圓錐曲線典型例題整理

1、精品文檔橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例 1：已知橢圓的焦點是1(0 ， 1)、 2(0,1)，P是橢圓上一點，并且122 1 2，求橢圓的標準方程。FF又 c ，所以PFPFF F解：由 PF1PF2 F1F2 × ，得2a4.b2 3.22241y2x2所以橢圓的標準方程是4 3 1.2已知橢圓的兩個焦點為1( 1,0) ， 2(1,0)，且 2 10，求橢圓的標準方程FFax2y2c 1， b2解：由橢圓定義知5 1 24.橢圓的標準方程為2524 1.二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例： 2.橢圓的一個頂點為A 2，0，其長軸長是短軸長的2

2、倍，求橢圓的標準方程分析： 題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（ 1）當 A 2，0為長軸端點時，a2， b1，橢圓的標準方程為：x2y21 ；41（ 2）當 A 2，0為短軸端點時，b2， a4 ，橢圓的標準方程為：x2y21 ；4三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。16例 3求過點 ( 3,2) 且與橢圓 x2 y21 有相同焦點的橢圓的標準方程942x2y294解：因為 c 9 45，所以設(shè)所求橢圓的標準方程為a2 a2 5 1.由點 ( 3,2) 在橢圓上知 a2 a2 5 1，所以2x2y2a 15.所以所求橢圓的標準方程為1510 1.四、與直線相結(jié)合的

3、問題，求橢圓的標準方程。例 4：已知中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓與直線xy10交于 A、B兩點， M 為 AB中點， OM 的斜率為0.25 ，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解： 由題意，設(shè)橢圓方程為x2y21，a2xy 10222x1x21 a 21由，得12ax0 ， xM，x2y 2a xa2，yM1 xM1 a212a2， x 2kOMyM11 ， a24y21 為所求xMa244五、求橢圓的離心率問題。例 5一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率解：2ca 221 3c2a213c3， e33例 6已知橢圓x2y 21 的離心率 e189，求 k 的值k2解：當橢圓

4、的焦點在x 軸上時， a2k8 ， b29 ，得 c 2k1由 e1，得 k4 y 軸上時， a29 ， b28 ，得 c22當橢圓的焦點在k1k 由 e1，得1k1 ，即 k5滿足條件的 k4 或 k529444六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題例： 7. 若 ABC的兩個頂點坐標A( 4,0) ，B(4,0)， ABC的周長為18，求頂點 C的軌跡方程。，且大于兩定點間的距離，因此頂點C 的軌跡解：頂點 C 到兩個定點 A，B 的距離之和為定值10。1歡迎下載精品文檔x2為橢圓，并且 2a 10，所以 a5,2c8，所以 c 4，所以 b2 a2c29，故頂點 C 的軌跡方程為 25

5、y2x2y2x2y29 1. 又 A、B、C 三點構(gòu)成三角形， 所以 y0. 所以頂點 C 的軌跡方程為 25 9 1( y0) 答案：25 9 1( y 0)x22>5) ，1，2，2 8，1，求2已知橢圓的標準方程是2 y1(a它的兩焦點分別是1弦2a25FF且 F FAB過點 FABF的周長12c ，即 c ，所以2，即a2因為F F ，即即所以a ，所以 ABF 的周長為8284251641414a441.x2y23設(shè) F1、 F2 是橢圓 9 4 1 的兩個焦點， P 是橢圓上的點，且PF1 PF2 2 1，求 PF1F2 的面積 ，解析：由橢圓方程，得a ，b ，c ， PF

6、1PF2a6.又 PF1 PF2 ， PF1325221422211PF2 2，由 24 (25)可知 PF1F2 是直角三角形，故PF1F2 的面積為 2PF1·PF22×2×44七、直線與橢圓的位置問題例 8已知橢圓x2y21，求過點 P1122， 且被 P 平分的弦所在的直線方程2分析一： 已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k ，利用條件求 k 解法一： 設(shè)所求直線的斜率為k ，則直線方程為 y1kx12代入橢圓方程，并整理得22221232k 22k12kx2k2k x2kk20 由韋達定理得 x1x212k 2 P 是弦中點， x1x21故得 k1

7、2x4 y30 所以所求直線方程為2解法二： 設(shè)過 P11A x1， y1、 B x2， y2 ，則由題意得2，的直線與橢圓交于2x12y121，2x22y221，2x1x21，y1y21.得 x12x22y12y220 2y1y21 ，即直線的斜率為1將、代入得所求直線方程為 2x4 y3 0 x1x222八、橢圓中的最值問題例 9橢圓 x2y 21 的右焦點為 F ，過點 A 1， 3 ，點 M 在橢圓上， 當 AM2 MF 為最小值時， 求點 M 的1612坐標解： 由已知： a4 ， c2 所以 e1，右準線 l： x82過A作AQl ，垂足為 Q ，交橢圓于 M ，故 MQ2 MF

8、顯然 AM2 MF 的最小值為AQ，即M為所求點，因此 yM3 ，且 M 在橢圓上故xM 2 3 所以 M2 3，3。2歡迎下載精品文檔雙曲線典型例題一、根據(jù)方程的特點判斷圓錐曲線的類型。例 1討論x2y225k 91表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征k分析： 由于 k9 ， k25 ，則 k 的取值范圍為k 9 ， 9 k 25 ， k25，分別進行討論ab，解：（1）當k 925 k 0 9 k 0，所給方程表示橢圓， 此時 a225 k ，b2 9c22216時，k ，這些橢圓有共同的焦點（4，0），（ 4，0）（ 2）當 9 k25 時， 25 k 0 ， 9k0 ，所給方程表示雙曲線

9、，此時，a225k ， b29k ，c2a2b216 ，這些雙曲線也有共同的焦點（4， 0），）（ 4， 0）（ 3） k25 ， k 9 ， k 25 時，所給方程沒有軌跡k 值，畫出其圖形，體會一下說明： 將具有共同焦點的一系列圓錐曲線，稱為同焦點圓錐曲線系，不妨取一些幾何圖形所帶給人們的美感二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標準方程。例 2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程（ 1）過點15，Q16， 且焦點在坐標軸上P 3，543（ 2） c6 ，經(jīng)過點（5， 2），焦點在 x 軸上（ 3）與雙曲線 x2y21有相同焦點，且經(jīng)過點 32，2164x2y 2解：（ 1）設(shè)雙曲線方程為1m n P

10、 、 Q 兩點在雙曲線上，92251m16x2y2 m16n解得所求雙曲線方程為1256251n91699mn說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的2x 軸上， c6，設(shè)所求雙曲線方程為：x2y 21（其中06）（ ）焦點在6雙曲線經(jīng)過點（5， 2）， 25415 或30（舍去）x26所求雙曲線方程是y215（ 3）設(shè)所求雙曲線方程為：x2y2161641 0雙曲線過點32，2，1841 4 或14 （舍）164所求雙曲線方程為x2y21128x2y2x2y2說明：（ 1）注意到了與雙曲線1 有公共焦點的雙曲線系方程為1641641后，便有了以上巧妙的設(shè)法（ 2）尋找一

11、種簡捷的方法， 須有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力， 這也是在我們教學中應(yīng)該注重的一個重要方面三、求與雙曲線有關(guān)的角度問題。22例 3 已知雙曲線xy1 的右焦點分別為F1 、F2 ，點 P 在雙曲線上的左支上且PF1 PF232 ，求F1PF2916的大小。3歡迎下載精品文檔分析： 一般地，求一個角的大小，通常要解這個角所在的三角形解： 點 P 在雙曲線的左支上PF1PF22PF22366 PF12 PF1 PF222100 F1 F224 a2b12100 F1PF290 PF1PF24c2說明：（ 1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當中，使問題得以簡單化（ 2）題目的“點P 在雙曲線的左支上

12、”這個條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點P 在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問題。例 4已知 F1 、F2是雙曲線 x2y21 的兩個焦點， 點 P 在雙曲線上且滿足F1PF290 ，求F1 PF2 的面積4分析： 利用雙曲線的定義及F1PF2 中的勾股定理可求F1 PF2 的面積解： P 為雙曲線 x2y21 上的一個點且 F1 、 F2 為焦點4 PF1PF22a4 , F1F22c 2 5 F1PF2 90在 Rt22220 PF1PF222PF222 PF1PF216PF1 F2 中， PF1PF2F1F2PF120 2PF1

13、PF216 PF1PF22 S F1PF21PF2 1PF1說明： 雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用2五、根據(jù)雙曲線的定義求其標準方程。例 5已知兩點 F15，0 、 F2 5，0 ，求與它們的距離差的絕對值是6 的點的軌跡分析： 問題的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動點軌跡解： 根據(jù)雙曲線定義，可知所求點的軌跡是雙曲線 c 5 ， a 3 b2c 2a252324216x2y 21 為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線所求方程169例P 是雙曲線 x2y21 上一點， F1 、 F2 是雙曲線的兩個焦點，且PF117 ，求 PF2的值6436分析： 利用雙曲線的定義求解解

14、： 在雙曲線 x2y21 中， a 8 ， b6 ，故 c10 6436由 P 是雙曲線上一點，得PF1PF216 PF21或 PF233 又 PF2c a2，得 PF233 說明： 本題容易忽視PF2ca 這一條件，而得出錯誤的結(jié)論PF21或 PF233說明：（ 1）若清楚了軌跡類型，則用定義直接求出其軌跡方程可避免用坐標法所帶來的繁瑣運算（ 2）如遇到動點到兩個定點距離之差的問題，一般可采用定義去解六、求與圓有關(guān)的雙曲線方程。例 6 求下列動圓圓心M 的軌跡方程：（ 1）與 C：x22y22 內(nèi)切，且過點A 2，0（ 2）與 C1： x 2y1 21 和 C 2： x2y1 24 都外切（

15、 3）與 C ：x32y29 外切，且與C ：x3 2y21內(nèi)切12分析： 這是圓與圓相切的問題，解題時要抓住關(guān)鍵點，即圓心與切點和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離如果相切的 C1 、 C2 的半徑為 r1 、 r2 且 r1 r2 ，則當它們外切時，O1O2r1 r2 ；當它們內(nèi)切時， O1O2 r1 r2 解題中要注意靈活運用雙曲線的定義求出軌跡方程解： 設(shè)動圓 M 的半徑為 r（ 1） C1 與 M 內(nèi)切，點A 在 C 外 MCr2 ， MAr ， MAMC2。4歡迎下載精品文檔點 M 的軌跡是以 C 、 A 為焦點的雙曲線的左支，且有：a2， c 2 ， b2c2a27雙曲線方程為 2x22

16、y 21 x2227（ 2） M 與 C1 、 C2 都外切 MC1r1， MC2 r2， MC2MC11點 M的軌跡是以C2 、1 為焦點的雙曲線的上支，且有：a1，c1，2223C2bca44 y24x2所求的雙曲線的方程為：1 y334（ 3） M 與 C1 外切，且與 C2 內(nèi)切 MC1r 3， MC2r 1， MC1MC24點 M 的軌跡是以 C1 、 C2 為焦點的雙曲線的右支，且有：a2 ， c3 ， b2c2a25所求雙曲線方程為：x2y 2241 x5說明：（ 1）“定義法”求動點軌跡是解析幾何中解決點軌跡問題常用而重要的方法（ 2）巧妙地應(yīng)用“定義法”可使運算量大大減小，提

17、高了解題的速度與質(zhì)量（ 3）通過以上題目的分析，我們體會到了，靈活準確地選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q問題是我們無休止的追求目標w.w.w.k.s.5.u.c.o.拋物線典型例題一、求拋物線的標準方程。例 1 指出拋物線的焦點坐標、準線方程（ 1） x24 y（ 2） x ay 2 (a 0)分析：（ 1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程（ 2）先把方程化為標準方程形式，再對a 進行討論，確定是哪一種后，求p 及焦點坐標與準線方程解：（ 1）p 2 ，焦點坐標是（0， 1），準線方程是：y1（ 2）原拋物線方程為：y21 x ，2 p1aa當 a0 時， p1，拋

18、物線開口向右，焦點坐標是( 1,0) ，準線方程是：x124a4a4a當 a0 時， p1，拋物線開口向左，焦點坐標是(1,0) ，準線方程是：x124aay 2 的焦點坐標為 ( 14a14a綜合上述，當 a0時，拋物線 x,0) ，準線方程是： x4a4a二、求直線與拋物線相結(jié)合的問題例 2 若直線 ykx2與拋物線 y 28x 交于 A、B 兩點，且 AB中點的橫坐標為2，求此直線方程分析： 由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k 的方程求解另由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關(guān)，故也可利用“作差法”求k解法一： 設(shè) A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，則由：ykx2(

19、4k8)x40 y28x可得： k 2 x2直線與拋物線相交，k0 且0，則 k1 AB中點橫坐標為：x1x24k82 ，2k 2解得： k2 或 k1y2x2 （舍去）故所求直線方程為：解法二： 設(shè)(,y1) 、B( x2 , y2 )，則有y28xy28x2A x1112兩式作差解： ( y1y2 )( y1y2 )8( x1y1y28x2 ) ，即x2y1y2x1x1 x24 y1y2kx12 kx22 k( x1x2 ) 4 4k 4 ，k8故 k2 或 k1 （舍去）則所求直線方程為：y2x 2 4k4。5歡迎下載精品文檔三、求直線中的參數(shù)問題例 3（ 1）設(shè)拋物線 y24x 被直線

20、 y2xk 截得的弦長為35 ，求 k 值（ 2）以（ 1）中的弦為底邊，以x 軸上的點 P為頂點作三角形，當三角形的面積為9 時，求 P點坐標分析：（ 1）題可利用弦長公式求k，（ 2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P 點坐標解：（ 1）由y 24x得： 4x2(44)xk20y 2xkk設(shè)直線與拋物線交于A(x1, y1 ) 與 B( x2 , y2 ) 兩點則有： x1x21k, x1x2k 24AB(1 22 )( x1x2 ) 25 ( x1x2 ) 24x1 x25 (1k) 2k 25(1 2k )AB35,5(12k )35 ，即 k4（ 2）S9 ，底邊長為35，三角形高 h2965P 在 x 軸上，355點設(shè) P 點坐標是 ( x0 ,0)則點 P到直線 y2x4 的距離就等于h，即2x0046522125x01 或 x0 5 ，即所求 P 點坐標是（1