2018高考——空間向量與立體幾何(理科)

1、實(shí)用文檔第14講空間向量與立體幾何知識(shí)要點(diǎn).空間向量1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 .同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2 .空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。文案大全OB OA AB a b； BA OA OB a b；運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：（a b） ca (b c)數(shù)乘分配律：（a b） a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向

2、量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作a b。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量 a、b （bw0）, a/b存在實(shí)數(shù)入，使a=X（3）三點(diǎn)共線：a、b、C三點(diǎn)共線<=> AB AC<=> OC xOA yOB (其中 x y 1)a（4）與a共線的單位向量為:a4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。 說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。r r ，一 i，一 r r , (2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y使xa yb。(3)四點(diǎn)共面：若a、b、c、p四點(diǎn)共面<=> A

3、P xAB yAC1) rp ,存在一個(gè)唯一的有序<=> OP xOA5 .空間向量基本定理：如果三個(gè)向量yOB zOC(其中 x y z r r ra,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量r r實(shí)數(shù)組x, y, z,使p xayb zC。r ! ra,b,c叫做基向量，空間任意r r rrr J r,若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底,三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,A, B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P ,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x, y, z,使 OP xOA yOB zOC。6 .空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系

4、中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) a ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z),O xyz中的坐標(biāo)，記作OA xi yi zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(x, y,z) , x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A (x,y,z)關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/ 平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)r r r(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為 1,這個(gè)基底叫單位正交基底，用i,

5、j, k表示?？臻g中任一向量a xi(3)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：rr若 a (4,a2,a3), b-*yj zk =(x,y,z)r r(n,b2,b3)，則 a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3),t-rra b (a "也 b?© b3)， a ( &, a?，a3)(R)，r ra b 31n a2b2 a3b3， r ra/ba1n,a2b2,a34( R),r ra b31bl a2b2 a3b3 0。若 A(Xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2),則 AB (X2 x1，y2 yz z1)。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量

6、的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若 A(x1, y1,z1), B(x2, y2,z2), ap pb,則點(diǎn)p坐標(biāo)為xi yiy2 z1z2(,)。推導(dǎo)：設(shè) P (x,y,z)則111(x %y y,z z)(x2 x,y2 y,z2 z),顯然，當(dāng) p為ab 中點(diǎn)時(shí),(X x2 yi y2i 2 ， 2ziz2 2P(ABC中，A (xi，yi，zi) ,B(x2, yzzJCas，丫3,4),三角形重心 p坐標(biāo)為xix2x3 yiy2y3 4 z?z.z32A ABC的五心：內(nèi)心p：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn):AB AC、AP (|=i尸=)(單位向量)ABAC外心P

7、：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn):|pa |pb| |pc|垂心p：高的交點(diǎn)：PA PB PA PC PB PC (移項(xiàng)，內(nèi)積為o,則垂直)重心p：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)I :AP (AB AC)334也),中心：正三角形的所有心的合一。rr(4)模長(zhǎng)公式：若 a (ai,a2,a3), br則|a |,、- r r(5)夾角公式：cosa b22a2a?r r a b222bib2b 3Al |b|.aaibi32b22222a2a3 . b)33b3：2272b2b3A ABC 中 AB ? AC0 <=>A為銳角 AB ? AC0 <=>A為鈍角，鈍角A(6

8、)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x1, y1, z1), B(x2,y2,z2),uuuuaurr222則 |AB| VAB7(X2 %)2 (y2 y1)2 & 4)2 ,或 dA,B d Xi)2(y2%)2S 4)27 .空間向量的數(shù)量積。r T(1)空間向量的夾角及其表不：已知兩非零向量a,b ,在空間任取一點(diǎn) O,作OA a,OB b,a,br rr Jcaob叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定0a,br rr rr rb, a ；若 a,b ,則稱a與b互相垂直，記作:2(2)向量的模：設(shè)oAuuua,則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作:1a |。曰心心曰

9、.曰r r1 ccc(3)向量的數(shù)量積：已知向量a,b ,則| a | | b | cosa,br r ,口叫做a,b的數(shù)量積,r r r r即 a b |a| |b| cos a,b(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：r r r r a e | a | cos a, er r。a b(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrr(a)b(ab)rr rrr a(b c)abrra ( b)。 ar ra c (分配律)。rJ-r2ab0。 | a|rrrbba (交換律)。r r a a。不滿足乘法結(jié)合率：(a b)c a(b c).空間向量與立體幾何1 .線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量

10、與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2 .線線垂直(共面與異面)兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3 .線線夾角(共面與異面)0°,90°兩線的方向向量coscos n1,n23-1線面夾角0°,90°：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角ap與面的法向量n的夾角，若為.sin cos AP, n3-2面面夾角（二面角）0°,180°：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量n1,n2的»If夾角；法向量同進(jìn)

11、同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.cos cos n1,n2uuu面的法向量n ;. hPQ ? nn4 .點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P x0, y0到平面 的距離：在平面 上取一點(diǎn)Q x, y ,得向量PQ .計(jì)算平 ;4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離選擇題隨堂演練1 . U010浙江）如圖,已知正四直體D-ABC （所有棱長(zhǎng)均相等的三棱雄），人Q,我分別為AB、C*上的點(diǎn)，AP=PE,桀=客=2,分別記二面角D-PR Lf C jfLd-Q； D-PQ-R, D-QR-P的平面角為g0、力則（）3. 7<a<P2.(二01八清城區(qū)

12、校級(jí)一模)已知向量；=3 f m-1) >己=(2> mf -m),且聯(lián)“。則實(shí)數(shù)m 的值等于<)33TA . B - -2C r 0D . -b23 -甘露二模)已知 Z= (=3 , 2, 5) ,< 1 > 乂 >-1),且二亞=2,則 k 的值是 ()A. 6B- 5C T 4D.34,(2017陽(yáng)山縣校級(jí)一模)已知A (2 . -5, 1) B(2, -2, 4) , C (1, 4 1 ) ,則向量五與就 的夾角為()A . 30°B . 4S°C . 60。D，90°5. C。成安縣校級(jí)模始已知三桂柱ABUABa的

13、側(cè)桂與底面垂直,體積為'底面的邊長(zhǎng)都為5，若P為底面AiBiCi的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()6. (2017上饒縣模擬)若一條直線與一個(gè)平面成72口角，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成角中最大角等于()A. 72°B . 90°C . 10SDD. ISO07. (2016秋馬鞍山期末)空間四邊形4BCD中，若向置藐=(凸，5, 2) ,A. 3, 3)B . < -2, -3, -3)CD=7,點(diǎn)Ej F分別為線段日C, AD的中點(diǎn)，則諄的坐標(biāo)為(8. (2017南開(kāi)區(qū)模擬)已知長(zhǎng)方體ABCD-ABtCiDi中,AB=BC=4, CC

14、i=2,則亶旅BC和平面DBB iD確成角的正弦值為()A. £B，W5 理D.叵225109. <201，婁底二模)過(guò)正方體ABCD-A田KiEh的頂點(diǎn)A作平面*使棱AB , ADAA1所在直線與平 面a所成角都相等，則這樣的平面值可以作()A. 1個(gè)B . 2個(gè)C . 3個(gè)口 . 4個(gè)10. （201?江西二模）三棱柱ABOAiBiCi的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1, AB1AC, N是BC的 中點(diǎn)：點(diǎn)P在上，目滿足訪，直線PN與平面ABC所成:的正切值取最大值時(shí)Z的值為（D.二填空題1 .（2017新課標(biāo)HI） a, b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形

15、ABC的直角邊AC所在直線 與a, b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論；當(dāng)直線AB與a成60亡角時(shí)，AB與成3爐武當(dāng)直線AB與a成60匚角時(shí), AB與b成50;角；直線AH與a所成角的最小值為45%直線AB與a所成角的最小值為6QI箕中正確的是,填寫所有正確若論的編號(hào)）2 .（2。17仁壽昌校級(jí)三模）已知A, B, C三點(diǎn)都在體積為竽的球。的表面上，若AB=4, ZACB=3 0%則球心口到平面ABC的距離為.3 .2口 I八晉中一模）設(shè)二面角*CD邛的大4為45 口，A點(diǎn)在平面口內(nèi)JB點(diǎn)在CD二j且/ABC=45 口，則 AB與平面p所成角的大小為.4 . （2。17湖南一

16、模）已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在球Q的球面上,球。的體積為上二 上巫，則口A與平面ABCD所成的用的余型值為35 . （2017 徐匯區(qū)校級(jí)模擬）在正三棱柱 ABC A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，M是BBi的中點(diǎn)，則BC與平面AC1M所成角的正弦值是 .三.解答題1. 301天津）如圖，在四棱錐P-ABCD卬，AD1平面PDC, A D#BC, PD1PB, .AD=11 BC=3j 匚D=4, PD=2 .（I）求異面直線AP與BC所成角的余弦情（n）求證：PD，平面PBCg（in）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.2. （2017浙江）如圖，已知四棱錐P-ABCD, PAD

17、是以AD為斜邊的等腱 直用三角形,BC /AD, CD1AD, PC=AD=1DC=2CB , E為PD的中點(diǎn)，（I）證明：CE"平面PAB拿CH）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.3. . （2017北京如圖，在四榛錐P-AECD中，底面ABCD為 正方形，平面PAD，平面ABCD,點(diǎn)M在線段P3上，PDM平面 MAC , P A=PD=B AR=4.Cl）求證：M為PB的中點(diǎn)<2）求二面角B-PD-A的大?。?）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.4. (2017新課標(biāo)口如圖，四嚎錐P-ABC口中，惻面PAD為等邊三角形且垂直于底面3BCD, AB=BC-AD； ZBAD-ZABC=90°, E是PD 的中點(diǎn) 2(I )證明：直線CE”平面PABj12)點(diǎn)M在棱PC上，且直線EM與底面ABCU所成角為4y ,求一面角hl-AB-D的余弦也.5. 匕016