雞兔同籠 (3)

1、數(shù)學(xué)“雞兔同籠”教學(xué)設(shè)計(jì) 雞兔同籠預(yù)設(shè)目標(biāo)：1、感受經(jīng)典古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性，體會(huì)“雞兔同籠”問(wèn)題在生活中的廣泛應(yīng)用。2、通過(guò)自主探究、合作交流，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)代數(shù)方法的一般性，初步形成解決此類問(wèn)題的一般性策略，同時(shí)滲透化繁為簡(jiǎn)的思想。3、使學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中培養(yǎng)他們的合作意識(shí)和邏輯推理能力。教學(xué)重難點(diǎn)：嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。教學(xué)準(zhǔn)備：課件，兒歌。教學(xué)流程：激趣引題師：雞和兔大家熟悉嗎？誰(shuí)能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和老師描述一下他們各自的特點(diǎn)？（雞有一個(gè)頭兩條腿，兔子有一個(gè)頭四只腿）如果把雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，現(xiàn)在老師告訴你雞和兔的只數(shù)，你能告訴我他

2、們有多少條腿嗎？（能）（接兒歌）現(xiàn)在有5只雞，3只兔一共有多少只腳？（點(diǎn)擊課件）你是怎么算出來(lái)的？這是一伙頑皮的雞兔，兔子看到雞走路特別有意思，也想學(xué)雞走路，實(shí)際兔子有幾條腿，可怎么學(xué)呢？你說(shuō)說(shuō)（ ）于是兔大哥一聲令下：全體兔子立正！這時(shí)候，兔子的退就可以看成是幾條了？雞是幾條呢？這時(shí)候，我們可以把籠子里的動(dòng)物都看成雞?，F(xiàn)在籠子就變成8只雞了，這時(shí)候，地上有多少條腿？（16條）實(shí)際是多少條（26條）與實(shí)際相比，這個(gè)腿發(fā)生了什么變化？（少了10條）為什么會(huì)少了10條？（每只兔少了兩條腿）少了10，其實(shí)是睡的退？（點(diǎn)擊課件）這同實(shí)際的腳數(shù)相比怎樣？如果有1只兔子在學(xué)雞走路，那么地上就少了幾只腳？有

3、9只兔子在學(xué)雞呢？現(xiàn)在地上少了6只腳，那是幾只兔子在學(xué)雞走路呀？怎么算出來(lái)的？等兔子學(xué)完雞走路，淘氣的雞也紛紛學(xué)起兔子走路，誰(shuí)知道它們是怎么學(xué)的？這時(shí)候，這時(shí)籠子里有8只兔子了，（點(diǎn)擊課件）腳共有多少只？（點(diǎn)擊課件）這與實(shí)際的腳數(shù)相比又有什么變化？如果有一只雞學(xué)兔子走路，地上就會(huì)多兩只腳，現(xiàn)在一共多10只腳，那是幾只雞在學(xué)兔走路？怎么算？師：如果把雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，告訴雞兔的總只數(shù)和它們的總腳數(shù)，要求雞兔分別有多少只，這就是著名的數(shù)學(xué)趣題“雞兔同籠”讀一遍課題，問(wèn)題（板書課題），它最早記載在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中，到現(xiàn)在人們對(duì)這一問(wèn)題的研究已經(jīng)有1500年了。我們這節(jié)課也來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題

4、。探究新知1、（點(diǎn)擊課件，出示例1）理解題意，點(diǎn)名讀題師：這里就有一道“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)題，請(qǐng)一位同學(xué)清晰、響亮地把題目讀一遍。題目是什么意思？其他同學(xué)有什么補(bǔ)充？這道題告訴我們什么條件？點(diǎn)名什么問(wèn)題？2、大膽猜測(cè)師：牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：沒(méi)有大膽的猜測(cè)就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)。根據(jù)“雞、兔共8只”這一信息，請(qǐng)你猜一猜可能有幾只雞幾只兔？（多讓學(xué)生猜測(cè)）我也猜猜：雞有2只，兔有7只，對(duì)嗎？為什么？剛才同學(xué)們就能抓住這個(gè)本質(zhì)進(jìn)行猜測(cè)，只是你們的猜測(cè)有些零亂，黃老師將你們的猜測(cè)稍加整理（師點(diǎn)擊課件）。在這些猜測(cè)中只有一種猜測(cè)是正確的，你們能把它找出來(lái)嗎？請(qǐng)找出它來(lái)，并將你驗(yàn)證的過(guò)程記錄在課本P113頁(yè)的表格中。

5、（始終圍繞著雞和兔一共有8只）集體訂正：你們發(fā)現(xiàn)有幾只雞，幾只兔？你們是怎樣找到正確結(jié)果？預(yù)設(shè)：A、逐一驗(yàn)證。假如有8只雞，0只兔（點(diǎn)擊課件）共有16只腳，（點(diǎn)擊課件）比實(shí)際腳數(shù)少，與題意不符，這個(gè)假設(shè)不成立。假如有7只雞，1只兔，共18只腳，（點(diǎn)擊課件）這個(gè)假設(shè)也不成立。這樣依次驗(yàn)證，直到找出正確結(jié)果。B、可以從中間找起，如果雞、兔各有4只，則腳共有24只，比實(shí)際腳數(shù)少，應(yīng)增加兔的只數(shù)。（師：兔的只數(shù)增加了，那雞的只數(shù)不就減少了嗎？）而腳的只數(shù)卻在增加。（怎么增加的？）兔增加一只，雞減少一只，腳數(shù)卻增加2只，所以要增加兔的只數(shù)。C、跳躍找，先猜雞有8只，兔有0只，腳共有16只，不符合實(shí)際腳數(shù)

6、；再猜雞有5只，兔有3只，腳共有22只，也不符合實(shí)際腳數(shù)。再猜，直到猜出正確答案，但盡量減少找不符合題意的猜測(cè)次數(shù)。3、嘗試其它解法師：剛才我們先將可能出現(xiàn)的情況一一列舉，通過(guò)排除，最后找到正確答案，這種方法我們稱為列舉法（板書：列舉法）。接下來(lái)，同學(xué)們積極開(kāi)動(dòng)腦筋，看看還有什么解決方法，看誰(shuí)的方法最新最棒！解答后可以與同桌交流交流自己的想法。（學(xué)生嘗試解決，教師組間巡視指導(dǎo)。）4、反饋交流（師根據(jù)巡視情況，選擇幾種有代表性的解法展示在視頻臺(tái)上，并請(qǐng)作者介紹想法。）大家想，如果籠子里面的雞和兔有很多很多的時(shí)候，我們?cè)谟昧斜矸?，這樣方便么？有的同學(xué)搖頭了，那么同學(xué)們想一想，這個(gè)時(shí)候，有沒(méi)有別的好

7、的想法呢？預(yù)設(shè)：A、（26-82）（4-2）=5（只）兔8-5=3（只）雞答：雞有3只，兔有5只。（假設(shè)全是雞就有16只腳，而實(shí)際卻有26只腳，還少10只腳，每只兔學(xué)雞走路地上就會(huì)少2只腳），現(xiàn)在共少了10只腳，那是幾只兔子在學(xué)雞走路？（算式102=5就算出兔的只數(shù)。）師：由這種解決方法，你聯(lián)想到什么？預(yù)設(shè)：還可以假設(shè)全是兔子。師：這種解答（指B解答方法）是這么想的嗎？請(qǐng)作者介紹思路。B、（84-26）（4-2）=3（只）雞8-3=5（只）兔答：雞有3只，兔有5只。（假設(shè)全是兔就有32只腳，這比實(shí)際多了6只腳。因?yàn)橐恢浑u算成一只兔就多2只腳，一共多6只腳，說(shuō)明有3只雞被算成了兔子，算式是62=

8、3。）師：我們也可以想像成雞學(xué)兔走路，因?yàn)橐恢浑u學(xué)兔走路就多了2只腳，一共多了6只腳是幾只雞在學(xué)兔子走路？C、解：設(shè)雞有X只，則兔有（8-X）只。2X+4（8-X）=2632-2X=26X=38-X=5答：雞有3只，兔有5只。（2X代表雞的腳數(shù)，4（8-X）代表的是兔的腳數(shù)，加起來(lái)就是26只腳）師：受這一解答方法的啟發(fā)，你又想到什么？D、解：設(shè)兔有X只，則雞有（8-X）只。4X+2（8-X）=2616+2X=26X=58-X=3答：雞有3只，兔有5只。（4X代表兔的腳數(shù)，2（8-X）代表雞的腳數(shù)，加起來(lái)一共是26只腳。）師小結(jié)：在這些解法中，有兩種是用我們十分熟悉的方程的方法來(lái)解答的，我們稱為

9、“方程法”；另兩種是用假設(shè)的方法解答的，我們稱為“假設(shè)法”，（板書：假設(shè)法、方程法）?？删褪沁@樣復(fù)雜的“雞兔同籠”問(wèn)題，二、三年級(jí)的同學(xué)也會(huì)解答，而且他們的方法簡(jiǎn)單易懂，想不想知道？這就是畫圖，為了簡(jiǎn)單明了，他們用小圓圈代表小動(dòng)物的頭，用線段代表小動(dòng)物的腳，有幾只腳就畫幾條線段（師在黑板上示范畫法），你們也試著用畫圖的方法做這一題。E、先畫8個(gè)小圓圈代表8只小動(dòng)物，假設(shè)全是雞，每只雞有兩只腳，這樣先畫了16只腳，而題中卻有26只腳，還少10只腳，我們給每只雞分別安上2只腳讓它變成兔，這樣一共將5只雞“改裝”成了兔。先畫8個(gè)小圓圈代表8只小動(dòng)物，假設(shè)全是兔，每只兔有4只腳，就畫了32只腳，而實(shí)際

10、只有26腳，多出6只腳，我們砍掉兔子的2只前腳讓它變成雞，這樣就將3只兔“改裝”成雞了。師：如果也給這種方法命名，你覺(jué)得叫什么合適？（板書：作圖法）沒(méi)想到這么直觀的方法被我們忽略了，其實(shí)有時(shí)解題不僅僅依靠計(jì)算！5、選擇方法師：比較這些方法，你更喜歡哪種？說(shuō)說(shuō)理由。師根據(jù)生答：不同解法各有特點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)所需靈活選用。6、了解歷史師：關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題，孫子算經(jīng)給出了一種很有意思的計(jì)算方法（點(diǎn)擊課件出示：腳數(shù)2-頭數(shù)=兔數(shù)，頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)）。你們用這一方法口算這道題，看看結(jié)果同剛才得出的是否一致？262-8=5（只）兔 8-5=3（只）雞師：如此奇妙的算法是怎么回事呢？誰(shuí)能解釋一下？預(yù)設(shè)：如果讓雞抬

11、起一只腳，使它們“金雞獨(dú)立”，兔也抬起2只前腳，直立行走，此時(shí)地上的總腳數(shù)同原腳數(shù)相比發(fā)生什么變化？（減少到什么程度？）這時(shí)每只雞一只腳，每只兔子兩只腳，籠子里只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1，所以只要用總腳數(shù)減去雞兔總只數(shù)就得到兔的只數(shù)。由于這一解法也是用假設(shè)的思維獲得的，因此它也屬于假設(shè)法。師：這的確是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)題，不僅中國(guó)人對(duì)它興趣濃厚，外國(guó)人也有深入研究，日本人把這類問(wèn)題叫“龜鶴問(wèn)題”。日本人說(shuō)的“龜鶴問(wèn)題”同咱們說(shuō)的“雞兔同籠”問(wèn)題有聯(lián)系嗎？預(yù)設(shè)：意思相同，龜相當(dāng)于兔，都是四只腳；鶴相當(dāng)于雞，都是2只腳。師：既然“雞兔同籠”問(wèn)題也可以叫“龜鶴問(wèn)題”，那還可以叫什么？（根

12、據(jù)生答評(píng)價(jià)）也就是說(shuō)這里的雞不僅代表雞，可以是所有兩只腳的動(dòng)物，而兔是指所有四只腳的動(dòng)物，（給雞兔加上引號(hào)）“雞兔同籠”問(wèn)題代表的是這類問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)。 跟蹤練習(xí)1、民謠師：我們來(lái)看一則民謠（點(diǎn)擊課件出示：一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。），齊讀。 師：讀了這則民謠，你想說(shuō)什么？預(yù)設(shè)：這也是雞兔同籠問(wèn)題，這里的獵人有兩只腳可以看成雞，而狗也可以看成兔）。師：點(diǎn)擊課件出示：獵人雞 兩只腳狗兔 四只腳師：你能算出獵人和狗各有多少嗎？用自己喜歡的方法算一算。誰(shuí)愿意算給大家看？學(xué)生計(jì)算，教師組間巡視。師：你們到底算得對(duì)不對(duì)呢？我們可以把結(jié)果帶入原題中去檢驗(yàn)。2、游戲師：

13、學(xué)到這，也許有人會(huì)說(shuō)，誰(shuí)會(huì)將雞和兔放在一個(gè)籠子里？即使放在一個(gè)籠子里要數(shù)它們的只數(shù)，只要數(shù)頭就行了，數(shù)腳干什么？那是不是意味著 “雞兔同籠”問(wèn)題與我們生活無(wú)關(guān)呢？這樣，我們先做一個(gè)“猜一猜”的小游戲。（出示信封）誰(shuí)知道我這信封里放了什么？放了5分和2分的硬幣，共6枚（板書：2分、5分、共6枚），你能猜出信封里的硬幣一共多少錢嗎？請(qǐng)你猜出錢數(shù)的大致范圍。你是怎么想的？如果信封里放了2角4分錢，你能猜出放了幾枚2分硬幣，幾枚5分硬幣嗎？（板書：2角4分，？枚？枚）學(xué)生猜或計(jì)算。師：你們的結(jié)論是幾枚2分硬幣，幾枚5分硬幣？這個(gè)游戲和我們研究的雞兔同籠問(wèn)題有聯(lián)系嗎？預(yù)設(shè)：這也是雞兔同籠問(wèn)題，二分硬幣相

14、當(dāng)于雞的2只腳，而5分硬幣相當(dāng)于兔。師追問(wèn)：不過(guò)這只兔很特別，有5只腳，是只怪兔！看來(lái)“雞兔同籠”問(wèn)題不僅包括4只腳的兔子，還可以是5只腳的怪兔，因此，今后出現(xiàn)3只腳的雞、10只腳的牛也不足為奇了。四、課堂練習(xí)1、師：我們?cè)賮?lái)認(rèn)識(shí)一個(gè)只動(dòng)物小松鼠，（點(diǎn)擊課件出示：小松鼠采蘑菇，晴天每天采20個(gè)，雨天每天采12個(gè)，7天共采蘑菇116個(gè)。這7天里晴天有多少天？雨天呢？）師：自由讀題。讀懂了嗎？同桌先交流一下對(duì)題意的理解。這還是雞兔同籠問(wèn)題嗎？你怎么理解的？（課件：怪雞有12只腳，怪兔有20只腳，怪雞、怪兔共7頭，116只腳，問(wèn)：怪雞？只，怪兔？只。）師：這道題會(huì)做嗎？不過(guò)這一題不要求解答。2、（點(diǎn)擊課件：冬天到了，楊老師帶35位同學(xué)到公園劃船，他們共租了8條船，每條船都坐滿了人，大船每條坐6人，小船每條坐4人。大、小船各租了幾條？）先讓學(xué)生嘗試解答，當(dāng)學(xué)生感覺(jué)疑惑時(shí)，再