小波分析的理解

1、小波變換是克服其他信號(hào)處理技術(shù)缺陷的一種分析信號(hào)的方法。小波由一族小波基函數(shù)構(gòu)成，它可以描述信號(hào)時(shí)間（空間）和頻率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大優(yōu)點(diǎn)是可對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)施局部分析，可在任意的時(shí)間或空間域中分析信號(hào)。小波分析具有發(fā)現(xiàn)其他信號(hào)分析方法所不能識(shí)別的、隱藏于數(shù)據(jù)之中的表現(xiàn)結(jié)構(gòu)特性的信息，而這些特性對(duì)機(jī)械故障和材料的損傷等識(shí)別是尤為重要的。如何選擇小波基函數(shù)目前還沒(méi)有一個(gè)理論標(biāo)準(zhǔn)，常用的小波函數(shù)有 Haar、 Daubechies(dbN)、 Morlet、 Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal小波等15種。但是小波變換的小波系數(shù)為如何選擇小波基函數(shù)提

2、供了依據(jù)。小波變換后的系數(shù)比較大，就表明了小波和信號(hào)的波形相似程度較大；反之則比較小。 另外還要根據(jù)信號(hào)處理的目的來(lái)決定尺度的大小。如果小波變換僅僅反映信號(hào)整體的近似特征，往往選用較大的尺度；反映信號(hào)細(xì)節(jié)的變換則選用尺度不大的小波。由于小波函數(shù)家族成員較多，進(jìn)行小波變換目的各異，目前沒(méi)有一個(gè)通用的標(biāo)準(zhǔn)。 根據(jù)實(shí)際運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，Morlet小波應(yīng)用領(lǐng)域較廣，可以用于信號(hào)表示和分類、圖像識(shí)別特征提?。荒鞲绮菝毙〔ㄓ糜谙到y(tǒng)識(shí)別；樣條小波用于材料探傷；Shannon正交基用于差分方程求解?，F(xiàn)在對(duì)小波分解層數(shù)與尺度的關(guān)系作如下解釋： 是不是小波以一個(gè)尺度分解一次就是小波進(jìn)行一層的分解？ 比如：C,L=w

3、avedec(X,N,wname)中，N為尺度，若為1，就是進(jìn)行單尺度分解，也就是分解一層。 但是W=CWT(X,2:2:128,wname,plot)的分解尺度又是從2128以2為步進(jìn)的，這里的“分解尺度”跟上面那個(gè)“尺度”的意思一樣嗎？ C,L=wavedec(X,N,wname)中的N為分解層數(shù), 不是尺度,以wname是DB小波為例, 如DB4, 4為消失矩,則一般濾波器長(zhǎng)度為8, 階數(shù)為7. wavedec針對(duì)于離散,CWT是連續(xù)的。 多尺度又是怎么理解的呢？ 多尺度的理解: 如將0-pi定義為空間V0, 經(jīng)過(guò)一級(jí)分解之后V0被分成0-pi/2的低頻子空間V1和pi/2-pi的高頻子

4、空間W1, 然后一直分下去.得到 VJ+WJ+.W2+W1. 因?yàn)閂J和WJ是正交的空間, 且各W子空間也是相互正交的. 所以分解得到了是相互不包含的多個(gè)頻域區(qū)間,這就是多分辯率分析, 即多尺度分析. 當(dāng)然多分辨率分析是有嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義的,但完全可以從數(shù)字濾波器角度理解它.當(dāng)然,你的泛函學(xué)的不錯(cuò),也可以從函數(shù)空間角度理解. 是不是說(shuō)分解到W3、W2、W1、V3就是三尺度分解？ 簡(jiǎn)單的說(shuō)尺度就是頻率，不過(guò)是反比的關(guān)系確定尺度關(guān)鍵還要考慮你要分析信號(hào)的采樣頻率大小，因?yàn)楦鶕?jù)采樣頻率大小才能確定你的分析頻率是多少（采樣定理）然后再確定你到底分多少層 假如我這有一個(gè)10hz和50hz的正弦混合信號(hào)，采樣

5、頻率是500hz，是不是就可以推斷出10hz和50hz各自對(duì)應(yīng)的尺度了呢？我的意思是，是不是有一個(gè)頻率和尺度的換算公式？ 實(shí)際頻率小波中心頻率采樣頻率/尺度 在小波分解中，若將信號(hào)中的最高頻率成分看作是1，則各層小波小波分解便是帶通或低通濾波器，且各層所占的具體頻帶為（三層分解）a1:00.5 d1: 0.51; a2:00.25 d2: 0.250.5; a3: 00.125; d3:0.1250.25 可以這樣理解嗎？如果我要得到頻率為0.1250.25的信號(hào)信息，是不是直接對(duì)d3的分解系數(shù)直接重構(gòu)之后就是時(shí)域信息了？這樣感覺(jué)把多層分解純粹當(dāng)作濾波器來(lái)用了，又怎么是多分辨分析？怎樣把時(shí)頻信

6、息同時(shí)表達(dá)出來(lái)？ 這個(gè)問(wèn)題非常好，我剛開(kāi)始的時(shí)候也是被這個(gè)問(wèn)題困惑住了，咱們確實(shí)是把它當(dāng)成了濾波器來(lái)用了，也就是說(shuō)我們只看重了小波分析的頻域局部化的特性。但是很多人都忽略其時(shí)域局部化特性，因?yàn)樾〔ㄊ亲儠r(shí)頻分析的方法，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理如果帶寬大，則時(shí)窗寬度就要小。那么也就意味著如果我們要利用其時(shí)域局部化特性就得在時(shí)寬小的分解層數(shù)下研究，也就是低尺度下。這樣我們就可以更容易看出信號(hào)在該段時(shí)間內(nèi)的細(xì)微變化，但是就產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題，這一段的頻率帶很寬，頻率局部化就體現(xiàn)不出來(lái)了。 對(duì)d3進(jìn)行單支重構(gòu)就可以得到0.1250.25的信號(hào)了，當(dāng)然頻域信息可能保存的比較好，但如果小波基不是對(duì)稱的話，其相位信息會(huì)失真。

7、 小波變換主要也是用在高頻特征提取上。 層數(shù)不是尺度，小波包分解中，N應(yīng)該是層數(shù)，個(gè)人理解對(duì)應(yīng)尺度應(yīng)該是2N 小波分解的尺度為a，分解層次為j。 如果是連續(xù)小波分解尺度即為a。離散小波分解尺度嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)為a2j,在很多書上就直接將j稱為尺度，因?yàn)橐粋€(gè)j就對(duì)應(yīng)者一個(gè)尺度a。其實(shí)兩者是統(tǒng)一的。小波基：一般從線性相位，消失矩，相似性，緊支撐等來(lái)選擇。Daubechies小波基的構(gòu)造% 此程序?qū)崿F(xiàn)構(gòu)造小波基% periodic_wavelet.mfunction ss=periodic_wavelet;clear;clc;% global MOMENT; % 消失矩階數(shù)% global LEFT_

8、SCALET; % 尺度函數(shù)左支撐區(qū)間% global RIGHT_SCALET; % 尺度函數(shù)右支撐區(qū)間% global LEFT_BASIS; % 小波基函數(shù)左支撐區(qū)間% global RIGHT_BASIS; % 小波基函數(shù)右支撐區(qū)間% global MIN_STEP; % 最小離散步長(zhǎng)% global LEVEL; % 計(jì)算需要的層數(shù)(離散精度）% global MAX_LEVEL; % 周期小波最大計(jì)算層數(shù)s2,h=scale_integer;test,h=scalet_stretch(s2,h);wave_base=wavelet(test,h);ss=periodic_wavel

9、etbasis(wave_base);function s2,h=scale_integer;% 本函數(shù)實(shí)現(xiàn)求解小波尺度函數(shù)離散整數(shù)點(diǎn)的值% sacle_integer.mMOMENT=10; % 消失矩階數(shù)LEFT_SCALET=0; % 尺度函數(shù)左支撐區(qū)間RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1; % 尺度函數(shù)右支撐區(qū)間LEFT_BASIS=1-MOMENT; % 小波基函數(shù)左支撐區(qū)間RIGHT_BASIS=MOMENT; % 小波基函數(shù)右支撐區(qū)間MIN_STEP=1/512; % 最小離散步長(zhǎng)LEVEL=-log2(MIN_STEP); % 計(jì)算需要的層數(shù)(離散精度）MAX_LEV

10、EL=8; % 周期小波最大計(jì)算層數(shù)h=wfilters(db10,r); % 濾波器系數(shù)h=h*sqrt(2); % FI(T)=SQRT(2)*SUM(H(N)*FI(2T-N) N=0:2*MOMENT-1;for i=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1 for j=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1 k=2*i-j+1; if (k=1&k 1/2, 3/2, 5/2) t=t+1; fi(t)=0; for n=LEFT_SCALET:RIGHT_SCALET; % 低通濾波器沖擊響應(yīng)緊支撐判斷 if (i/2(j-1)-n)=LEFT_S

11、CALET&(i/2(j-1)-n)=LEFT_SCALET&(2*t-n)=RIGHT_SCALET) % 尺度函數(shù)判斷 s=s+h(1-n+1)*(-1)(n)*test(2*t-n)/MIN_STEP+1); % 計(jì)算任意精度的小波基函數(shù)值 end end i=i+1; wave_base(i)=s;end一維數(shù)字濾波器filter(): Y=filter(B, A, X) 由傳遞函數(shù)模型向量B、A描述的濾波器對(duì)向量X中的元素進(jìn)行濾波，并將結(jié)果數(shù)據(jù)存放在向量Y中。 Y, Zf=filter(B, A, X, Zi) 給出了濾波器延時(shí)的初始和終止條件Zf和Zi。例子： 人體心電信號(hào)在測(cè)量過(guò)

12、程中往往受到工業(yè)高頻干擾，所以必須經(jīng)過(guò)低通濾波處理后，才能判斷心臟功能的有用信息。下面給出一實(shí)際心電圖信號(hào)采樣序列樣本x(n)，其中存在高頻干擾。在試驗(yàn)中以x(n)作為輸入序列，濾除其中的干擾成分。 x(n) = -4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4, -2,-4,8,12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0Matlab程序設(shè)計(jì)如下： X=-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-

13、6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0; figure; plot(X); xlabel(時(shí)間); ylabel(幅值); wp=40; ws=50; rp=0.5; rs=40; Fs=200; N, Wn = buttord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs); b, a=butter(N, Wn); figure; H, W=freqz(b, a); plot(W*Fs/(2*pi), abs(H

14、); grid; xlabel(頻率/Hz); ylabel(幅值); Y=filter(b,a,X); figure plot(Y) xlabel(時(shí)間); ylabel(幅值); figure psd(X, ,200); figure psd(Y, ,200); end;分析這段程序可知包括以下幾部分： （1）首先繪制原始數(shù)據(jù)的圖形； （2）設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通濾波器并繪制出它的幅頻響應(yīng)曲線； （3）用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波； （4）繪制濾波以后的數(shù)據(jù)圖形； （5）繪制原數(shù)據(jù)功率譜圖形； （6）繪制濾波以后數(shù)據(jù)功率譜圖形。 濾波器的主要目的是按照設(shè)計(jì)者的目的，突出或抑制

15、一些頻段。在本程序中，設(shè)計(jì)了一個(gè)低通濾波器，主要是抑制高頻段突出低頻段；在心電圖信號(hào)分析中，要濾除工業(yè)高頻干擾，突出低頻部分.有時(shí)某些信號(hào)容易受到噪聲污染，導(dǎo)致無(wú)法直接辨別信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)。 由于信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)往往代表信號(hào)的低頻部分，因此通過(guò)信號(hào)的多尺度分解，在分解的低頻系數(shù)中可以觀察到信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)。由于噪聲的污染，從原始信號(hào)x中無(wú)法觀察信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)。通過(guò)進(jìn)行五尺度的小波分解，在小波分解的低頻系數(shù)重構(gòu)中可以明顯地看到原始信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)。這是因?yàn)樾盘?hào)的發(fā)展趨勢(shì)往往是信號(hào)的低頻成分，在小波變換中對(duì)應(yīng)著最大尺度小波變換的低頻系數(shù)。此外還可以在低頻中理解它，在進(jìn)行低頻成分的尺度分解時(shí)，隨著分解層數(shù)的

16、增加，它所含的高頻成分會(huì)隨之減少，因此隨著尺度的增加，更多高頻的信號(hào)被濾掉，可以看到信號(hào)的發(fā)展趨勢(shì)。1.監(jiān)測(cè)信號(hào)的自相似性 直觀上講，小波分解系數(shù)表示了信號(hào)與小波之間的“相似指數(shù)”，如果相似程度越高，則相似指數(shù)越大。因此如果一個(gè)信號(hào)的不同的尺度之間相似，則小波系數(shù)在不同的尺度上也應(yīng)該相似。因此可以通過(guò)小波分解檢測(cè)信號(hào)的自相似性，即檢測(cè)信號(hào)的分形特征。實(shí)踐表明，通過(guò)小波分解可以很好地研究信號(hào)或圖像的分形特征。 下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明小波分析在檢測(cè)信號(hào)自相似性中的應(yīng)用，待檢測(cè)的信號(hào)是經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代生成的信號(hào)，因此具有自相似性。 程序代碼如下： load vonkoch; x=vonkoch;

17、subplot(211); plot(x); title(原始信號(hào)); subplot(212); %進(jìn)行一維連續(xù)小波變換 f=cwt(x,2:2:128,coif3,plot); 從圖中可以看出分解后的小波系數(shù)在許多尺度上看上去都非常相似。2.信號(hào)的奇異性檢測(cè) 信號(hào)的突變點(diǎn)和奇異點(diǎn)等不規(guī)則部分通常包含重要信息。 一般信號(hào)的奇異性分為兩種情況：（1）信號(hào)在某一時(shí)刻其幅值發(fā)生突變，引起信號(hào)的非連續(xù)，這種類型的突變稱為第一類型的間斷點(diǎn)； （2）信號(hào)在外觀上很光滑，幅值沒(méi)有發(fā)生突變，但是信號(hào)的一階微分有突變發(fā)生且一階微分不連續(xù)，這種類型的突變稱為第二類型的間斷點(diǎn)。 應(yīng)用小波分析可以檢測(cè)出信號(hào)中的突變

18、點(diǎn)的位置、類型以及變化的幅度。下面介紹小波分析在信號(hào)奇異性檢測(cè)中的應(yīng)用。 （1）第一類型間斷點(diǎn)的檢測(cè) 下面舉例說(shuō)明小波分析用于檢測(cè)第一類型的間斷點(diǎn)。 在本例中，信號(hào)的不連續(xù)是由于低頻特征的正弦信號(hào)在后半部分突然有高頻特征的正弦信號(hào)加入，首先利用傅里葉變換分析對(duì)信號(hào)在頻域進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)無(wú)檢測(cè)突變點(diǎn)，接著利用小波分析進(jìn)行分析，結(jié)果證明它能夠準(zhǔn)確地檢測(cè)出了信號(hào)幅值突變的位置，即高頻信號(hào)加入的時(shí)間點(diǎn)。 程序代碼如下： load freqbrk; x=freqbrk; %對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換 f=fft(x,1024); f=abs(f); figure; subplot(211); plot(x);

19、subplot(212); plot(f); %使用db6小波進(jìn)行6層分解 c,l=wavedec(x,6,db6); figure(2); subplot(811); plot(x); ylabel(x); %對(duì)分解的第六層低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu) a=wrcoef(a,c,l,db6,6); subplot(812); plot(a); ylabel(a6); for i=1:6 %對(duì)分解的第6層到第1層的高頻系數(shù)分別進(jìn)行重構(gòu) d=wrcoef(d,c,l,db6,7-i); subplot(8,1,i+2); plot(d); ylabel(d,num2str(7-i); end 由圖中可以看出

20、，由于傅里葉變換不具有時(shí)間分辨力，因此無(wú)法檢測(cè)信號(hào)的間斷點(diǎn)。而在小波分析的圖中，在信號(hào)的小波分解的第一層高頻系數(shù)d1和第二層高頻系數(shù)d2中，可以非常清楚地觀察到信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，用db1小波比用db6小波要好。 這個(gè)例子也表明小波分析在檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)時(shí)具有傅里葉變換無(wú)法比擬的優(yōu)越性，利用小波分析可以精確地檢測(cè)出信號(hào)的突變點(diǎn)。 在信號(hào)處理中，信號(hào)中通常都包含噪聲，而噪聲的存在增加了辨別信號(hào)不連續(xù)點(diǎn)的難度。一般來(lái)說(shuō)，如果信號(hào)小波分解的第一層能夠估計(jì)出噪聲的大體位置，則信號(hào)的間斷點(diǎn)就能夠在小波分解的更深層次上表現(xiàn)出來(lái)。下面通過(guò)例子說(shuō)明如何應(yīng)用小波分析識(shí)別某一頻率區(qū)間上的信號(hào)： 在本例中，使用小波分析

21、一個(gè)由三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加的信號(hào)，看是否能將這三個(gè)正弦信號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái)，結(jié)果證明小波分析可以很好地識(shí)別某一頻率區(qū)間的信號(hào)。 程序代碼如下： load sumsin; x=sumsin; figure; subplot(611); plot(x); ylabel(x); title(原始信號(hào)以及各層近似信號(hào)); %使用db3小波進(jìn)行5層分解 c,l=wavedec(x,5,db3); for i=1:5 %對(duì)分解的第5層到第1層的低頻系數(shù)分別進(jìn)行重構(gòu) a=wrcoef(a,c,l,db3,6-i); subplot(6,1,i+1); plot(a); ylabel(a,num2str(6-i

22、); end figure; subplot(611) plot(x); ylabel(x) for i=1:5 %對(duì)分解的第5層到第1層的高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu) d=wrcoef(d,c,l,db3,6-i); subplot(6,1,i+1); plot(d); ylabel(d,num2str(6-i); end分析： 在本例中，該信號(hào)是由周期分別為200、20、2的信號(hào)組成的，它們的采樣周期均為1，為方便起見(jiàn)，在此分別稱為低頻、中頻和高頻的正弦信號(hào)。從圖中可以看出，低頻、中頻和高頻信號(hào)分別對(duì)應(yīng)于分解的近似信號(hào)a4、細(xì)節(jié)信號(hào)d4以及細(xì)節(jié)信號(hào)d1。MATLAB小波函數(shù)總結(jié)2007-05-23 0

23、9:04:16|分類：matlab編程|字號(hào)訂閱 函數(shù) 含義 *:小波通用函數(shù) Allnodes 計(jì)算樹(shù)結(jié)點(diǎn) appcoef 提取一維小波變換低頻系數(shù) appcoef2 提取二維小波分解低頻系數(shù) bestlevt 計(jì)算完整最佳小波包樹(shù) besttree 計(jì)算最佳(優(yōu))樹(shù)* biorfilt 雙正交樣條小波濾波器組 biorwavf 雙正交樣條小波濾波器* centfrq 求小波中心頻率 cgauwavf Complex Gaussian小波 cmorwavf coiflets小波濾波器 cwt 一維連續(xù)小波變換 dbaux Daubechies小波濾波器計(jì)算 dbwavf Daubechies

24、小波濾波器 dbwavf(W) W=dbN N=1,2,3,.,50 ddencmp 獲取默認(rèn)值閾值(軟或硬)熵標(biāo)準(zhǔn) depo2ind 將深度-位置結(jié)點(diǎn)形式轉(zhuǎn)化成索引結(jié)點(diǎn)形式 detcoef 提取一維小波變換高頻系數(shù) detcoef2 提取二維小波分解高頻系數(shù) disp 顯示文本或矩陣 drawtree 畫小波包分解樹(shù)(GUI) dtree 構(gòu)造DTREE類 dwt 單尺度一維離散小波變換 dwt2 單尺度二維離散小波變換 dwtmode 離散小波變換拓展模式* dyaddown 二元取樣* dyadup 二元插值 entrupd 更新小波包的熵值 fbspwavf B樣條小波 gauswav

25、f Gaussian小波 get 獲取對(duì)象屬性值 idwt 單尺度一維離散小波逆變換 idwt2 單尺度二維離散小波逆變換 ind2depo 將索引結(jié)點(diǎn)形式轉(zhuǎn)化成深度位置結(jié)點(diǎn)形式* intwave 積分小波數(shù) isnode 判斷結(jié)點(diǎn)是否存在 istnode 判斷結(jié)點(diǎn)是否是終結(jié)點(diǎn)并返回排列值 iswt 一維逆SWT(Stationary Wavelet Transform)變換 iswt2 二維逆SWT變換 leaves Determine terminal nodes mexihat 墨西哥帽小波 meyer Meyer小波 meyeraux Meyer小波輔助函數(shù) morlet Morlet

26、小波 nodease 計(jì)算上溯結(jié)點(diǎn) nodedesc 計(jì)算下溯結(jié)點(diǎn)(子結(jié)點(diǎn)) nodejoin 重組結(jié)點(diǎn) nodepar 尋找父結(jié)點(diǎn) nodesplt 分割(分解)結(jié)點(diǎn) noleaves Determine nonterminal nodes ntnode Number of terminal nodes ntree Constructor for the class NTREE* orthfilt 正交小波濾波器組 plot 繪制向量或矩陣的圖形* qmf 鏡像二次濾波器 rbiowavf Reverse biorthogonal spline wavelet filters read 讀取

27、二進(jìn)制數(shù)據(jù) readtree 讀取小波包分解樹(shù)* scal2frq Scale to frequency set shanwavf Shannon wavelets swt 一維SWT(Stationary Wavelet Transform)變換 swt2 二維SWT變換 symaux Symlet wavelet filter computation. symwavf Symlets小波濾波器 thselect 信號(hào)消噪的閾值選擇 thodes References treedpth 求樹(shù)的深度 treeord 求樹(shù)結(jié)構(gòu)的叉數(shù) upcoef 一維小波分解系數(shù)的直接重構(gòu) upcoef2 二維小波分解系數(shù)的直接重構(gòu) upwlev 單尺度一維小波分解的重構(gòu) upwlev2 單尺度二維小波分解的重構(gòu) wavedec 單尺度一維小波分解 wavedec2 多尺度二維小波分解 wavedemo 小波工具箱函數(shù)demo* wavefun 小波函數(shù)和尺度函數(shù)* wavefun2 二維小波函數(shù)和尺度函數(shù) wavemenu 小波工具箱函數(shù)menu圖形界面調(diào)用函數(shù)* wavemngr 小波管理函數(shù) waverec 多尺度一維小波重構(gòu) waverec2 多尺度二維小波重構(gòu) wbm