第一講整數(shù)與整除的基本性質(zhì)（一）

1、第一講 整數(shù)與整除的基本性質(zhì)（一）一、整數(shù) 基本知識：關(guān)于自然數(shù)：1、有最小的自然數(shù)1；2、自然數(shù)的個數(shù)是無限的，不存在最大的自然數(shù)；3、兩個自然數(shù)的和與積仍是自然數(shù)；4、兩個自然數(shù)的差與商不一定是自然數(shù)。關(guān)于整數(shù)：1整數(shù)的個數(shù)是無限的，既沒有最小的整數(shù)，也沒有最大的整數(shù)；2、兩個整數(shù)的和、差、積仍是整數(shù)，兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù)。十進制整數(shù)的表示方法正整數(shù)可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字中的一個或若干個組成一個排列表示，如67表示,四位數(shù)1254可以寫成,同樣地用字母表示的兩位數(shù),三位數(shù), n 位整數(shù)表示為，（其中ai是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某個數(shù)字，

2、i= n , n 1,2,1,其中an）并且經(jīng)典例題：例1、用0、1、2、.、9這10個數(shù)字組成兩個三位數(shù)和一個四位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是一個奇數(shù)，并且盡可能地小，那么這兩個三位數(shù)及這個四位數(shù)的和是（ ）1995 1683 1579 1401解：為使和最小，四位數(shù)的千位應(yīng)該是1，百位上的數(shù)為0，兩個三位數(shù)上的百位應(yīng)分別為2和3；若三個數(shù)十位上的數(shù)分別是4、5、6，則個位上的數(shù)分別是7、8、9，但7+8+9=18是個偶數(shù)，這與其和為奇數(shù)矛盾，故應(yīng)調(diào)整為三個十位上的數(shù)應(yīng)安排為4、5、7，個位分別為6、8、9，6+8+9為奇數(shù)，1046+258+379=1683，選 例2、一個兩位數(shù)，

3、用它的個位、十位上的兩個數(shù)之和的3倍減去，仍得原數(shù)，這個兩位數(shù)是（ ）26 28 36 38解：設(shè)這個兩位數(shù)為，由題意，得， 即 由于為偶數(shù)，必須為偶數(shù)，排除又由于是7的倍數(shù)，故選（此題也可以直接來解是7的倍數(shù)，故有返回有）例3、一個兩位數(shù)，加上2以后和的各數(shù)字之和只有原數(shù)字和的一半，這個兩位數(shù)是。（91年“縉云杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽）解：設(shè)這個兩位數(shù)為，由于原數(shù)加上2后和的各數(shù)字之和比原數(shù)各數(shù)之和小，所以加上2后發(fā)生了進位，由題意，得，又由于后有進位，同時對應(yīng)的分別為6與5，這兩個數(shù)為68或59。例4、一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991，這個四位數(shù)是。（91年南昌市初中數(shù)學(xué)競賽題）解：四個

4、數(shù)位上的數(shù)字之和最多不會超過36，這個四位數(shù)的千位和百位數(shù)字分別是1和9，故設(shè)這個四位數(shù)為，整理得，又且為整數(shù)，這個四位數(shù)為1972。例5、若三位數(shù)與組成該三位數(shù)的各位數(shù)字之和的比值為（如三位數(shù)234，則），求的最大值和最小值。解：設(shè)這個三位數(shù)，顯然，當其值為0時，即時，最大，其值為，當最大時，最小，即時，最小為二、能被一個數(shù)整除的數(shù)的特征基礎(chǔ)知識：1、能被2或5整除的數(shù)，它的末位數(shù)字能被2或5整除2、能被4或25整除的數(shù)，它的最后兩位數(shù)能被4或25整除。3、能被8或125整除的數(shù)，它的最后三位數(shù)能被8或125整除。4、能被3或9整除的數(shù)，它的各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3或9整除。5、能被11整除

5、的數(shù)，它的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)。6、0能被任何非零整數(shù)整數(shù)，能整除任何整數(shù)。 要判斷某數(shù)能否被一個合數(shù)整除，只須將這個合數(shù)分解成兩個互質(zhì)的約數(shù)的乘積，若這個整數(shù)能分別被這兩個約數(shù)整除，則這個數(shù)能被這個合數(shù)整除。經(jīng)典例題：例6、能被11整除的最小九位數(shù)是多少？ 解：若某數(shù)可被11整除，則其奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差位11的倍數(shù)，要這樣的數(shù)最小，首先取1，十位取1，其余數(shù)位取0，即所求數(shù)為100000010。例7、一個四位數(shù)能被9整除，去掉末位數(shù)字后所得的三位數(shù)恰是4的倍數(shù)，求這樣的四位數(shù)中最大的一個。 解：要求這樣的四位數(shù)中最大的一個，因而設(shè)這個四位數(shù)為，要

6、使為4的倍數(shù)，且要最大，故。 要能被9整除，能被9整除，故例8、兩個三位的和能被37整除，證明：六位數(shù)也能被37整除。（第八屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題）證明：， 又 而， 例9、已知一個七位自然數(shù)是99的倍數(shù)（其中是0到9中的某個數(shù)字），試求的值，簡寫出求解過程。（第八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初一試題）題難：分析是99的倍數(shù)，而99，故分別是9和11的倍數(shù)由被9，11數(shù)整除的數(shù)的特點而解此題。解：，是9的倍數(shù)， 即（為自然數(shù)） ，。，或或，即 故是11的倍數(shù)又，即 同奇偶， 或 （不合題意，舍去）備選題：類：1、 設(shè)六位數(shù)是4的倍數(shù)，且它被11除的余數(shù)是5，求a+b的值.（六位數(shù)是4的倍數(shù)，有，故或6；又它被11除的余數(shù)是5易得1）、當，是11的倍數(shù)，故2）、當，11，是11的倍數(shù)，無解。）2、 如果個六位數(shù)能被33整除，這樣的六位數(shù)共有多少個？（易得，及 ，及 易得解或或 故有3組，分別為192192、195195、198198。3、 求一個四位數(shù)，它等于抹去它的首位數(shù)字后剩下的三位數(shù)的3倍減去