平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2，其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)

2、，其中b0，a、b共線x1y2x2y10.選擇題：設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么()A若實(shí)數(shù)1，2使1e12e20，則120B空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù))C對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)D對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無(wú)數(shù)對(duì)下列各組向量中，可以作為基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2) Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2解析兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，故選B.已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab等于()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1

3、,2)解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()Aab B.ab Cab Dab解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則等于()A. B. C1 D2解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c等于()A. B. C. D.解析由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)，c.已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A B. C. D.解析(4k，7)

4、，(2k，2)，A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2×(4k)7×(2k)，解得k已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量A同方向的單位向量為()A. B. C. D.解析AOO(4，1)(1,3)(3，4)，與A同方向的單位向量為.已知點(diǎn)A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y5)，由3a，得解得已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，則“m6”是“a(ab)”的()A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析由題意得ab(2

5、,2m)，由a(ab)，得1×(2m)2×2，m6，則“m6”是“a(ab)”的充要條件，故選A已知在ABCD中，(2,8)，(3,4)，則()A(1，12) B(1,12) C(1，12) D(1,12)解析四邊形ABCD是平行四邊形，(1,12)在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs等于()A. B. C3 D0解析2，()，則rs0已知點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且2，則向量()A. B. C. D.解析如圖，2，()在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(2,7) B(6,21) C(2，7)

6、 D(6，21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則等于()A. B. C. D.解析()22，.填空題：已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b_.解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)，即m4.從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)已知向量a(x,1)，b(2，y)，若ab(1，1)，則xy_.解析(x,1)(2，y)(1，1)，解得xy3.已知向量a(1,2)，b(0,1)，設(shè)uakb，v2ab，若uv，則實(shí)數(shù)

7、k的值為()A1 B C. D1解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又uv，1×32(2k)，得k已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)解析a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)又uv，3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析(a1,3)，(3,4)，根據(jù)題意，4(a1)3×(3)，即4a5，a在ABCD中，AC為一條對(duì)角線，(2,

8、4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)解析，(1，1)，(3，5)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)解析設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)解

9、析：設(shè)k，kR.kk()k()(1k)，且m，1km，解得k，m.在ABCD中，e1，e2，則_(用e1，e2表示)解析如圖，2()e2(e2e1)e1e2如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_解析()ab若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則的值為_(kāi)解析(a2，2)，(2，b2)，則(a2)(b2)40，即ab2a2b0，.設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值為_(kāi)解析由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，(2ab)()(3)(32)(當(dāng)且僅當(dāng)b

10、a時(shí)，等號(hào)成立)已知A(7,1)，B(1,4)，直線yax與線段AB交于點(diǎn)C，且2，則實(shí)數(shù)a_.解析設(shè)C(x，y)，則(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直線yax上，3a·3，a2.已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_解析若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k1)2k0，解得k1.設(shè)0，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，則tan_.解析ab，sin2×1cos20，2sinc

11、oscos20，0，cos0，2sincos，tan解答題：已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解析(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充

12、要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，與共線，又有公共點(diǎn)A，A，B，M三點(diǎn)共線能力提升題組已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于()A2 B2 C D.解析由題意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，已知|1，|，·0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)mn(m，nR)，則的值為()A2 B. C3 D4解析·0，以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，(1,0)，(0，)，

13、mn(m，n)tan 30°，m3n，即3如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且B2P，則()Ax，y Bx，y Cx，y Dx，y解析由題意知OOB，又B2P，OOBO(OO)OO，x，y.已知點(diǎn)A(1,2)，B(2,8)，則的坐標(biāo)為_(kāi)解析設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)由題意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，有和解得和點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，從而(2，4)已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos，sin)(R)，實(shí)數(shù)m，n滿足manbc，則(m3)2n2的最大值為_(kāi)解析由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故點(diǎn)M(m，n)在單位圓上，則點(diǎn)P(3,0)到點(diǎn)M的距離的最大值為|OP|1314，故(m3)2n2的最大值為4216