瑕積分的收斂判別法

1、8.4 瑕積分的收斂與計(jì)算0+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 的的右右上上有有定定義義，而而在在點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)abaxf,()(上上在在但但對對鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界)(),0(,baxfa,b .)( badxxf為為記記一一、無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 定義定義4.14.1可積，若可積，若0+lim( ),baf x dx 存存在在, .當(dāng)當(dāng)上上述述的的極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)瑕瑕積積分分發(fā)發(fā)散散稱稱在在則則稱稱此此極極限限為為)(xf(a,b 上上的的廣廣義義積積瑕瑕分分（也也稱稱積積分分），,. a瑕瑕積積分分收收斂斂這這也也稱稱稱稱為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)時(shí)

2、時(shí)即：即：可以定義可以定義類似地，類似地，0+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，上上瑕瑕積積分分，在在區(qū)區(qū)間間bbaxf),)()1()()(),()2(a,bxfcxfa,bc在在點(diǎn)無界，則點(diǎn)無界，則在在且且若若 上的積分為上的積分為b0+0+ ( )( )( )lim( )lim( )bcbaaccacf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 當(dāng)上述右邊的兩個(gè)極限都存在時(shí)，稱該瑕積分收斂；當(dāng)上述右邊的兩個(gè)極限都存在時(shí)，稱該瑕積分收斂；當(dāng)上述右邊的其中的一個(gè)極限不存在時(shí)，稱該瑕積分發(fā)散當(dāng)上述右邊的其中的一個(gè)極限不存在時(shí)，稱該瑕積分發(fā)散.

3、 .例例1 1解解: : .)(討論瑕積分10的收斂性01 pdxxp是瑕點(diǎn)，且是瑕點(diǎn)，且由于由于0 x1,11(1),1,11(01)ln ,1.ppppdxxp 且且瑕瑕積積分分收收斂斂時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)，p10 ;111lim11010 pdxxdxxpp1,.p 當(dāng)時(shí) 瑕積分發(fā)散于解：解：例例2 2所所以以為瑕點(diǎn)，為瑕點(diǎn)，由于由于1 x 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.)1(3032 xdx 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 例

4、例3 3 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.注意注意（1） 瑕積分與定積分表達(dá)方式相同，遇到有限區(qū)瑕積分與定積分表達(dá)方式相同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。 （2） 瑕積分瑕積分N-L公式，換元積分公式、分部積分公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，代入上、下限時(shí)對應(yīng)的是極限值。公式仍然成立，代入上、下限時(shí)對應(yīng)的是極限值。則則作代換作代

5、換 , 1yax abdyyyaf121)1(無窮積分無窮積分瑕積分瑕積分 ,)(, )( , :baRxgxfa 是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)積積分分下下限限約約定定 ,)(的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)是是設(shè)設(shè)xfa1120011lim( )lim()bb aaf x dxf adyy y 問題：問題：?性性如如何何判判斷斷瑕瑕積積分分的的斂斂散散二二. . 瑕積分的性質(zhì)瑕積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)瑕積分與無窮積分有平行的理論和結(jié)果瑕積分與無窮積分有平行的理論和結(jié)果 . . 為為任任意意常常數(shù)數(shù)，的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同為為若若2111,)(),(,kkaxxfxf 都都收收斂斂時(shí)時(shí)，與與則則當(dāng)當(dāng)瑕瑕積積分分dxxfdxxfbab

6、a )()(21也也收收斂斂，且且瑕瑕積積分分dxxfkxfkba)()(2211 .)()()()(22112211dxxfkdxxfkdxxfkxfkbababa 為為任任意意常常數(shù)數(shù)，且且的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為若若)(,)(a,bcaxxf ( )( )bcaaf x dxf x dx則則瑕瑕積積分分與與同同斂斂散散，且且.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba 三、瑕積分收斂的判別法三、瑕積分收斂的判別法. .定理定理4.1(4.1(柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則) )在在上有定義，且上有定義，且在在若若)(, 0,)()(limxfxfa,bxfax 收斂的充要條件是收斂的充要條件是為瑕點(diǎn)為瑕

7、點(diǎn)上可積，則上可積，則 baadxxf,ba)()( 120,0,auua 只只要要當(dāng)當(dāng)有有.)(21 uudxxf( ),|( )|( ).bbbaaaf x dxf x dxf x dx 則則收收斂斂絕對收斂絕對收斂.收斂收斂收斂收斂.絕對收斂絕對收斂 2. 2. 定理定理4.24.2( )(,( )dbaf xa,baf xx 若若在在上上有有定定義義, , 為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 且且收收斂斂，;d)(d)( 1收斂收斂收斂收斂若若 babaoxxfxxg.d)(d)( 2發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散若若 babaoxxgxxf1(0) ()1bpapdxaxap 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散常用的比

8、較對象：常用的比較對象：3. 3. 定理定理4.34.3（比較判別法）（比較判別法）且且對對上上有有定定義義，瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同為為在在，設(shè)設(shè),()()(axa,bxgxf 的的上上可可積積，對對充充分分靠靠近近在在a,baxgxf)(),(, 0 (),0( )( ),f xg xxxa 如如果果有有則則，則則且且設(shè)設(shè)lxgxfxgxfax )()(lim , 0)(),(同同斂斂散散；與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) babaxxgxxfld)(d)(,0 1收收斂斂；收收斂斂時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) babaxxfxxgld)(d)( 0 2.d)(d)( , 3發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) babaxxfxxgl4. 4. 定理

9、定理4.44.4（比較判別法極限形式）（比較判別法極限形式），有，有使得對使得對abM 0 0, 1, 0)(lim,( 2 xgbagax且且上單調(diào)上單調(diào)在在,)()(),(axxfa,bxgxf 有有唯唯一一瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)上上有有定定義義，且且在在設(shè)設(shè).)d()(收斂收斂則則xxgxfba ;|d )(|Mxxfba 5. 5. 定理定理4.5(Dirichlet4.5(Dirichlet判別法判別法) )滿足滿足上可積，如果上可積，如果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下列條件：下列條件：;d )( 1收斂收斂xxfba .,()( 2中中單單調(diào)調(diào)有有界界在在baxg.)

10、d()(收斂收斂則則xxgxfba .,有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果間值時(shí)間值時(shí)瑕點(diǎn)為積分上限或者中瑕點(diǎn)為積分上限或者中6. 6. 定理定理4.5(Abel4.5(Abel判別法判別法) ),)()(),(axxfa,bxgxf 有唯一瑕點(diǎn)有唯一瑕點(diǎn)上有定義，且上有定義，且在在設(shè)設(shè)滿滿足足上上可可積積，如如果果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下下列列條條件件：例例4 410lnln(1)(1)xxdxxx 1411000014414ln ln(1)ln1(1)limlimlnlim4lim01xxxxxxxxxxxxxxx 收斂收斂解解.ln31的收斂性的收斂性判別廣義積分

11、判別廣義積分 xdx解解的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界被積函數(shù)在點(diǎn)被積函數(shù)在點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則知：由洛必達(dá)法則知：xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)判別法極限形式根據(jù)判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.例例5 5例例6 6 1011)1(dxxxqp研究研究.的斂散性的斂散性解：解：.1 ,1 ;0 ,1是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xqxp: , )1 , 0(把積分拆成兩部分把積分拆成兩部分故取故取 a aqpqpdxxxdxxx0111011)1()1( 111)1(aqpdxxx,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(111 pqpxxx ; ,0

12、第一個(gè)積分收斂第一個(gè)積分收斂時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) pBeta函數(shù)函數(shù).0, 0時(shí)時(shí)收收斂斂綜綜上上，原原積積分分在在 qp).,(qpB函函數(shù)數(shù)故故積積分分定定義義了了一一個(gè)個(gè)二二元元例例7 7.)0()(01的斂散性的斂散性研究積分研究積分 sdxxessxs)(s o,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1()1(111 qqpxxx ; ,0第第二二個(gè)個(gè)積積分分收收斂斂時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng) q解：解：,0 ,1是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xs.但它又是無窮積分但它又是無窮積分:部部分分來來討討論論下下面面我我們們把把它它拆拆成成兩兩個(gè)個(gè) 函函數(shù)數(shù),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,11 ssxxxe 1110101dxxedxxedxxesxs

13、xsx.0時(shí)時(shí)收收斂斂所所以以第第一一個(gè)個(gè)積積分分當(dāng)當(dāng) s,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x, 012 sxxex.為為何何值值都都收收斂斂所所以以第第二二個(gè)個(gè)積積分分不不論論s.0時(shí)收斂時(shí)收斂因此原積分當(dāng)因此原積分當(dāng) s).(ss 為為變變量量的的函函數(shù)數(shù)該該積積分分定定義義了了一一個(gè)個(gè)以以 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代換中，作代換在在 20sinmxdxx 220sinlim1,21,3mmxxxmmx

14、2sin1cos21,2mmxxmxx 2221001sinsinsinmmmxxxdxdxdxxxx2sin11mmxmxx由于，由于，收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散1m3,收斂收斂例例8 8解：解：例例9 9.sin , 0101的斂散性的斂散性討論積分討論積分設(shè)設(shè)dxxppx 解：解： , 0 是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)易見易見 x得得作變換作變換 ,1tx ,sinsin12101dtttdxxppx . ,2 .1積分發(fā)散積分發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) po 02)1(222sin)2(|sin|tdtktdttpkkp, 2)2(22 pk 時(shí)，時(shí)，則當(dāng)則當(dāng)這是因?yàn)槿羧∵@是因?yàn)槿羧?kkAkA,)12(,2 ,C收

15、收斂斂原原理理所所以以由由auchy. ,2 積分發(fā)散積分發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p. ,10 .2積積分分絕絕對對收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) po,1|sin| 22ppttt . 由由比比較較判判別別法法可可知知. ,21 .3積積分分條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) po 0, ,21 2單調(diào)地趨于單調(diào)地趨于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ptp. ,Dirichlet 積積分分收收斂斂判判別別法法由由所以所以是發(fā)散的是發(fā)散的而此時(shí)而此時(shí) ,t|sint| ,1p-2dt 例例1010.1ln102的斂散性的斂散性判斷積分判斷積分dxxx 由于解：解：,1ln1ln1ln12122102102dxxxdxxxdxxx 又因?yàn)?211ln

16、21lim xxx所以，.1ln11212存存在在不不是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)，因因此此dxxxx 而而，由于對充分小的，由于對充分小的對于對于|,ln|2|1ln| ,1ln22102xxxxdxxx 存在，存在，2102100210lnlnlnlimlimxxxdxxdxx .故故所所給給積積分分收收斂斂例例1111解：解： , 0 是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn)易見易見 x: ,把積分分成兩部分把積分分成兩部分為此為此dxxxdxxxI 1101sin11sin1 21II : 1的收斂性的收斂性現(xiàn)討論現(xiàn)討論 I.1)sin1(, 00的收斂性的收斂性討論積分討論積分設(shè)設(shè)dxxx 的收斂性和的收斂性和顯然顯然 1I.

17、sin1101的收斂性相同的收斂性相同dxxxI ,0時(shí)時(shí)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x351sin( ),3!x xxOx , 所以所以 ,0時(shí)時(shí)因而當(dāng)因而當(dāng)x.61sin12 xxx. ,211收斂收斂時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)I . , 1sin1絕對收斂絕對收斂故故由于由于Ixx ).(1(61)(! 31sin12242xOxxOxxx : 2的收斂性的收斂性再討論再討論 I, , 1|sin| 由二項(xiàng)式展開得由二項(xiàng)式展開得 xx).1(sin1sin12xOxxxx ,所以所以).1(sin1sin12xOxxxx 因?yàn)榉e分因?yàn)榉e分 1 ,sin條件收斂條件收斂dxxx 12 , )1(絕對收斂絕對收斂dxxO

18、. 2條件收斂條件收斂所以所以 I.210 時(shí)條件收斂時(shí)條件收斂當(dāng)當(dāng)故故 I.arctan0的收斂性的收斂性討論積分討論積分 dxxxp 原積分原積分110arctanarctandxxxdxxxpp,)0(1arctan1可知可知由由 xxxxpp時(shí)時(shí)第第一一項(xiàng)項(xiàng)積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)2 p可可知知，由由)(2arctan xxxxpp .1時(shí)時(shí)第第二二項(xiàng)項(xiàng)積積分分收收斂斂當(dāng)當(dāng) p.21發(fā)散發(fā)散時(shí)積分收斂，其他情況時(shí)積分收斂，其他情況所以當(dāng)所以當(dāng) p例例1 12 2解：解：.cos 0sin的斂散性的斂散性討論積分討論積分 dxxxepx 原積分原積分1sin10sincoscosdxxxedxxxepxpx可知，可知，由由)0(1cossin xxxxeppx時(shí)第一項(xiàng)積分收