專題二----四點(diǎn)共圓的應(yīng)用

1、專題二-四點(diǎn)共圓的應(yīng)用 【知識(shí)點(diǎn)】1、 如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，簡(jiǎn)稱“四點(diǎn)共圓”；2、 性質(zhì)：共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等； 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； 圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；3、 判定：若兩個(gè)直角三角形共斜邊，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑； 共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓； 對(duì)于凸四邊形ABCD，若對(duì)角互補(bǔ)，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓； 相交弦定理的逆定理：對(duì)于凸四邊形ABCD，其對(duì)角線AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓； 割線定理的

2、逆定理：對(duì)于凸四邊形ABCD，兩邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若PB·PA=PC·PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓；4、 四點(diǎn)共圓的妙用：巧用四點(diǎn)共圓可以幫助我們?cè)诮忸}過(guò)程中快速地求角等、邊等、相似、邊長(zhǎng)、最值等問(wèn)題?！纠?】如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰ACD和BCE，CA=CD，CB=CE，且ACD=BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連接CP。求證：APC=BPC【變式1】如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGAE交BC于點(diǎn)G，

3、求證：AFG為等腰直角三角形?！纠?】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CD于點(diǎn)P， 交邊CD于點(diǎn)F；求證：AE=EP 【變式2】如圖，在RtABC和在RtDBC中，BAC=BDC=90°，點(diǎn)O、M分別為BC、AD的中點(diǎn)， 求證：OMAD【例3】如圖，ABC和EFG均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M，當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EM長(zhǎng)的最大值是 ；【變式3】如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，O為AC的中點(diǎn)， 過(guò)O作OEOF，OE、OF分別交射線AB、B

4、C于 E、F，則EF的最小值為 【例4】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過(guò)點(diǎn)C作CFBE，垂足為點(diǎn)F,連接OF，則OF的長(zhǎng)為 【變式4】如圖，正方形ABCD的中心為O點(diǎn)，面積為25；點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且OPB=45°，PA：PB=3:4，則PB= 【檢測(cè)練習(xí)】1、如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是2、如圖，在ABC中，ACB=65°，BDAC于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)E，則AED= ，CED= 。3、如圖，C為半圓O上一點(diǎn)，AB為直徑，且AB=2a，COA=60°，延長(zhǎng)CP交半圓于點(diǎn)D，過(guò)P點(diǎn)作AP的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則PH的長(zhǎng)度為 5、 如圖，以RtABC的斜邊BC為一邊在ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為點(diǎn)O，連接AO， 如果AB=4，AO=，則AC的長(zhǎng)為 6、 已知ABC為等腰直角三角形，C為直角，延長(zhǎng)CA到D，以AD為直徑作圓，連接BD與O交于點(diǎn)E， 連接CE，CE的延長(zhǎng)線交O于另一點(diǎn)F，則BD：CF= 7、如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB=5，PD=3，