

7、的約束優(yōu)化問題；問題；選擇加權(quán)因子困難，如果選擇不當(dāng)，不但影響選擇加權(quán)因子困難，如果選擇不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。 由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時(shí)具有不等式約束束優(yōu)化方法，并且容易處理同時(shí)具有不等式約束和等式約束的問題。因而在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)得到廣和等式約束的問題。因而在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)得到廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 二、隨機(jī)方向法二、隨機(jī)方向法基本思路：基本思路： 在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特

8、性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向索方向 。從初始點(diǎn)。從初始點(diǎn) 出發(fā)，沿搜索方向出發(fā)，沿搜索方向 以一定的步長進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn)以一定的步長進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn) ，新點(diǎn)應(yīng)該，新點(diǎn)應(yīng)該滿足一定的條件（約束條件即在可行域內(nèi)，且保滿足一定的條件（約束條件即在可行域內(nèi)，且保證目標(biāo)函數(shù)值的下降性），至此完成第一次迭代。證目標(biāo)函數(shù)值的下降性），至此完成第一次迭代。然后將起始點(diǎn)移至然后將起始點(diǎn)移至 ，重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干，重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)

9、解。次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。d0 xdxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1 1）在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)）在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn) ；2 2）沿該點(diǎn)周圍不同的方向進(jìn)行若干次）沿該點(diǎn)周圍不同的方向進(jìn)行若干次搜索，計(jì)算各方向上等距離點(diǎn)的函數(shù)搜索，計(jì)算各方向上等距離點(diǎn)的函數(shù)值，找出其中最小值值，找出其中最小值 及點(diǎn)及點(diǎn) ； 3 3）如果）如果 則以兩點(diǎn)連線方向作為搜索方向以適則以兩點(diǎn)連線方向作為搜索方向以適當(dāng)?shù)牟介L向前搜索，得到新點(diǎn)當(dāng)?shù)牟介L向前搜索，得到新點(diǎn) 。若若 ，則將新的起點(diǎn)移，則將新的起點(diǎn)移至至 ，重復(fù)前面過程；，重復(fù)前面過程；否則應(yīng)縮短步長，直至取得較好點(diǎn)。否則應(yīng)縮短步長，直至取得較好點(diǎn)。4 4）

10、如此循環(huán)下去，當(dāng)滿足計(jì)算精度，）如此循環(huán)下去，當(dāng)滿足計(jì)算精度，則可結(jié)束迭代計(jì)算則可結(jié)束迭代計(jì)算0 x)(LxfLx)()(0 xfxfLx)()(Lxfxfx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1 1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生首先令首先令 3536371232 ,2 ,2 ,rrr取取 2657863r 然后按以下步驟計(jì)算：然后按以下步驟計(jì)算： 令令 5rr若若 3rr，則，則 3rrr 若若 2rr則則 2rrr若若 1rr則則 1rrr 則則 1rqrq即為即為 區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。 0,1利用利用 q容易求得任意區(qū)間容易求得任意區(qū)間 , a b內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)，內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)，其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為x

11、aq ba機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 2初始點(diǎn)的選擇初始點(diǎn)的選擇（1）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即 (1,2,)iiiaXb in（2）在區(qū)間）在區(qū)間 0,1內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)產(chǎn)生 n個(gè)偽隨機(jī)數(shù)個(gè)偽隨機(jī)數(shù) (1,2, )iq in （3）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn) X的各分量的各分量 (1,2, )iiiiixaq bain（4）判別隨機(jī)點(diǎn)）判別隨機(jī)點(diǎn) X是否可行，若隨機(jī)點(diǎn)是否可行，若隨機(jī)點(diǎn) X可行，可行， 則取初始點(diǎn)則取初始點(diǎn) 0XX；若隨機(jī)點(diǎn)；若隨機(jī)點(diǎn) X為非可行點(diǎn)，為非可行點(diǎn)， 則轉(zhuǎn)步驟（則轉(zhuǎn)步驟（2）重新計(jì)算，直到產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)是）重新計(jì)算，直到產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)是可行點(diǎn)為止?？尚悬c(diǎn)

12、為止。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)3可行搜索方向的產(chǎn)生可行搜索方向的產(chǎn)生（1）在）在 1,1區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù) 1,2,;1,2,jirin jk，并計(jì)算隨機(jī)單位向量。，并計(jì)算隨機(jī)單位向量。（2）取一維試驗(yàn)步長）取一維試驗(yàn)步長 0，按下式計(jì)算，按下式計(jì)算 k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)個(gè)隨機(jī)點(diǎn) 001,2,jjXXejkjnjjnijijrrrre2112/12)(1機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1,2,001,2,minjLjLjkLgXjmfXfXfXfX則可行搜索方向?yàn)閯t可行搜索方向?yàn)?0LdXXk（3 3）檢驗(yàn)）檢驗(yàn) 個(gè)隨機(jī)點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，除去非可行個(gè)隨機(jī)點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，點(diǎn)，計(jì)算余下可行點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比

13、較大小，選計(jì)算余下可行點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較大小，選出目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)出目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn) ； LX（4） 比較比較兩點(diǎn)兩點(diǎn) 和和 的函數(shù)值，當(dāng)點(diǎn)的函數(shù)值，當(dāng)點(diǎn) 滿足滿足LX0XLX產(chǎn)生可行搜索產(chǎn)生可行搜索方向的條件方向的條件機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)4搜索步長的確定搜索步長的確定 所用的步長一般按所用的步長一般按加速步長法加速步長法來確定。所謂加速步來確定。所謂加速步長法是指依次迭代的步長按一定的比例遞增的方法。長法是指依次迭代的步長按一定的比例遞增的方法。各次迭代的步長按下式計(jì)算：各次迭代的步長按下式計(jì)算：1kk5隨機(jī)方法的計(jì)算步驟隨機(jī)方法的計(jì)算步驟 （1）選擇一個(gè)可行的初始點(diǎn)）選擇一個(gè)可行的初始點(diǎn) （

14、2）產(chǎn)生）產(chǎn)生 k個(gè)個(gè) n維隨機(jī)單位向量維隨機(jī)單位向量 1,2,jejk（3）取試驗(yàn)步長）取試驗(yàn)步長 0，計(jì)算出，計(jì)算出 k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)個(gè)隨機(jī)點(diǎn) 1,2,jXjk加速步長系數(shù)加速步長系數(shù)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（4）找出滿足條件的隨機(jī)點(diǎn)）找出滿足條件的隨機(jī)點(diǎn) LX產(chǎn)生可行搜索方向產(chǎn)生可行搜索方向 0LdXX（5）從初始點(diǎn)）從初始點(diǎn) 出發(fā)，沿可行搜索方向以加速步長出發(fā)，沿可行搜索方向以加速步長0X進(jìn)行迭代計(jì)算，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到一個(gè)滿足全部約束條件，直到搜索到一個(gè)滿足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)。且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)。 （6）若收斂條件）若收斂條件 0102fXfXXX得到滿足，迭代終止

15、。約束最優(yōu)解為得到滿足，迭代終止。約束最優(yōu)解為 ,XX fXfX否則，否則， 0XX轉(zhuǎn)步驟（轉(zhuǎn)步驟（2）。）。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)隨機(jī)方向法的特點(diǎn)隨機(jī)方向法的特點(diǎn)v對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡單，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡單，使用方便；使用方便；v由于可行搜索方向的選擇能保證目標(biāo)函數(shù)下降由于可行搜索方向的選擇能保證目標(biāo)函數(shù)下降最快，加之步長可以靈活變動(dòng)，使得算法的收最快，加之步長可以靈活變動(dòng)，使得算法的收斂速度較快；斂速度較快；v初始點(diǎn)的選擇對(duì)于收斂迭代次數(shù)影響較大。初始點(diǎn)的選擇對(duì)于收斂迭代次數(shù)影響較大。 對(duì)于求解小型的機(jī)械優(yōu)化問題，隨機(jī)方向法對(duì)于求解小型的機(jī)械優(yōu)化問題，隨機(jī)方

16、向法是一種比較有效的算法。是一種比較有效的算法。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)三、復(fù)合形法三、復(fù)合形法 基本思路：基本思路：在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)（稱最壞進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)（稱最壞點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀每改變一次，就向最優(yōu)的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀每改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至

17、逼近最優(yōu)點(diǎn)。點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。)21(nknk機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1初始復(fù)合形的形成初始復(fù)合形的形成（1）由設(shè)計(jì)者決定）由設(shè)計(jì)者決定 個(gè)個(gè)可行點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形?？尚悬c(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。 k適用于設(shè)計(jì)變量少，約束條件簡單的情況。適用于設(shè)計(jì)變量少，約束條件簡單的情況。（2）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可行點(diǎn)，其余的）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可行點(diǎn)，其余的 1k 個(gè)可行點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。各頂點(diǎn)按下式計(jì)算：個(gè)可行點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。各頂點(diǎn)按下式計(jì)算：1,2,jjXar bajk 式中：式中： jX復(fù)合形中的第復(fù)合形中的第j個(gè)頂點(diǎn)。個(gè)頂點(diǎn)。 ab、設(shè)計(jì)變量的上限和下限；設(shè)計(jì)變量的上限和下限； jr在在 0,1區(qū)間

18、內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)隨機(jī)點(diǎn)不一定在可行域內(nèi)，可采用的方法是：隨機(jī)點(diǎn)不一定在可行域內(nèi)，可采用的方法是： 求出已知在可行域內(nèi)的求出已知在可行域內(nèi)的 個(gè)頂點(diǎn)的中心個(gè)頂點(diǎn)的中心 CX11LCjjXXL 將非可行點(diǎn)向中心移動(dòng)，即將非可行點(diǎn)向中心移動(dòng)，即LX 若若 仍是不可行點(diǎn)，則繼仍是不可行點(diǎn)，則繼續(xù)移動(dòng)，直到續(xù)移動(dòng)，直到成為可行點(diǎn)為止。成為可行點(diǎn)為止。 這種方法可保證移動(dòng)后的點(diǎn)一定會(huì)在可行域內(nèi)，且這種方法可保證移動(dòng)后的點(diǎn)一定會(huì)在可行域內(nèi)，且不會(huì)與原來的可行點(diǎn)重合。不會(huì)與原來的可行點(diǎn)重合。q)(5 . 011CqCqXXXX機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 完全適用于可行域是凸集的情況，如為非凸集

19、，完全適用于可行域是凸集的情況，如為非凸集，中心點(diǎn)可能不在可行域內(nèi)，可以通過改變?cè)O(shè)計(jì)變量中心點(diǎn)可能不在可行域內(nèi)，可以通過改變?cè)O(shè)計(jì)變量的上限和下限值，重新產(chǎn)生各頂點(diǎn)來解決。經(jīng)過多的上限和下限值，重新產(chǎn)生各頂點(diǎn)來解決。經(jīng)過多次計(jì)算，有可能在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合形。次計(jì)算，有可能在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合形。（3）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的全部頂點(diǎn)。）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的全部頂點(diǎn)。 首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)，然后按第二種方法首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)，然后按第二種方法生成其余的可行點(diǎn)。生成其余的可行點(diǎn)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2 2、復(fù)合形法的搜索方法、復(fù)合形法的搜索方法（1 1）反射）反射1 1）計(jì)算復(fù)合形各

20、頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點(diǎn)出最好點(diǎn) LX和最壞點(diǎn)和最壞點(diǎn) HX及次壞點(diǎn)及次壞點(diǎn) GX 2 2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)外的）計(jì)算除去最壞點(diǎn)外的 1k 個(gè)頂點(diǎn)的中心個(gè)頂點(diǎn)的中心111kCjjXXk3 3）以點(diǎn)）以點(diǎn) 為中心，將最壞點(diǎn)為中心，將最壞點(diǎn) CX按一定比例進(jìn)行反射，找到一按一定比例進(jìn)行反射，找到一個(gè)函數(shù)值小的新點(diǎn)（一般可以認(rèn)個(gè)函數(shù)值小的新點(diǎn)（一般可以認(rèn)為最壞點(diǎn)與中心點(diǎn)的連線方向可為最壞點(diǎn)與中心點(diǎn)的連線方向可能為目標(biāo)函數(shù)下降的方向）能為目標(biāo)函數(shù)下降的方向） RCCHXXXX機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)4 4）判別反射點(diǎn)）判別反射點(diǎn) 的位置的位置: :0

21、1,2,Rj XRHgJmfXfXHxRxRxHx)()(HRxfxfRxRx)()(HRxfxf若若 為可行點(diǎn)，則比較為可行點(diǎn)，則比較 和和 點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果如果 ，則用，則用 取代取代 ，構(gòu)成新的，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次迭代；如果復(fù)合形，完成一次迭代；如果 ，則將，則將 縮小縮小0.70.7倍重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不可行，繼續(xù)縮倍重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不可行，繼續(xù)縮小直至小直至 為止；為止；若為若為 不可行點(diǎn)，可縮小反射系數(shù)直至為可行點(diǎn)，并不可行點(diǎn)，可縮小反射系數(shù)直至為可行點(diǎn)，并按上述方法確定合適的新點(diǎn)。按上述方法確定合適的新點(diǎn)。)()(HRxfxf反射成功的條件

22、：反射成功的條件：Rx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（2 2）擴(kuò)張）擴(kuò)張 當(dāng)求得的反射點(diǎn)為可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值下降較多，當(dāng)求得的反射點(diǎn)為可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值下降較多，則沿反射方向繼續(xù)移動(dòng)，即采用擴(kuò)張的方法，可能找到則沿反射方向繼續(xù)移動(dòng)，即采用擴(kuò)張的方法，可能找到更好的新點(diǎn)更好的新點(diǎn) ERRCXXXX若擴(kuò)張點(diǎn)為可行點(diǎn)，且若擴(kuò)張點(diǎn)為可行點(diǎn)，且 ERfXfX則擴(kuò)張則擴(kuò)張成功，構(gòu)成新的復(fù)合形。成功，構(gòu)成新的復(fù)合形。否則，放棄擴(kuò)張，仍用原否則，放棄擴(kuò)張，仍用原反射點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形。反射點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形。 XRXEHXRCXX機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（3 3）收縮）收縮 在中心點(diǎn)以外找不到好的反射點(diǎn)，可以在中心點(diǎn)以內(nèi)，在中心點(diǎn)以外找不

23、到好的反射點(diǎn)，可以在中心點(diǎn)以內(nèi)，即采用收縮的方法尋找較好的新點(diǎn)，即采用收縮的方法尋找較好的新點(diǎn)，其計(jì)算公式為：其計(jì)算公式為：KHCHXXXXKHfXfX則收縮成功，用收則收縮成功，用收縮點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合縮點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形。形。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（4 4）壓縮）壓縮 若采用上述方法均無效，可采取復(fù)合形各頂點(diǎn)向最若采用上述方法均無效，可采取復(fù)合形各頂點(diǎn)向最好點(diǎn)好點(diǎn) 靠攏，即采用壓縮的方法來改變復(fù)合形的形狀?？繑n，即采用壓縮的方法來改變復(fù)合形的形狀。壓縮后的各頂點(diǎn)的計(jì)算公式為：壓縮后的各頂點(diǎn)的計(jì)算公式為：LX0.5(1,2, ;)jLLjXXXXjk jL 然后再對(duì)壓縮后的復(fù)然后再對(duì)壓縮后的復(fù)合形采用反射、

24、擴(kuò)張或合形采用反射、擴(kuò)張或收縮等方法，繼續(xù)改變收縮等方法，繼續(xù)改變復(fù)合形的形狀。復(fù)合形的形狀。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)3 3、復(fù)合形法的計(jì)算步驟（只含反射）、復(fù)合形法的計(jì)算步驟（只含反射）（1 1）選擇復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù)，在可行域內(nèi)構(gòu)造初始復(fù)合形。）選擇復(fù)合形的頂點(diǎn)數(shù)，在可行域內(nèi)構(gòu)造初始復(fù)合形。 （2 2）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，找出）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，找出最好點(diǎn)，最壞點(diǎn)和次壞點(diǎn)。最好點(diǎn)，最壞點(diǎn)和次壞點(diǎn)。（3 3）計(jì)算除去最壞點(diǎn)以外的各頂點(diǎn)的中心，判別中心是否）計(jì)算除去最壞點(diǎn)以外的各頂點(diǎn)的中心，判別中心是否可行，若行轉(zhuǎn)步驟（可行，若行轉(zhuǎn)步驟（4 4）；若不可行，則重新

25、確定設(shè)計(jì)變量）；若不可行，則重新確定設(shè)計(jì)變量的下限和上限值，令的下限和上限值，令 ,LCaXbX，然后由轉(zhuǎn)步驟（，然后由轉(zhuǎn)步驟（1 1），），重新構(gòu)造初始復(fù)合形。重新構(gòu)造初始復(fù)合形。 （4 4）計(jì)算反射點(diǎn)，必要時(shí)改變反射系數(shù)的值，直至反射）計(jì)算反射點(diǎn)，必要時(shí)改變反射系數(shù)的值，直至反射成功。然后，構(gòu)成新的復(fù)合形。成功。然后，構(gòu)成新的復(fù)合形。 （5 5）若收斂條件）若收斂條件 得到滿足，計(jì)算終值，約束最優(yōu)解為得到滿足，計(jì)算終值，約束最優(yōu)解為 ,LLXXfXfX，否則轉(zhuǎn)步驟（，否則轉(zhuǎn)步驟（2 2）。）。2/121)()(11kjLjxfxfk機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)四、懲罰函數(shù)法四、懲罰函數(shù)法1、基本思想、基本

26、思想 通過構(gòu)造懲罰函數(shù)把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一通過構(gòu)造懲罰函數(shù)把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一些列無約束優(yōu)化問題，進(jìn)而用無約束最優(yōu)化方些列無約束優(yōu)化問題，進(jìn)而用無約束最優(yōu)化方法求解。法求解。轉(zhuǎn)化求解的轉(zhuǎn)化求解的前提前提： 是不能破壞約束問題的約束條件；是不能破壞約束問題的約束條件； 是使它歸結(jié)到原約束問題的同一最優(yōu)解上去。是使它歸結(jié)到原約束問題的同一最優(yōu)解上去。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 將約束優(yōu)化問題將約束優(yōu)化問題min0(1,2,)0(1,2,)jkfXgXjmhXkl 中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)懲

27、罰函數(shù)懲罰函數(shù)121211, ,mljkjkX r rfXrG gXrH hX1211mljkjkrG gXrH hX加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng)加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng)11mjjrG gX障礙項(xiàng)障礙項(xiàng)21lkkrH hX懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng) 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)11mjjrG gX 障礙項(xiàng)障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中將阻止迭代點(diǎn)越出可行域；在迭代過程中將阻止迭代點(diǎn)越出可行域；21lkkrH hX懲罰項(xiàng)懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過程將迫使不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過程將迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。迭代點(diǎn)逼近約束邊界或

28、等式約束曲面。121211, ,mljkjkX r rfXrG gXrH hX 懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)用約束條件構(gòu)造懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)用約束條件構(gòu)造; ; 到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)時(shí)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)時(shí), ,懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)的值為懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)的值為0;0; 當(dāng)約束不滿足或未到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)時(shí)當(dāng)約束不滿足或未到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)時(shí), ,懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)懲罰項(xiàng)和障礙項(xiàng)的值大于的值大于0.0.構(gòu)造懲罰函數(shù)的基本要求構(gòu)造懲罰函數(shù)的基本要求: :機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。為此，按一定的法則改變加權(quán)因子約束最優(yōu)解。為此，按一定的法則改變加權(quán)因子 的的值，構(gòu)成一系

29、列無約束優(yōu)化問題值，構(gòu)成一系列無約束優(yōu)化問題, ,求得一系列無約束最優(yōu)解，求得一系列無約束最優(yōu)解，并不斷的逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法并不斷的逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱為序列無約束極小化方法，常稱又稱為序列無約束極小化方法，常稱SUMTSUMT法，即法，即( (S Sequentialequential U Unconstrainednconstrained M Minimizationinimization T Technique)echnique)。 12rr和障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)必須具有以下極限性質(zhì)：障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)必須具有以下極限性質(zhì)：0)(lim1)(1mi

30、ikkxgGr0)(lim1)(2ljjkkxhHr從而有從而有0| )(),(|lim)()(2)(1kkkkxfrrx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)2懲罰函數(shù)方法懲罰函數(shù)方法 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法外點(diǎn)懲罰函數(shù)法 混合懲罰函數(shù)法混合懲罰函數(shù)法 根據(jù)約束形式以及懲罰因子的遞推方法的根據(jù)約束形式以及懲罰因子的遞推方法的不同，懲罰函數(shù)方法可分為：不同，懲罰函數(shù)方法可分為：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法（內(nèi)點(diǎn)法）內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法（內(nèi)點(diǎn)法） 基本思想：基本思想：內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭代點(diǎn)序列必定在可行域這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭

31、代點(diǎn)序列必定在可行域內(nèi)，并逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)，并逐步逼近最優(yōu)點(diǎn)。 采用內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。采用內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為或或 1,lnmjjX rfXrgX11mjjgX或或 1lnmjjgX障礙項(xiàng)。障礙項(xiàng)。 對(duì)于只具有不等式約束的優(yōu)化問題對(duì)于只具有不等式約束的優(yōu)化問題min0(1,2,)jfXgXjm 11,mjjx rf xrgx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)r是懲罰因子，它是由大到小，且趨近于是懲罰因子，它是由大到小，且趨近于0的數(shù)列，即的數(shù)列，即01210kkrrrrr 由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，障礙項(xiàng)由

32、于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。由障礙項(xiàng)的函數(shù)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。由障礙項(xiàng)的函數(shù)形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近某一約束邊界時(shí)，其值趨形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近某一約束邊界時(shí)，其值趨近近0，而障礙項(xiàng)的值陡然增加，并趨近于無窮大，好，而障礙項(xiàng)的值陡然增加，并趨近于無窮大，好像在可行域的邊界上筑起了一道像在可行域的邊界上筑起了一道“高墻高墻”，使迭代，使迭代點(diǎn)始終不能越出可行域，顯然，只有當(dāng)懲罰因子趨點(diǎn)始終不能越出可行域，顯然，只有當(dāng)懲罰因子趨于于0時(shí)，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。時(shí)，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。11mjjgX1lnmjjgX機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)懲罰因

33、子的作用：懲罰因子的作用：由于內(nèi)點(diǎn)法只能在可行域內(nèi)由于內(nèi)點(diǎn)法只能在可行域內(nèi)迭代，而最優(yōu)解很可能在可行域內(nèi)靠邊界處或迭代，而最優(yōu)解很可能在可行域內(nèi)靠邊界處或就在邊界上，此時(shí)盡管泛函的值很大，但由于就在邊界上，此時(shí)盡管泛函的值很大，但由于懲罰因子是不斷遞減的正值，經(jīng)過多次迭代，懲罰因子是不斷遞減的正值，經(jīng)過多次迭代，接近最優(yōu)解時(shí)，懲罰項(xiàng)已是很小的正值。接近最優(yōu)解時(shí)，懲罰項(xiàng)已是很小的正值。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)例例: :用內(nèi)點(diǎn)法求問題用內(nèi)點(diǎn)法求問題 22121min. .10f xxxst g xx 約束最優(yōu)解。約束最優(yōu)解。解解: :用內(nèi)點(diǎn)法求該問題，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)：用內(nèi)點(diǎn)法求該問題，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函

34、數(shù)：) 1ln(),(12221xrxxrx用解析法求函數(shù)的極小值，運(yùn)用極值條件：用解析法求函數(shù)的極小值，運(yùn)用極值條件：0201221111xxxrxx機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)聯(lián)立求得：聯(lián)立求得：0)(2211)(21rxrrx2211)(1rrx當(dāng)當(dāng) 時(shí)不滿足約束條件，應(yīng)舍去時(shí)不滿足約束條件，應(yīng)舍去則無約束極值點(diǎn)為則無約束極值點(diǎn)為0)(2211)(21rxrrx1)(0 , 1 )(0336. 1)(0 ,156. 1 )(36. 0022. 2)(0 ,422. 1 )(2 . 14)(0 , 2)(43*3*32*2*21*1*10*0*0rxfrxrrxfrxrrxfrxrrxfrxrTTTT機(jī)械

35、優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)初始點(diǎn)初始點(diǎn) 的選取的選取0X 應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。如太靠應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。如太靠近某一約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)近某一約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)的值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生的值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難。計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的常用方法是利困難。計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的常用方法是利用隨機(jī)數(shù)生成設(shè)計(jì)點(diǎn)。用隨機(jī)數(shù)生成設(shè)計(jì)點(diǎn)。懲罰因子初值懲罰因子初值 的選取的選取 0r 懲罰因子的初值應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算懲罰因子的初值應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。一般而言，太大，將增加迭代

36、次數(shù)；的正常進(jìn)行。一般而言，太大，將增加迭代次數(shù)；太小，會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到太小，會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點(diǎn)。無一般有效方法，對(duì)于不同問題，都要經(jīng)極值點(diǎn)。無一般有效方法，對(duì)于不同問題，都要經(jīng)過多次試算，才能決定一個(gè)適當(dāng)?shù)某踔?。過多次試算，才能決定一個(gè)適當(dāng)?shù)某踔?。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)A取取 01r ，根據(jù)計(jì)算結(jié)果再?zèng)Q定增加或減小，根據(jù)計(jì)算結(jié)果再?zèng)Q定增加或減小 0r的值。的值。 B按經(jīng)驗(yàn)公式按經(jīng)驗(yàn)公式00011mjjfXrgX參考方法：參考方法：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)懲罰因子的縮減系數(shù)懲罰因子的縮減系數(shù) 的選取的選取c相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為1

37、(1,2,)kkrcrkc為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于1的正的正數(shù)，通常取值范圍在數(shù)，通常取值范圍在 之間。之間。 0.1 0.7收斂條件收斂條件11111,kkkkkkXrrXrrXrr12kkXrXr機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟選取可行的初始點(diǎn)選取可行的初始點(diǎn) 0X，懲罰因子的初始值，懲罰因子的初始值 0r，縮減系數(shù)，縮減系數(shù) c以及收斂精度以及收斂精度 12、。令迭代次數(shù)。令迭代次數(shù) 0k 構(gòu)造懲罰函數(shù)構(gòu)造懲罰函數(shù) ,X r，選擇適當(dāng)?shù)臒o約束優(yōu)化，選擇適當(dāng)?shù)臒o約束優(yōu)化方法，方法，求函數(shù)求函數(shù) ,X r的無約束極值，得的無約束極值，得 kXr

38、點(diǎn)。點(diǎn)。用收斂條件判別迭代是否收斂，若滿足收斂條用收斂條件判別迭代是否收斂，若滿足收斂條件，迭代終止。約束最優(yōu)解為件，迭代終止。約束最優(yōu)解為 kXXrkfXfXr；否則令；否則令10,1kkkrcrXXrkk，轉(zhuǎn)步驟，轉(zhuǎn)步驟2。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)內(nèi)點(diǎn)法程序框圖內(nèi)點(diǎn)法程序框圖機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)（2）外點(diǎn)懲罰函數(shù)法（外點(diǎn)法）外點(diǎn)懲罰函數(shù)法（外點(diǎn)法）基本思想：基本思想：與內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)不與內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)不同，外點(diǎn)法是將懲罰函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。同，外點(diǎn)法是將懲罰函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點(diǎn)從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最序列迭代點(diǎn)從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)。 外點(diǎn)法可以用來求解含外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束不等式和等式約束的優(yōu)的優(yōu)化問題。化問題。機(jī)械優(yōu)