向量法求空間角、距離和二面角

1、向量法求空間角、距離和二面角 1.1. 向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即 其幾何意義是的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積. 其坐標(biāo)運(yùn)算是： 若，則； ；1.2. 異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），則 （例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第（2）問(wèn)）1.3. 異面直線的距離分別在直線上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個(gè)定點(diǎn)，則異面直線的距離等于在上的射影長(zhǎng)，即.證明：設(shè)為公垂線段，?。ㄈ鐖D1所示），則圖2設(shè)直線所成的角為，顯然1.4. 直線與平面所成的角在上取定，求

2、平面的法向量（如圖2所示），再求，則為所求的角. 圖3甲1.5 二面角方法一：構(gòu)造二面角的兩個(gè)半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則 若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角，即（例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第（1）問(wèn)）. 若二面角是“銳角型”的如圖3乙所示圖3乙，那么其大小等于兩法向量的夾角，即（例如2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷第18題第（1）問(wèn)）.圖4方法二：在二面角的棱上確定兩個(gè)點(diǎn)，過(guò)分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量（如圖4所示），則二面角的大小等于向量的夾角，即 1.6. 平面外一點(diǎn)到平面的距離圖5先求出平面的法向量，在平面內(nèi)任取一定點(diǎn)，則點(diǎn)到平

3、面的距離等于在上的射影長(zhǎng)，即.（例如2004年廣州一模第18題第（）問(wèn)）.17 法向量 2.1. 基向量法由于空間中任何向量均可由不共面的三個(gè)基向量來(lái)線性表示，因此在解題時(shí)往往根據(jù)問(wèn)題條件首先選擇適當(dāng)?shù)幕蛄?，把有關(guān)線段根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則與基向量聯(lián)系起來(lái). 再通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到計(jì)算或證明的目的. 一般情況下，選擇共點(diǎn)且不共面的三個(gè)已知向量作為基向量.例 1 如圖6，已知正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn).圖6（1）在直線上求一點(diǎn)，使；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.（3）求出與側(cè)面所成的角.分析1 （1）的 問(wèn)題顯然是求使異面直線與所成的角為直角的點(diǎn).依據(jù)向量數(shù)量積的概念

4、，必須由條件，求出的長(zhǎng)度，而與都不是已知向量，且和沒(méi)有直接聯(lián)系，因此必須選擇一組基向量來(lái)表示與.（1）解法一：取共點(diǎn)于的三個(gè)不共面的已知向量為基向量， 分析2 本小題還可以取共點(diǎn)于的三個(gè)不共面的已知向量為基向量，從而得（1）解法二： 比較方法一與方法二，方法一比方法二運(yùn)算簡(jiǎn)便. 因?yàn)橛梅椒ㄒ贿x擇的一組基向量表示時(shí)式子較為簡(jiǎn)單. 這告訴我們可選擇的基向量并不唯一，我們應(yīng)選擇使得運(yùn)算簡(jiǎn)便的那一組向量作為基向量. 當(dāng)幾何體中能夠找到（或構(gòu)造出）三個(gè)共點(diǎn)且兩兩垂直的基向量時(shí)，我們就可以用下面的方法解決問(wèn)題.2.2. 坐標(biāo)法所謂坐標(biāo)法，就是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建立的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向

5、量用坐標(biāo)來(lái)表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的運(yùn)算，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.圖7運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)，也必須首先找出三個(gè)基向量，并且這三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?由此建立空間直角坐標(biāo)系. 因而坐標(biāo)法是基向量法的特殊情形，但坐標(biāo)法用于求長(zhǎng)度、角度或解決垂直問(wèn)題時(shí)，比較簡(jiǎn)單.在坐標(biāo)法下，例1幾何體中容易找到共點(diǎn)不共面且互相垂直的三個(gè)向量，于是有如下解法：（1）解法三：以分別為軸、軸，垂直于的為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有.于是由上面的解法三可知，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，找出了相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而把幾何圖形的性質(zhì)代數(shù)化，通過(guò)向量的計(jì)算解決問(wèn)題，顯得快捷簡(jiǎn)便.在空間直角坐標(biāo)系下，例1的第（2）、（3）問(wèn)便迎刃而解了. 下面

6、給出解答.(2)解：當(dāng)時(shí)，由（1）解法三知， 、，則，設(shè)向量與平面垂直，則有取向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，設(shè)為，于是 （3）根據(jù)上面“1.4. 直線與平面所成的角”中所提到的方法，須求出平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而求與所在直線的夾角。設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有取，則故與側(cè)面所成的角為：.本題的解題過(guò)程告訴我們，用坐標(biāo)法求空間角與距離，就是用空間向量將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，一般來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)方體、正方體中較為容易建立坐標(biāo)系圖8高考對(duì)空間向量的考查是以立體幾何為載體，利用空間向量求有向線段的長(zhǎng)度，求兩條有向線段的夾角（或其余

7、弦、正弦、正切），二面角、點(diǎn)到平面的距離、異面直線的距離、證明線線、線面、面面垂直等.下面是今年廣東高考數(shù)學(xué)及廣州一模，體現(xiàn)了高考對(duì)空間向量的考查要求.例2（2004年全國(guó)普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)廣東卷第18題）如右圖8,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.解題分析：本題主要考查了二面角、異面直線所成的角等知識(shí)和空間想象能力、思維能力、運(yùn)算能力.高考試卷給出的參考答案分別用了傳統(tǒng)方法及向量法. 在傳統(tǒng)解法中，

8、運(yùn)用三垂線定理作出二面角的平面角并正明，通過(guò)延長(zhǎng)和平移線段作出異面直線所成的角,進(jìn)而通過(guò)解直角三角形和斜三角形解決問(wèn)題. 在用向量法的解答上，選擇為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別為軸，軸, 軸的正向，這不是右手直角坐標(biāo)系，雖然與右手直角坐標(biāo)系沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別，但教科書(shū)中所建立及提倡的是右手直角坐標(biāo)系，所以考生習(xí)慣用右手直角坐標(biāo)系. 用向量法解決第（1）問(wèn)時(shí)只是用了本文所提到的“1.5 二面角”之“方法一”. 下面本人以自己的習(xí)慣，通過(guò)建立右手直角坐標(biāo)系來(lái)解答，并用本文所提到的“1.5 二面角”之“方法二”補(bǔ)充第（）問(wèn)的解法二.解：（I）解法一：以為原點(diǎn)，分別為軸，軸, 軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，

9、則有,于是，,設(shè)向量與平面垂直，則有 其中 取，則是一個(gè)與平面垂直的向量， 向量與平面垂直， 與所成的角為二面角的平面角 （）解法二：令點(diǎn)在上，且，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則再令點(diǎn)在上，且，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 （II）設(shè)與所成角為，則因?yàn)楸绢}的已知條件和結(jié)論具有一定的解題方向性，它明確告訴我們用向量的方法解決問(wèn)題. 在高考結(jié)束后，本人詢(xún)問(wèn)了自己所任教班級(jí)的部分學(xué)生，他們大多數(shù)能用向量法解這道題. 如果不用向量法，對(duì)于中等（或以下）水平的學(xué)生，他們連二面角的平面角或異面直線所成的角都作不出來(lái). 可見(jiàn)，用空間向量處理立體幾何中的角與距離問(wèn)題，可以降低立體幾何的論證、推理難度，使中等（或以下）水平的學(xué)生也能很

10、好的掌握，提高得分的能力.對(duì)此問(wèn)題，我們?cè)诟呖紓淇忌暇陀幸庾R(shí)地引導(dǎo)學(xué)生英德市在三月份組織了一次全市統(tǒng)考，采用2004年廣州一模試卷，下面的例是其中一道考題圖9例3（2004年廣州一模第18題）如圖，在正四棱柱中，已知，、分別為、上的點(diǎn)，且（）求證：平面；（）求點(diǎn)到平面的距離.分析：題中幾何體易找到共點(diǎn)且相互垂直的三個(gè)基向量，故可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)達(dá)到解題目的但實(shí)際情況是仍有相當(dāng)部分學(xué)生的思維還停留在傳統(tǒng)的幾何法上而未能解出第（）問(wèn)解：()以為原點(diǎn)，以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則于是且 平面 （）由()知，為平面的一個(gè)法向量，向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，設(shè)為，于是故

11、點(diǎn)到平面的距離為考后對(duì)學(xué)生評(píng)講本題的過(guò)程中，為了讓他們體會(huì)用向量法解題的優(yōu)越性，我首先用傳統(tǒng)的幾何法，再用向量法來(lái)解通過(guò)師生的交流及正確的導(dǎo)向，同學(xué)們更好地掌握了用向量法求空間角與距離的一般方法。以上例2、例3中的幾何體為長(zhǎng)方體，較為容易建立坐標(biāo)系。如果題中幾何體不是長(zhǎng)方體或正方體，則考察幾何體中的線線垂直、線面垂直及面面垂直關(guān)系. 如： 例4 （2004高考福建數(shù)學(xué)卷19）在三棱椎中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，為的中點(diǎn).（1） 求證 ；圖10（2）求二面角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離. 分析: 如圖10，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系即可得出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（解略）圖11 例把正方形沿對(duì)角線折起成直二面角，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是原正方形的中心，求（）的長(zhǎng)；（）折起后的吧大小分析：如圖11，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為即可得出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（解略） 練習(xí)題1. 如圖,在長(zhǎng)方體中,E為CD中點(diǎn).()求證:;()在棱上是否存在一點(diǎn)P,使得平面若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.()若二面角的大小為,求AB的長(zhǎng).2.如圖，在四棱錐中，平面平面，。（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值