四川省中江縣御河中學 邱定芳

1、四川省中江縣御河中學 邱定芳 三角函數(shù)與圓三角函數(shù)與圓 三角函數(shù)與圓三角函數(shù)與圓 思想方法提煉思想方法提煉 感悟、滲透、應用感悟、滲透、應用 課時訓練課時訓練 思想方法提煉思想方法提煉 三角函數(shù)是與角密切相關(guān)的函數(shù)，而圓中常會出三角函數(shù)是與角密切相關(guān)的函數(shù)，而圓中常會出現(xiàn)與角有關(guān)的求解問題，尤其會出現(xiàn)一些非特殊角求現(xiàn)與角有關(guān)的求解問題，尤其會出現(xiàn)一些非特殊角求其三角函數(shù)值的問題，或已知三角函數(shù)值求圓中的有其三角函數(shù)值的問題，或已知三角函數(shù)值求圓中的有關(guān)線段長等問題關(guān)線段長等問題. .三角函數(shù)與圓的綜合應用也是中考三角函數(shù)與圓的綜合應用也是中考中的熱點問題之一中的熱點問題之一. . 感悟、滲透、

2、應用感悟、滲透、應用【例例1 1】如圖所示，已知】如圖所示，已知ABAB為為O O的直徑，的直徑，C C為為ABAB延長線上延長線上的點，以的點，以OCOC為直徑的圓交為直徑的圓交O O于于D D，連結(jié)，連結(jié)ADAD，BDBD，CD.CD.(1)(1)求證：求證：CDCD是是O O的切線；的切線；(2)(2)若若AB=BC=2AB=BC=2，求，求tan Atan A的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)證證CDO=90CDO=90即可，理由即可，理由OCOC為圓的直徑為圓的直徑. .(2)(2)利用利用BCDBCDDCADCA得到得到BD8DABD8DA的比值的比值解：解：(1)(1)連

3、結(jié)連結(jié)ODOD，OCOC為直徑為直徑CDO=90CDO=90又又ODOD為為O O的半徑的半徑CDCD是是O O的切線的切線(2)(2)由切割線定理有：由切割線定理有：CDCD2 2=CBCA=8CD=22=CBCA=8CD=22BDC=ABDC=A，BCD=DCABCD=DCABCDBCDDCADCA = =ABAB是是O O的直徑的直徑ADB=90ADB=90tan A=tan A=CACDDABD 22422 22DABD 【例【例2 2】(20(200 09 9年年 四川省四川省) )已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O O，ABAB是是O O的直徑，的直

4、徑，CECE切切O O于于C C，AECE, AECE, 交交O O于于D.D.(1)(1)求證：求證：DC=BCDC=BC；(2)(2)若若DC:AB=3:5,DC:AB=3:5, 求求sinCADsinCAD的值的值. . 證明：證明：連接連接BD.ABBD.AB是是O O的直徑的直徑,ADB=90,ADB=90. .又又AEC=90AEC=90. . BD/EC.ECD=BDC.BC=CDBD/EC.ECD=BDC.BC=CD又又CAD=CABCAD=CABsinCAD=sinCAB=BC/AB=DC/AB=3/5.sinCAD=sinCAB=BC/AB=DC/AB=3/5.【例【例3

5、3】已知：如圖】已知：如圖Z4-3Z4-3，C C為半圓上一點，為半圓上一點，AC=CEAC=CE，過，過點點C C作直徑作直徑ABAB的垂線的垂線CPCP，P P為垂足，弦為垂足，弦AEAE分別交分別交PCPC，CBCB于點于點D D，F(xiàn) F，(1)(1)求證：求證：AD=CDAD=CD；(2)(2)若若DF=5/4DF=5/4，tan ECBtan ECB =3/4 =3/4，求，求PBPB的長的長. .【分析】【分析】(1)(1)證證ACDACD為等腰三角形即可得為等腰三角形即可得. .(2)(2)先證明先證明 CD=AD=FDCD=AD=FD，在，在RtRtADPADP中再利用勾股定理

6、及中再利用勾股定理及tan tan DAP=tan ECB=3/4DAP=tan ECB=3/4，求出，求出DPDP、PAPA、CPCP，最后利用，最后利用APCAPCCPBCPB求求PBPB的長的長. .解：解：(1)(1)連結(jié)連結(jié)ACAC=CECEA=CAEACAC=CECEA=CAECEA=CBACBA=CAECEA=CBACBA=CAEABAB是直徑是直徑ACB=90ACB=90CPABCBA=ACPCPABCBA=ACPCAE=ACPAD=CDCAE=ACPAD=CD(2)ACB=90(2)ACB=90CAE=ACPCAE=ACPDCF=CFDAD=CD=DF=5/4DCF=CFDA

7、D=CD=DF=5/4ECB=DAPECB=DAP，tan ECB=3/4tan ECB=3/4tan DAP=DPPA=3/4tan DAP=DPPA=3/4DPDP2 2+PA+PA2 2=DA=DA2 2 DP=3/4DP=3/4 PA=1CP=2 PA=1CP=2ACB=90ACB=90，CPAB CPAB APCAPCCPBCPB PB=4 PB=4PBPCPCAP 【例【例4 4】(2008(2008年年河南省河南省) )已知如圖所示，在半徑為已知如圖所示，在半徑為4 4的的O O中，中，ABAB、CDCD是兩條直徑，是兩條直徑，M M為為OBOB的中點，的中點，CMCM的延長線交

8、的延長線交O O于點于點E E，且，且EMEMMCMC，連結(jié)，連結(jié)DEDE，DE= .DE= .(1)(1)求求EMEM的長；的長；(2)(2)求求sin EOBsin EOB的值的值. .【分析】【分析】(1)(1)用勾股定理求用勾股定理求ECEC長，再用相交弦定理求長，再用相交弦定理求EMEM的長的長. .(2)(2)構(gòu)造構(gòu)造RtRtEOFEOF，利用三角函數(shù)求正弦值，利用三角函數(shù)求正弦值. .15解：解：(1)(1)DCDC為為O O的直徑的直徑DEECDEECDC=8DC=8，DE= EC= =7DE= EC= =7設設EM=xEM=x，由于，由于M M為為OBOB的中點的中點BM=2

9、BM=2，AM=6AM=6AMMB=x(7-x)AMMB=x(7-x)即即6 62=2=x(7-x)x(7-x)，x x2 2-7x+12=0-7x+12=0 xx1 1=3=3，x x2 2=4EM=4EMMCEM=4MCEM=4(2)OE=EM=4(2)OE=EM=4OEMOEM為等腰三角形為等腰三角形過過E E作作EFOMEFOM，垂足為，垂足為F F，則，則OF=1OF=1EF=EF=sin EOB=sin EOB=15156422 DEDC1511622OFOE415【例【例5 5】(2008(2008年年河南省河南省) )已知：如圖所示，已知：如圖所示，ABAB是是O O的直的直徑

10、，徑，O O為圓心，為圓心，AB=20AB=20，DPDP與與O O相切于點相切于點D D，DPPBDPPB，垂足，垂足為為P P，PBPB與與O O交于點交于點C C，PD=8PD=8(1)(1)求求BCBC的長；的長；(2)(2)連結(jié)連結(jié)DCDC，求，求tan PCDtan PCD的值；的值；(3)(3)以以A A為原點，直線為原點，直線ABAB為為x x軸建立平面直角坐標系，求軸建立平面直角坐標系，求 直線直線BDBD的解析式的解析式. .【解析】【解析】(1)(1)過過O O作作OEBCOEBC，垂足為，垂足為E E，則，則BE=ECBE=EC，連結(jié)，連結(jié)ODOD，則，則ODDPODD

11、P又又DPPBDPPB，四邊形四邊形OEPDOEPD為矩形為矩形 OE=PD=8OE=PD=8OB=1/2OB=1/2* *AB=1/2AB=1/220=1020=10在在RtRtOEBOEB中，中，EBEB2 2=OB=OB2 2-OE-OE2 2=10=102 2-82=36-82=36EB=6EB=6，BC=2EB=12BC=2EB=1248(2)PB=PE+EB=DO+EB=16(2)PB=PE+EB=DO+EB=16PC=PB-BC=16-12=4PC=PB-BC=16-12=4在在RtRtPCDPCD中，中， DP=8DP=8， PC=4PC=4tan PCD=PD/PC= =2t

12、an PCD=PD/PC= =21.1.如圖所示，如圖所示，C C是是O O外一點，由外一點，由C C作作O O的兩條切線，切點的兩條切線，切點為為B B、D D，BOBO的延長線交的延長線交O O于于E E，交，交CDCD的延長線于的延長線于A A，若，若AE=2AE=2，AB=23 AB=23 求：求：(1)BE的長；的長；(2)sin A的值的值. 解：解：(1)(1)BE=AB-AE=2(3-1)BE=AB-AE=2(3-1)(2)(2)連連ODOD，則，則OD=3-1OD=3-1CDCD為為O O的切線的切線ODCDODCDsin A=sin A=322324131321313OAO

13、D ) )( ( 課時訓練課時訓練3.3.ABCABC中，中，AB=10AB=10，外接圓，外接圓O O的面積為的面積為2525，sin Asin A，sin sin B B是方程是方程( (m+5)xm+5)x2 2-(2m-5)x+12=0-(2m-5)x+12=0的個兩根，其中的個兩根，其中m-5.m-5.(1)(1)求求m m的值；的值；(2)(2)求求ABCABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑. .解解(1)(1)設設O O的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r r，O O的半徑為的半徑為R RRR2 2=25R=5=25R=5因因O O的內(nèi)接的內(nèi)接ABCABC的邊的邊AB=10=2RAB

14、=10=2RABAB是是O O的直徑，且的直徑，且ACBACB9090，則，則ABCABC是直角三角形，從而是直角三角形，從而A+B=90A+B=90，故，故sin B=cos Asin B=cos A因因sin Asin A、sin Bsin B是一元二次方程是一元二次方程( (m+5)xm+5)x2 2-(2m-5)x+12=0-(2m-5)x+12=0的兩個根，故的兩個根，故2 2- -2 2得得( (sin A+cos A)sin A+cos A)2 2-2sin Acos A-2sin Acos A消去消去sin Asin A和和cos Acos A，得，得m m2 2-18m-40

15、=0-18m-40=0解之得解之得m=20m=20或或m=-2m=-2 5m12AABA5m5m2AABAc co os ss si in ns si in ns si in nc co os ss si in ns si in ns si in n5m245m5m22 ) )( (2)(2)當當m=20m=20時，時，方程化為：方程化為：2525x x2 2-35x+12=0-35x+12=0解之得解之得x=3/5x=3/5，x=4/5x=4/5則則sin A=3/5sin A=3/5，sin B=45sin B=45或或sin A=4/5sin A=4/5，sin B=3/5sin B=3

16、/5即：即：AC=ABsin B=10AC=ABsin B=104/5=84/5=8BC=ABsin A=10BC=ABsin A=103/5=63/5=6或或AC=6AC=6，BC=8BC=8于是內(nèi)切圓半徑于是內(nèi)切圓半徑r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2當當m=-2m=-2時，方程化為時，方程化為x x2 2+3x+4=0+3x+4=0此方程無實根此方程無實根m=-2m=-2應舍去應舍去m=20m=20，r=2 r=2 4.4.如圖所示，拋物線如圖所示，拋物線y=axy=ax2 2-3x+c-3x+c交交x x軸正方向

17、于軸正方向于A A、B B兩點，兩點，交交y y軸正方向于軸正方向于C C點，過點，過A A、B B、C C三點作三點作D D，若，若D D與與y y軸相軸相切切. .(1)(1)求求a a、c c滿足的關(guān)系式；滿足的關(guān)系式；(2)(2)設設ACB=ACB=，求，求tan tan ；(3)(3)設拋物線頂點為設拋物線頂點為P P，判斷直線，判斷直線PAPA與與D D的位置關(guān)系，并的位置關(guān)系，并證明證明. . 解：解：(1)(1)A A、B B的橫坐標是方程的橫坐標是方程axax2 2-3x+c=0-3x+c=0的兩根，設為的兩根，設為x x1 1，x x2 2(x(x2 2x x1 1) )，

18、C C的縱坐標為的縱坐標為c c又又y y軸與軸與D D相切，相切，OAOB=OCOAOB=OC2 2xx1 1xx2 2=c=c2 2，又由方程又由方程axax2 2-3x+c=0-3x+c=0和已知和已知x x1 1xx2 2= =cc2 2= = 即即ac=1.ac=1. acac(2)(2)連結(jié)連結(jié)PDPD，交，交x x軸于軸于E E，直線，直線PDPD必為拋物線的對稱軸，必為拋物線的對稱軸，連結(jié)連結(jié)ADAD、BDBD，AE= ABAE= AB，ACB= ADB=ADE=ACB= ADB=ADE=aa0 0，x x2 2x x1 1AB=xAB=x2 2-x-x1 1= AE= AE=

19、又又ED=OC=cED=OC=c，tan = tan = 2121a5aac49 a2525DEAE(3)(3)設設PAB=PAB=，P P點坐標為點坐標為( )( )又又a a00在在RtRtPAEPAE中，中，PE=PE=tan =tan =tan=tan =tan=tan =PAE=ADEPAE=ADEADE+DAE=90ADE+DAE=90PAE+DAE=90PAE+DAE=90即即PAD=90PAD=90PAPA和和D D相切相切. . aa45,23a4525AEPE5.5.如圖所示，已知如圖所示，已知A(5A(5，-4)-4)，A A與與x x軸分別相交于點軸分別相交于點B B、C C，A A與與y y軸相切于點軸相切于點D D，(1)(1)求過求過D D、B B、C C三點的拋物線的解析式；三點的拋物線的解析式；(2)(2)連結(jié)連結(jié)BDBD，求，求tan BDCtan