追求對數學本質的深刻理解 (2)

1、追求對數學本質的深刻理解圓的認識教學案例與反思 【背景分析】圓的認識是小學數學教材中非常傳統(tǒng)的一個內容，許多名家將它作為典型研究課例，以不同視角作過精彩演繹。朱樂平老師巧用“臉部整圓術”教學圓的知識，利用兩課時的時間讓學生逐步感知圓的特征；潘小明老師創(chuàng)設現實中投圈是否公平這一問題情境，展開對圓的探索；張齊華老師運用數學文化的視角為圓的認識打開另一片天空。其實對于圓的認識這樣一節(jié)研究課，已經被上課者挖掘得非常徹底了，甚至于老師們欣賞圓的認識這節(jié)課也已經達到了相當高的水準了。我們知道，圓的科學定義是：在平面內，到達一個定點距離等于定長的點的軌跡叫做圓。但是很少人嘗試著從圓的本質屬性出發(fā)，教學圓的認

2、識。所以我嘗試著從圓的本質屬性出發(fā)，引領學生用“點的軌跡”的思想去感悟、體驗和理解圓的本質屬性，實現深入淺出的教學圓的認識。所以我提出了對圓的認識教學的幾點思考：1、教學圓的特征時，能否在小學階段就讓學生領悟 “圓是平面內到定點距離相等的點的集合”這一本質特征，為學生后續(xù)學習和今后有效發(fā)展鋪設奠基石？、探究圓的特征時，除了借助探究材料和有效的實踐操作，是否可以利用想象、推理有價值的數學思考方式來學習圓的特征？、圓具有深厚的文化內涵，是否可以將圓的文化融合在數學學習過程之中，實現數學知識與數學文化水乳相溶，使數學課堂顯得豐滿而圓潤？【過程描述】一、課前游戲：師：在規(guī)定的時間內看誰畫的點多。規(guī)則：

3、先在白紙上畫一個點，然后再畫一些點，要求到第一個點的距離都是3厘米。師：如果有時間給你畫，你能畫多少個點？生：可以畫無數個點。師：這些點將會成為什么圖形？生：圓形。師：我能在很短的時間內畫無數個這樣的點。你信嗎？ （老師用圓規(guī)將圖畫成圓形，板書課題：圓的認識）二、教學新課師：你能把剛才自己畫的那幅圖補充成圓形嗎？師：這是我們第一次用圓規(guī)畫圓，你覺得哪兒最容易出問題？生：圓畫到最后可能會合不攏。師：為什么會合不攏？是什么原因呢？生：圓規(guī)兩只腳忽大忽小就會這樣。師：就是說圓規(guī)兩只腳距離不能改變。還有其他情況嗎？生：也有可能針尖動了，也會畫不圓。師：針尖也不能動，看來我們要把重心放在針尖這一邊，固定

4、好兩腳尖的距離，旋轉一周后就可以得到圓形，這些都是畫圓的技巧。師：同學們，看到這個圓，讓你聯(lián)想到生活中的哪些物體？生：硬幣、月餅、鐘面生：籃球師：真是很厲害，能把平面圖型想象成立體圖形，不過老師要告訴你，球形與圓形還是有很大區(qū)別的。能說完嗎？老師也帶來了一些。瞧?。利惖膱A形圖片）就連大自然對圓也是情有獨鐘?。ㄐ蕾p美麗的光環(huán)、綻放的向日葵等）師：圓美嗎？生：美！師：難怪古希臘有位數學家說：“在一切平面圖形中，圓是最美的。”師：圓看似簡單其實一點也又不簡單！在圓里，還隱藏著許多數學知識！三、圓的各部分名稱與圓的特征師：在這個圓里，中間的這個點叫圓心，用字母O表示，你還知道哪些數學知識？生：半徑。

5、師：能上來畫一條半徑嗎？（生上來畫半徑）還有哪些知識？生：直徑。師：請你也上來畫一條，好嗎？（生上來畫直徑）師：用自己的話說一說什么是半徑？生：圓心到圓邊的線段。師：圓邊在數學上叫做圓上。那什么叫做直徑呢？生：路過圓心，兩個端點在圓上的線段叫直徑。師：這只是我們感性的認識，要想得到更科學的概念，我們還得請教書本。（自學書本第135頁找到半徑與直徑的概念，并讀一讀。）師：半徑是連接圓心到原上任意一點的線段，這“任意一點”你是怎么理解的？生：就是隨便哪一點都可以，圓上有無數個點，取一個點就可以。師：現在請你在自己的圓內標出圓心，并畫一條半徑。師：你還能畫多少條半徑（繼續(xù)畫）？畫的完嗎？生：畫不完，

6、有無數條？師：你是怎么想的？生：因為圓上有無數個點，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數條半徑。師：量一量這些半徑的長度，相等嗎？生：半徑長度都相等，都是厘米師：你量了幾條半徑？生：我量了條。師：憑什么說半徑長度都相等。生：我們可以通過測量半徑是厘米，而剛才的游戲規(guī)則就是要求每個點到到圓心的距離是厘米。生：我還可以用圓規(guī)來量（用圓規(guī)在圓上走一圈），兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等。師：掌聲還在等什么？（眾生鼓掌）師：現在我們已經研究了半徑的特征，現在可否想象一下直徑有多少條，長度都相等嗎？生：直徑也有無數條，長度都相等。師：直徑有無數條，我們可以借助半徑有無數條類比推理。那么直徑長度都相等，你

7、是怎么知道的呢？生：可以借助測量半徑的經驗，測的所有直徑的長度都是厘米。生：還可以看出直徑是半徑的兩倍，半徑都相等，直徑肯定都相等。師：直徑是半徑的倍，你是怎么知道的？生：直徑可以分成條半徑呀？師：真不錯，半徑和直徑的關系的秘密竟一眼被你看出來了。不過呆會兒我們還要用多種方法來證明。（半徑與直徑的辨析練習。教師適時點出圓內、圓外、圓上等名詞）師：拿出圓形紙片，怎樣可以找到圓心的位置？（學生操作，指導）師：這個同學用眼自信的找到了圓心，你們覺得對嗎？生：一看就知道圓心位置找偏了。師：那該用什么方法來確定圓心的位置？生：對折再對折的方法可以找到圓心。師：所以我們還需要用更方便、更科學的方法尋找圓心

8、。師：同桌合作，通過折一折、量一量、比一比的方法研究圓的半徑與直徑的關系？并說明你是用什么方法來證明？生：我是量一量的方法，半徑是厘米，直徑厘米，所以直徑是半徑的倍。師：用測量法證明，直徑是半徑的倍，還可以說半徑是直徑的二分之一。生：比一比的方法，一條直徑可以看成條半徑，所以直徑是半徑的倍。師：用觀察法證明，很不錯。還有其他方法嗎？生：我是用折一折的方法，對折以后有一條直徑，再對折變成了條半徑，所以直徑是半徑的倍。師：太了不起了，如此抽象的數學知識，在你們的手里竟如此簡單地迎刃而解了。師：難道圓規(guī)僅僅只能畫半徑是厘米的圓嗎？我想畫的更大些，怎么辦？生：圓規(guī)的兩角距離拉大。拉到厘米。（師畫了一個

9、同心圓）師：還能再大嗎？（能）能比厘米小一些嗎？（能）師：什么決定了圓的大?。浚ò霃剑煟哼@兩個圓雖然大小不同，什么是相同的？（指出數學上稱為同心圓）師：剛才得出結論半徑都相等，這兩條半徑相等嗎？（不相等）看來剛才的結論還需要增加一個條件。（同圓、等圓內）。師：我想到其他的位置畫圓，該怎么辦？是什么決定圓的位置？（圓心）四、鞏固拓展師：周髀算經里有這么一句話“圓出于方，方出于矩”，所謂“圓出于方”就是說最初的圓并不是由圓規(guī)畫成的，而是由正方形不斷的切割而成的。如果告訴你正方形的邊長是10厘米，你能知道圓的半徑與直徑嗎？生：半徑是厘米，直徑厘米。師：到現在美術老師還會用這種方法教我們畫圓。其實關

10、于對圓的研究，何止只有一部周髀算經呢？二千多年前，我國古代思想家墨子就提出：圓，一中同長也。你知道一中什么意思？（一個圓心）同長呢？（半徑同樣長，直徑同樣長）這個發(fā)現比西方整整早了1000多年。你們感到自豪嗎？師：體育老師想在操場上畫一個比較大的圓，難道還用圓規(guī)？生：畫個正方形，再切割成圓。師：活學活用呀，不過太麻煩了。生：用繩子固定在圓心。另一邊旋轉就可以畫圓了師：老師就準備了這樣的釘繩工具，你們倆上來畫一個圓，好嗎？（生畫圓）師：這些方法與圓規(guī)畫圓的方法有什么共同的地方？生：圓心固定不動。有一個固定長度，不能發(fā)生改變。師：真是了不起，“沒有圓規(guī)，也成方圓?！睅煟鹤孕熊囕喿訛槭裁催x用圓形，而

11、不選用三角形與正方形？生：用圓形沒有阻力，三角形與正方形有棱有角的，不好滾。師：難道用圓形做輪子就可以嗎？（課件演示車軸在圓心和不在圓心的兩種情況）生：車軸應該安在圓心，這樣所有的半徑都相等，車子就會平穩(wěn)。師：原來車輪里也蘊含了數學知識。巧妙地利用了同一個圓里所有半徑都相等這一特征，所以車子跑起來又快又穩(wěn)。五、課堂總結（略）【自我反思】 整堂課以圍繞感知、體驗和深化圓的本質屬性的學習框架而展開。游戲環(huán)節(jié)以初步感知圓是到定點距離等于定長的點的集合；畫圓環(huán)節(jié)以體驗圓是確定固定長度（半徑）圍繞固定點（圓心）旋轉一周形成的封閉圖形；練習環(huán)節(jié)在多樣的畫圓方法中，提煉出畫圓的共同點，深刻理解圓的本質屬性。

12、我引領學生用“點的軌跡”思想學習圓的本質屬性，得到了成功的嘗試，總結起來有以下幾點體會：一、返樸歸真用數學的本質魅力來吸引學生創(chuàng)設情境有利于調動學生的學習興趣與欲望，但最終能夠真正持久地吸引學生的是數學的本質魅力，它才是維系學生不懈學習數學的源泉。課堂上我沒有創(chuàng)設情境，但學生在學習活動中投入了極大的熱情，這股熱情源于學生對數學本身魅力的吸引，源于對數學思考的挑戰(zhàn)，源于對數學真理的追求。為什么“在白紙畫一個點，然后再畫一些點，要求到第一個點的距離都是3厘米?！毙纬傻膱D形會接近于圓形？而當有無數個這樣的點就會形成一個圓形，究竟里面隱藏著怎樣的奧秘？是數學的本身魅力吸引著學生。更重要的是，利用這樣一

13、個畫點平臺，用圓規(guī)將它補充成一個圓的時候，半徑與直徑的特征就在潛移默化中悄悄解決了。“為什么圓有無數條半徑？” “因為圓上有無數個點，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數條半徑?！薄盀槭裁此械陌霃降拈L度都相等？”“我們剛才的游戲就是要求每個點到到圓心的距離是厘米?！?“我還可以用圓規(guī)在圓上走一圈，兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等?！笨此品浅：唵蔚漠孅c游戲，卻蘊含了深刻的哲理圓的本質屬性：圓就是平面內到定點距離相等的點的集合。二、數學思考有效操作最終為思維的深刻性服務數學課堂中，數學操作有利于學生數學的思考，但是操作僅僅是作為學習的手段，把它作為“拐杖”，最終實現操作活動數學化。按照皮亞杰的觀

14、點，在操作活動數學化的過程要讓學生積累豐富的感性經驗，再在這個基礎上作反省抽象，從而認識概念的本質內涵。所以教師要引導邊操作、邊思考，逐漸在頭腦中建立一定的數學模型，最終使他們能夠脫離操作進行數學的思考，實現知識的建構。圓的半徑有無數條這一特征，假如想利用操作理解這一特征實在很抽象，但是借助畫點這一有效操作手段建立一個認知經驗，再通過有效操作后的合理想象，比較容易得出圓有無數條半徑，以此類推出圓的直徑有無數條也是水到渠成。同時在解決半徑與直徑之間的關系時，通過測量法、觀察法、折疊法來學習數學時，我們在操作時只研究了一條直徑與對應的兩條半徑存在的倍數關系，但是借助不斷的想象與推理，以此類推：任何

15、一條直徑都有與之相對應的兩條半徑，最終得出一條直徑等于兩條半徑?？梢哉f，此時的操作并不是主要學習的手段，反而數學的思考想象、推理成為學習圓的特征主要學習方式。這些有價值的數學思維，隨著學生年齡的增長，越來越顯現出其重要的地位與作用。三、文化底蘊數學學習過程中實現數學知識與數學文化有機融合數學史料是不僅僅只作為課堂教學的一種點綴，更重要的是通過學習內容的融合中品味其中的含義，用于鞏固、深化和拓展對圓的知識。課始，在簡單而抽象的圓中展開想象：圓讓你聯(lián)想到生活中的什么物體，老師適時地呈現收集到的精美圖片，然后引用古希臘數學家的一句話：“在一切平面圖形中，圓是最美的。”有了這樣的一種親身體驗美的過程，對圓的思考與研究就添加了有效的催化劑。周髀算經關于圓的記載：圓出于方，方出于矩。最初畫圓并不是由用圓規(guī)畫的，而是由正方形不斷的切割而成的。事實上，這種方法至今仍在沿用，美術老師還會用這種方法教我們畫圓，進一步思考，如果正方形的邊長是厘米，你能想到圓的直徑與半徑的長度嗎？在默默學習古人畫圓方法的過程中，體會到原來自己美術課上畫圓的方法也有這樣一段美麗