南京郵電大學(xué) 數(shù)值計(jì)算實(shí)踐報(bào)告

1、數(shù)值計(jì)算實(shí)踐I、方程求根1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ず驼莆誑ewton法,割線法,拋物線法的方法思路，并能夠在matlab上編程實(shí)現(xiàn)2、 問(wèn)題描述(1).給定一個(gè)三次方程,分別用Newton法,割線法,拋物線法求解.方程的構(gòu)造方法:(a)根:方程的根為學(xué)號(hào)的后三位乘以倒數(shù)第二位加1再除以1000.假設(shè)你的學(xué)號(hào)為B06060141,則根為141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的學(xué)號(hào)的后三位數(shù)分別作為方程的三次項(xiàng),二次項(xiàng),一次項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)所給的根以及三個(gè)系數(shù)確定常數(shù)項(xiàng).例如:你的學(xué)號(hào)是B06060141,則你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根為0.564,因此有0.564

2、3+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程為x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假設(shè)方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式（三個(gè)系數(shù)分別是學(xué)號(hào)中的數(shù)字），重新解決類(lèi)似的問(wèn)題(3)構(gòu)造一個(gè)五次方程完成上面的工作.四次方程的構(gòu)造:將三次多項(xiàng)式再乘以(x-p*)2得到對(duì)應(yīng)的五次多項(xiàng)式(p*為已經(jīng)確定的方程的根,顯然,得到的五次方程有重根).(4)將（2）中的方程同樣乘以(x-p*)得到一個(gè)新的方程來(lái)求解注:(1)Newton法取0.5為初值,割線法以 0,1為初值,拋物線法以0,0.5,1為初值,(2)計(jì)算精度盡量地取高.終止準(zhǔn)則：根據(jù)

3、來(lái)終止 (3)可供研究的問(wèn)題：（一）的取值不同對(duì)收斂速度有多大的影響（二）將注（1）中的初值該為其它的初值，對(duì)收斂性以及收斂速度有無(wú)影響（三）)能否求出方程的所有的根（4）實(shí)驗(yàn)報(bào)告的撰寫(xiě) 實(shí)驗(yàn)報(bào)告包含的內(nèi)容：（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模ǘ﹩?wèn)題描述（三）算法介紹（包括基本原理）（四）程序（五）計(jì)算結(jié)果（六）結(jié)果分析（七）心得體會(huì)3、 算法介紹在本問(wèn)題中，我們用到了newton法，割線法，拋物線法。1.Newton法迭代格式為： 當(dāng)初值與真解足夠靠近，newton迭代法收斂，對(duì)于單根，newton收斂速度很快，對(duì)于重根，收斂較慢。2.割線法：為了回避導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，使用上的差商代替，得到割線法迭代公式：割線法

4、的收斂階雖然低于newton法，但迭代以此只需計(jì)算一次函數(shù)值，不需計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，所以效率高，實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用。3. 拋物線法：可以通過(guò)三點(diǎn)做一條拋物線，產(chǎn)生迭代序列的方法稱(chēng)為拋物線法。其迭代公式為：其中 是一階均差和二階均差。收斂速度比割線法更接近于newton法。對(duì)于本問(wèn)題的解決就以上述理論為依據(jù)。終止準(zhǔn)則為：本題中所有精度取1e-8。4、 程序計(jì)算結(jié)果問(wèn)題一根據(jù)所給的要求，可知待求的方程為：牛頓法建立newton_1.m的源程序，源程序代碼為：function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0; b=1; i=1; while(abs(b)eps1*x(

5、i) i=i+1; x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1)/n_df(a,n,x(i-1); b=x(i)-x(i-1); if(inn)error return; end end y=x(i);建立n_f.m的源程序來(lái)求待求根的實(shí)數(shù)代數(shù)方程的函數(shù)，源程序代碼為：function y=n_f(a,n,x)% 待求根的實(shí)數(shù)代數(shù)方程的函數(shù) y=0.0; for i=1:(n+1) y=y+a(i)*x(n+1-i); end建立n_df.m的源程序來(lái)方程的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，源程序代碼為：function y=n_df(a,n,x)% 方程的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù) y=0.0; for i=1:

6、n y=y+a(i)*(n+1-i)*x(n-i); end在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：割線法建立gexian.m的源程序，源程序代碼為function x=gexian(f,x0,x1,e) if nargine i=i+1; z=x-(feval(f,x)*(x-y)/(feval(f,x)-feval(f,y); y=x; x=z; end i 在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：拋物線建立paowuxian.m的源程序，源程序代碼為：function x=paowuxian(f,x0,x1,x2,e) if nargine i=i+1; h1

7、=y-z; h2=x-y; c1=(feval(f,y)-feval(f,z)/h1; c2=(feval(f,x)-feval(f,y)/h2; d=(c1-c2)/(h1+h2); w=c2+h2*d; xi=x-(2*feval(f,x)/(w+(w/abs(w)*sqrt(w2-4*feval(f,x)*d); z=y; y=x; x=xi; endi在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：研究一：只改變初值由上述結(jié)果可知，方程的解在0.2附近，所以將牛頓法為0.2；割線法的初值設(shè)為0，0.4；拋物線法的初值設(shè)為0，0.2，0.4；牛頓法根據(jù)問(wèn)題1中牛頓法的程序，在mat

8、lab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：割線法根據(jù)問(wèn)題1中割線程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：拋物線法根據(jù)問(wèn)題1中拋物線法程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：研究二 只改變精度將精度由1e-8改為1e-50和1e-100觀察迭代次數(shù)有何變化牛頓法：根據(jù)問(wèn)題1中的牛頓法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：精度為1e-50時(shí)精度為1e-100時(shí)割線法根據(jù)問(wèn)題1中的割線法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：精度為1e-50時(shí)精度為1e-100時(shí)拋物線法根據(jù)問(wèn)題1中的拋物線法的程序，在matl

9、ab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到的最終結(jié)果截圖：精度為1e-50時(shí)精度為1e-100時(shí)、研究結(jié)論在只改變初值時(shí)，當(dāng)初值定得越靠近初值，迭代次數(shù)就越少。在只改變精度時(shí)，當(dāng)精度越來(lái)越大時(shí)，迭代次數(shù)并幾乎不變。綜上所述，初值對(duì)迭代次數(shù)的影響比較大，精度對(duì)迭代次數(shù)影響不大。問(wèn)題二問(wèn)題描述根據(jù)所給的要求，可知待求的方程為：?jiǎn)栴}分析仍然利用（1）中方法求解這一問(wèn)題，并利用圖解法找到初值，通過(guò)觀察圖像，將newton法初值設(shè)為：0.1，割線法初值設(shè)為：0,0.2。拋物線法初值設(shè)為：0,0.1,0.2。圖像見(jiàn)下圖：Newton法問(wèn)題一的牛頓法的求解只適用于線性方程，所以在問(wèn)題二中用其他方法來(lái)求解方程。建立newt

10、on1.m源程序，源程序代碼為：function x=newton1(fn,dfn,x0,e)if narginei=i+1；x0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句并得到最終結(jié)果截圖割線法利用問(wèn)題一中的割線法程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句拋物線法利用問(wèn)題一中的拋物線法程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句問(wèn)題三問(wèn)題描述按照題目要求對(duì)五次方程進(jìn)行構(gòu)造為：?jiǎn)栴}分析仍然利用一中方法求解這一問(wèn)題，并利用圖解法找到初值，通過(guò)觀察圖像，將牛頓法的兩組初值為0以及0.5，割線法初值設(shè)為：0,0.5以及0，0.2。拋物線法初值設(shè)

11、為：兩組初值為0,0.5,1以及0,0.25,0.5。牛頓法利用問(wèn)題二中的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0時(shí)初值為0.5時(shí)割線法利用問(wèn)題一中割線法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0，0.5時(shí)初值為0，0.2時(shí)拋物線法利用問(wèn)題一中拋物線法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0，0.5，1時(shí)初值為0，0.25，0.5時(shí)問(wèn)題四問(wèn)題描述根據(jù)題目要求對(duì)方程進(jìn)行構(gòu)造為：?jiǎn)栴}分析仍然利用問(wèn)題一中方法求解這一問(wèn)題，并利用圖解法找到初值，通過(guò)觀察圖像，newton法初值選取了兩組初值為0以及0.5，割線法初值設(shè)為：0，0.5和0，0.3。拋物線法初值設(shè)為：兩組初值為0

12、,0.2,0.4以及0，0.5，1。牛頓法利用問(wèn)題二中的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0時(shí)初值為0.5時(shí)割線法利用問(wèn)題一中割線法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0，0.5時(shí)初值為0，0.3時(shí)拋物線法利用問(wèn)題一中拋物線法的程序，在matlab軟件中執(zhí)行下列語(yǔ)句：初值為0，0.1，0.2時(shí)初值為0，0.5，1時(shí)5、 計(jì)算結(jié)果及分析Newton法割線法拋物線法問(wèn)題一0.2240.2240.224問(wèn)題二0.14660.14660.1466問(wèn)題三0.2240.2240.224問(wèn)題四0.224和0.1465772585571010.224和0.14660.224和0.146

13、6 問(wèn)題一 迭代步數(shù) 問(wèn)題二 迭代步數(shù) 問(wèn)題三迭代步數(shù) 問(wèn)題四迭代步數(shù)Newton法 6 5 37 8 9割線法 8 5 50 13 10拋物線法 9 5 63 14 13結(jié)果分析將Newton法，割線法，拋物線法進(jìn)行比較可以看到在本文題中，三種方法計(jì)算得到的最終結(jié)果基本相同，但是迭代步數(shù)有較大差別，綜合看來(lái)Newton法迭代步數(shù)最少，割線法次之，拋物線法最次。在各個(gè)問(wèn)題的研究中，我通常都會(huì)采用不同的初值，發(fā)現(xiàn)不同初值會(huì)對(duì)應(yīng)不同的迭代次數(shù)，另外針對(duì)問(wèn)題一，我選用了不同的精度，發(fā)現(xiàn)迭代次數(shù)并沒(méi)有很大的變化，因而一個(gè)初值的選定可以對(duì)迭代次數(shù)產(chǎn)生很大的影響，而精度的改變對(duì)迭代次數(shù)的影響很小。對(duì)每個(gè)算

14、法單獨(dú)來(lái)看，顯然選擇初值不同對(duì)于迭代步數(shù)影響較大，對(duì)于找到根也會(huì)有影響。因此應(yīng)該先通過(guò)畫(huà)圖確定根的大致位置，給出在其附近的初值。6、 心得體會(huì)在實(shí)現(xiàn)這三個(gè)算法的過(guò)程中，本身編程較易實(shí)現(xiàn)，最重要的是對(duì)算法本身的理解，只有真正理解算法的含義才能更快更好的實(shí)現(xiàn)程序。II、離散型最小二乘和連續(xù)型最小二乘問(wèn)題一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆詹⒛軌蚶秒x散型最小二乘和連續(xù)性最小二乘求解問(wèn)題。二、問(wèn)題描述1：以函數(shù)生成的6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（0.25,23.1）,（1.0,1.68）, （1.5,1.0）,（2.0,0.84）,（2.4,0.826）,（5.0,1.2576）為例，運(yùn)行程序得到不同階對(duì)應(yīng)的曲線擬合產(chǎn)生的多項(xiàng)式函數(shù)。2

15、. 例題：計(jì)算f(x)=exp(x)在-1，1上的二、三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。并畫(huà)圖進(jìn)行比較。三、問(wèn)題分析問(wèn)題1是離散最小二乘問(wèn)題。最小離散最小二乘就是根據(jù)一批有誤的數(shù)據(jù)（）i=1,2，n確定參數(shù)，并通過(guò)均方誤差來(lái)比較曲線擬合的優(yōu)劣，在本題中通過(guò)畫(huà)圖來(lái)比較不同階方程擬合效果的優(yōu)劣。選擇兩種方法實(shí)現(xiàn)離散最小二乘。方法一，建立normal equation(法方程組)，求解k次多項(xiàng)式系數(shù)。法方程組構(gòu)造方法： 方法二：由于在matlab中存在ployfit函數(shù)，可以即為方便的用k次多項(xiàng)式擬合。問(wèn)題2是一個(gè)連續(xù)型最小二乘法的應(yīng)用實(shí)例。對(duì)于給定的函數(shù)，如果存在使得則稱(chēng)S*(x)是f (x)在集合中的最佳

16、平方逼近函數(shù)。顯然，求最佳平方逼近函數(shù)的問(wèn)題可歸結(jié)為求它的系數(shù)，使多元函數(shù)取得極小值，也即點(diǎn)()是I (a0, ，an)的極點(diǎn)。由于I (a0, a1, ，an)是關(guān)于a0, a1, ，an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)取得極值的必要條件， (k = 0, 1, 2, , n)即得方程組如采用函數(shù)內(nèi)積記號(hào)那么，方程組可以簡(jiǎn)寫(xiě)為.（1）這是一個(gè)包含n + 1個(gè)未知元a0, a1, , an的n + 1階線性代數(shù)方程組，寫(xiě)成矩陣形式為 （2）此方程組叫做求aj (j = 0, 1, 2, , n)的法方程組。顯然，其系數(shù)行列式就是克萊姆行列式Gn = Gn (j0, j1, , jn)。由于j0, j1

17、, , jn線性無(wú)關(guān)，故Gn 0，于是上述方程組存在唯一解。從而肯定了函數(shù)f (x)在中如果存在最佳平方逼近函數(shù)，則必是 .（3）四、實(shí)驗(yàn)程序問(wèn)題一法一：離散最小二乘法function f=normalequation(n)syms tr=0;xx=0.25,1.0,1.5,2.0,2.4,5.0;yy=23.1,1.68,1.0,0.84,0.826,1.2576;x=zeros(n,n);y=zeros(n,1);for i=1:n for k=1:6 x(i,i)=xx(k).(2*i-2)+x(i,i); y(i,1)=yy(k).*xx(k).(i-1)+y(i,1); endend

18、for i=2:n for j=1:i-1 for k=1:6 x(i,j)=xx(k).(i+j-2)+x(i,j); x(j,i)=x(i,j); end endendz=xy;for i=1:n r=z(i,1)*t(i-1)+r;endvpa(r,5)法二:用matlab中的ployfit函數(shù)對(duì)k次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。建立number2.m文件，帶入如下：x=0.25,1.0,1.5,2.0,2.4,5.0;y=23.1,1.68,1.0,0.84,0.826,1.2576;plot(x,y,o)p1=polyfit(x,y,1) %利用線性擬合x(chóng)i=-0.25:0.01:6.0;y1=p

19、olyval(p1,xi);plot(x,y,o,xi,y1,r:);hold on;p2=polyfit(x,y,2) %二次擬合y2=polyval(p2,xi);plot(x,y,o,xi,y2,m);hold on;p3=polyfit(x,y,3) %三次擬合y3=polyval(p3,xi);plot(x,y,o,xi,y3,b:);hold on;p4=polyfit(x,y,4) %四次擬合y4=polyval(p4,xi);plot(x,y,o,xi,y4,c);hold on;p5=polyfit(x,y,5) %五次擬合y5=polyval(p5,xi);plot(x,y

20、,o,xi,y5,g);hold off;legend(初始點(diǎn),y=-2.3840*x+9.8499,初始點(diǎn),y=2.1793*x2-15.8845*x+22.3999,初始點(diǎn),y=-2.0143*x3+18.3499*x2-45.2167*x+32.7386,初始點(diǎn),y=1.4828*x4-16.0435*x3+56.3154*x2-79.4994*x+39.6688,初始點(diǎn),y=-0.9961*x5+12.1743*x4-55.2367*x3+116.6262*x2-116.7266*x+45.8090);問(wèn)題二：最佳平方逼近算法（1）輸入被逼近函數(shù)f(x)和對(duì)應(yīng)的逼近區(qū)間a,b并選擇逼近

21、函數(shù)系和權(quán)函數(shù)；（2）解方程組（1）或（2），其中方程組的系數(shù)矩陣和右端的項(xiàng)由式（3）得到；（3）由式（3）得到函數(shù)的最佳平方逼近。將上述算法編寫(xiě)成MATLAB程序共需三個(gè)程序：第一個(gè)程序（函數(shù)名Sapproach.m）計(jì)算最佳逼近函數(shù)的系數(shù)：function S=Sapproach(a,b,n) %定義逼近函數(shù)global i;global j; if nargin fun=exp(x); fplot(fun,-1,1) hold on xi=-1:0.1:1; yi=polyval(S,xi); plot(xi,yi,r:)得到以下結(jié)果：當(dāng)三次逼近時(shí)，有以下結(jié)果繪制圖形如下： fun=ex

22、p(x); fplot(fun,-1,1) hold on xi=-1:0.1:1; yi=polyval(S,xi); plot(xi,yi,r:)得到如下所得圖形：六、結(jié)果分析顯然離散最小二乘中次數(shù)較高擬合的效果較好，但由于本問(wèn)題中初始點(diǎn)較少，并不能完全反應(yīng)函數(shù)本身的特點(diǎn)，同時(shí)在本問(wèn)題中，選擇了兩種方式，結(jié)果接近，也可以互相驗(yàn)證正確性。在連續(xù)最小二乘法的實(shí)驗(yàn)中較順利的達(dá)到了預(yù)期的結(jié)果。從試驗(yàn)結(jié)果看出三次逼近沒(méi)有二次逼近效果理想，驗(yàn)證了最佳平方逼近理論。七、心得體會(huì) 在離散最小二乘與連續(xù)最小二乘程序設(shè)計(jì)的過(guò)程中，要么通過(guò)均差來(lái)表示函數(shù)擬合的優(yōu)劣，要么通過(guò)圖像來(lái)評(píng)價(jià)，本問(wèn)題中選擇了圖像，更加清

23、晰直觀。III、數(shù)值積分1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜げ⒄莆諗?shù)值積分的方法，重要訓(xùn)練復(fù)化梯形公式，復(fù)化simpson公式以及romberg積分。2、 問(wèn)題描述問(wèn)題三數(shù)值積分橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算?？紤]橢圓,為計(jì)算其周長(zhǎng),只要計(jì)算其第一象限的長(zhǎng)度即可.用參數(shù)方程可以表示為,計(jì)算公式為為計(jì)算方便,我們可以令,即計(jì)算下面的積分 (可以歸結(jié)為上面的形式)采用復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式以及Romberg積分的方法計(jì)算積分給出通用程序，該通用程序可以計(jì)算任何一個(gè)函數(shù)在任意一個(gè)區(qū)間在給定的精度下的數(shù)值積分。程序輸出為計(jì)算出的數(shù)值積分值以及計(jì)算函數(shù)值的次數(shù)。利用你的程序計(jì)算5個(gè)橢圓的周長(zhǎng)。3、 算法介紹首先利用給出的各

24、迭代公式，設(shè)計(jì)程序。在matlab對(duì)話框中輸入要計(jì)算的函數(shù)，給出區(qū)間和精度。復(fù)化梯形的迭代公式為：復(fù)化simpson迭代公式為：Romberg迭代公式為：4、 算法程序復(fù)化梯形公式和復(fù)化simpson公式我們放在jifen.m中。（%標(biāo)記后的程序可用來(lái)把b看為變量時(shí)的算法實(shí)現(xiàn)）%復(fù)化梯形公式function y=jifen(f,n,a,b) （說(shuō)明：f表示任一函數(shù)，n精度，a，b為區(qū)間）fi=f(a)+f(b);h=(b-a)/n;d=1;%function f=jifen(n,a,b,c)%syms t%y=sqrt(1+(c2-1)*cos(t)2);%ya=subs(y,t,a);%yb

25、=subs(y,t,b);%fi=ya+yb;for i=1:n-1 x=a+i*h; fi=fi+2*f(x); d=d+1; %yx=subs(y,t,x); %fi=fi+2*yx;endf4=h/2*fi,d%復(fù)化simposon公式f1=0;f2=0;dd=1;for i=1:n-1 dd=dd+1; if rem(i,2)=0; x1=a+i*h; f1=f1+f(x1); else rem(i,2)=0; x2=a+i*h; f2=f2+f(x2) ; end endf3=(h/3)*(f(a)+4*f1+2*f2+f(b),dd romberg積分建立romberg.m文件fu

26、nction y=romberg(f,n,a,b) （說(shuō)明：f表示任一函數(shù)，n精度，a，b為區(qū)間）z=zeros(n,n);h=b-a;z(1,1)=(h/2)*(f(a)+f(b);f1=0;for i=2:n for k=1:2(i-2) f1=f1+f(a+(k-0.5)*h); end z(i,1)=0.5*z(i-1,1)+0.5*h*f1; h=h/2; f1=0; for j=2:i z(i,j)=z(i,j-1)+(z(i,j-1)-z(i-1,j-1)/(4(j-1)-1); endendz,n5、 實(shí)驗(yàn)結(jié)果（1）對(duì)于復(fù)化梯形公式和復(fù)化simpson公式，我們運(yùn)行下列語(yǔ)句并得

27、到結(jié)果：題中將橢圓中的未知量a取為1，b取為0.5。f4為復(fù)化梯形公式得到的1/4個(gè)橢圓周長(zhǎng)，f3為復(fù)化simpson公式得到的1/4個(gè)橢圓周長(zhǎng)。從而得到橢圓的周長(zhǎng)為4*1.2111=4.8444 。（2） 對(duì)于romberg，運(yùn)行下列語(yǔ)句并最終得到結(jié)果為：題中將橢圓中的未知量a取為1，b取為0.5。用romberg算法對(duì)橢圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算的到橢圓的周長(zhǎng)為4.8442 。6、 結(jié)果分析我們計(jì)算了當(dāng)橢圓長(zhǎng)軸為1，短軸為0.5時(shí)的周長(zhǎng)。通過(guò)上述三種方法的計(jì)算可以看到，結(jié)果相差不大。根據(jù)橢圓周長(zhǎng)的一個(gè)計(jì)算公式我們可以得到L=4.283。因此三種方法都較好的接近真值。7、 心得體會(huì)我們應(yīng)該熟練掌握這三

28、種方法，才能在編程時(shí)正確快速的寫(xiě)出迭代公式。同時(shí)在一種思想的前提下可以尋找多種方法實(shí)現(xiàn)算法，互相驗(yàn)證，從而得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。IV、newton差值和hermite差值方法1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆詹⒛軌蚶胣ewton差值和hermite差值方法解決問(wèn)題。2、 問(wèn)題描述上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為采用三種方法中最好的方法計(jì)算這一積分(1)利用數(shù)值積分的方法給出在(可以直接計(jì)算精確值的，用精確值)，用Newton插值方法得到5個(gè)橢圓的周長(zhǎng)(2)利用數(shù)值積分的方法給出在(可以直接計(jì)算精確值的，用精確值)，用Hermite插值方法得到5個(gè)橢圓的周長(zhǎng)(3) 選做題：利用以及導(dǎo)數(shù)更多的值來(lái)進(jìn)行插值，插值誤差會(huì)有什么變化？(

29、4)選做題：采用其它的插值方法改進(jìn)插值的效果。3、 算法介紹a確定，對(duì)于給定的b值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)橢圓，在本問(wèn)題中用newton插值法和hermite得到的多項(xiàng)式代替橢圓周長(zhǎng)公式中的進(jìn)行積分，首先畫(huà)出圖像，選擇初始點(diǎn)。圖像的實(shí)現(xiàn)代碼見(jiàn)picture1.m。newton插值法迭代公式：Hermite法迭代公式：作圖時(shí)建立picture.m文件畫(huà)出和其導(dǎo)數(shù)圖像。（注：此圖像為b=0.5時(shí)）根據(jù)圖像，我們選取我們選取0,0.3,0.6,0.9,1.2,1.5為初始點(diǎn)。4、 算法程序（1）建立newtondedai1.m文件。function z=newtondedai1(f,n)syms xia=zer

30、os(n,n);x=0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5;y=feval(f,x);a(:,1)=y;for i=2:n for j=2:i a(i,j)=(a(i,j-1)-a(i-1,j-1)/(x(1,i)-x(1,i-j+1); endendt=xi-x(1,1);p=a(1,1);for i=2:n p=p+a(i,i)*t; t=t*(xi-x(1,i);endp=collect(vpa(p)（2）建立hermite3.m文件。function z=hermite3(fn,dfn,n)syms xia=zeros(2*n,2*n);x=0.3 0.6 0.9; xx=0.3

31、0.3 0.6 0.6 0.9 0.9;y=feval(fn,x);yy=feval(dfn,x); for i=1:n z(1,2*i)=x(1,i); z(1,2*i-1)=x(1,i); a(2*i,1)=y(1,i); a(2*i-1,1)=y(1,i); a(2*i,2)=yy(1,i); end for i=1:n if 2*i6 a(2*i+1,2)=(a(2*i+1,1)-a(2*i,1)/(z(1,2*i+1)-z(1,2*i); end end for i=3:(2*n) for j=3:i a(i,j)=(a(i,j-1)-a(i-1,j-1)/(z(1,i)-z(1,i

32、-j+1); end end p=a(1,1); t=xi-xx(1,1); for i=2:2*n p=a(i,i)*t+p; t=t*(xi-xx(1,i); end p=vpa(collect(p) %p=vpa(collect(p),8)5、 實(shí)驗(yàn)結(jié)果問(wèn)題（1）newton插值法，首先得到當(dāng)a=1，b=0.5時(shí)用newton插值得到的多項(xiàng)式逼近橢圓周長(zhǎng)表達(dá)式。執(zhí)行下列語(yǔ)句其中p所表示的多項(xiàng)式就是newton插值方法得到的多項(xiàng)式。若保留3位小數(shù)，既接下來(lái)將得到的p多項(xiàng)式，調(diào)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化simpson公式。說(shuō)明即對(duì)newton插值法在（0,2pi）上積分得到橢圓周長(zhǎng)為4.8440和4.8436 。問(wèn)題（2）hermite插值法首先得到當(dāng)a=1，b=0.5時(shí)用hermite插值得到的多項(xiàng)式逼近橢圓周長(zhǎng)表達(dá)式。其中p所表示的多項(xiàng)式就是hermite插值方法得到的多項(xiàng)式。接下來(lái)將得到的p多項(xiàng)式，調(diào)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化simpson公式。即對(duì)hermite插值法在（0,2pi）上調(diào)用復(fù)化梯形公式和復(fù)化simpson公式積分得到橢圓周長(zhǎng)為