必修三《..用樣本的頻率分布估計總體分布》教案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料2.2 用樣本估計總體2.2.1 用樣本的頻率分布估計總體分布整體設(shè)計教學(xué)分析 教科書通過探究欄目引導(dǎo)學(xué)生思考居民生活用水定額管理問題,引出總體分布的估計問題,該案例貫穿于本節(jié)始終.通過對該問題的探究,使學(xué)生學(xué)會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖.教科書在這里主要介紹有關(guān)頻率分布的列表和畫圖的方法,而關(guān)于頻率分布的隨機性和規(guī)律性方面那么給教師留下了較大的發(fā)揮空間.教師可以通過初中有關(guān)隨機事件的知識,也可以利用計算機多媒體技術(shù),引導(dǎo)學(xué)生進一步體會由樣本確定的頻率分布表和頻率分布直方圖的隨機性；通過初中有關(guān)頻率與概率之間的關(guān)系,了解頻率分布直方圖的規(guī)律性,

2、即頻率分布與總體分布之間的關(guān)系,進一步體會用樣本估計總體的思想. 由于樣本頻率分布直方圖可以估計總體分布,因此可以用樣本頻率分布特征來估計相應(yīng)的總體分布特征,這就提供了估計總體特征的另一種途徑,其意義在于：在沒有原始數(shù)據(jù)而僅有頻率分布的情況下,此方法可以估計總體的分布特征.三維目標1.通過實例體會分布的意義和作用,通過對現(xiàn)實生活的探究,感知應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的方法.2.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中,學(xué)會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.3.通過對樣本分析和總體估計的過程,感受數(shù)學(xué)對實際生活的需要,通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、

3、莖葉圖的各自特征,從而恰當?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布,準確地作出總體估計,認識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實,體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.重點難點教學(xué)重點：會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.教學(xué)難點:能通過樣本的頻率分布估計總佒的分布.課時安排 1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1 在NBA的2006賽季中,甲、乙兩名籃球運發(fā)動每場比賽得分的原始記錄如下甲運發(fā)動得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙運發(fā)動得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 請問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲、乙兩名運發(fā)動

4、哪一位發(fā)揮比擬穩(wěn)定？ 如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計總體分布板書課題.思路2 如下樣本是隨機抽取近年來北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫.7月25日至8月10日4193753573543723813473373333253463303083102863152888月8日至8月24日286315288332325303302298331328298256247300301295303 怎樣通過上表中的數(shù)據(jù),分析比擬兩時間段內(nèi)的高溫33 狀況？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計總體分布.思路3討論：我們要

5、了解我校學(xué)生每月零花錢的情況,應(yīng)該怎樣進行抽樣？提問：學(xué)習了哪些抽樣方法？一般在什么時候選取什么樣的抽樣方法呢?討論：通過抽樣方法收集數(shù)據(jù)的目的是什么？從中尋找所包含的信息,用樣本去估計總體指出兩種估計手段：一是用樣本的頻率分布估計總體的分布,二是用樣本的數(shù)字特征平均數(shù)、標準差等估計總體的數(shù)字特征.這就是我們這堂課要研究、學(xué)習的主要內(nèi)容用樣本的頻率分布估計總體分布.推進新課新知探究提出問題1我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,方案在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個居民月用水量標準a,用水量不超過a的局部按平價收費,超出a的局部按議價收費.如果

6、希望大局部居民的日常生活不受影響,那么標準a定為多少比擬合理呢？你認為,為了較合理地確定出這個標準,需要做哪些工作？讓學(xué)生展開討論2什么是頻率分布？3畫頻率分布直方圖有哪些步驟？4頻率分布直方圖的特征是什么？討論結(jié)果：1為了制定一個較為合理的標準a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況,比方月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式,通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況. 分析數(shù)據(jù)的一種根本方法是用圖將它們畫出來,或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,作圖可以到達兩個目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息.表格那么是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)

7、成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式. 下面我們學(xué)習的頻率分布表和頻率分布圖,那么是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況.2頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大??；一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.3其一般步驟為：計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖.4頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了. 同樣一組數(shù)據(jù),如果

8、組距不同,橫軸、縱軸的單位不同,得到的圖和形狀也會不同.不同的形狀給人以不同的印象,這種印象有時會影響我們對總體的判斷,分別以0.1和1為組距重新作圖,然后談?wù)勀銓D的印象.提出問題1什么是頻率分布折線圖？2什么是總體密度曲線？3對于任何一個總體,它的密度曲線是否一定存在？是否可以被非常準確地畫出來？4什么叫莖葉圖？畫莖葉圖的步驟有哪些？5莖葉圖有什么特征？討論結(jié)果：1連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.2在樣本頻率分布直方圖中,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠精確地反映總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提

9、供更加精細的信息.3實際上,盡管有些總體密度曲線是客觀存在的,但一般很難像函數(shù)圖象那樣準確地畫出來,我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計,一般來說,樣本容量越大,這種估計就越精確4當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示十位數(shù),即第一個有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示個位數(shù),即第二個有效數(shù)字,它的中間局部像植物的莖,兩邊局部像植物莖上長出來的葉子,因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.畫莖葉圖的步驟如下：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩局部,在此例中,莖為十位上的數(shù)字,葉為個位上的數(shù)字;將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列,寫在左(右)側(cè);將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右(左)側(cè).5用莖葉圖表示

10、數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄,隨時添加,方便記錄與表示.莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù),兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄,但是沒有表示兩個記錄那么直觀,清晰.莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的.莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成,沒有損失任何樣本信息,可以在抽樣的過程中隨時記錄(這對于教練員發(fā)現(xiàn)運發(fā)動現(xiàn)場狀態(tài)特別有用);而頻率分布表和頻率分布直方圖那么損失了樣本的一些信息,必須在完成抽樣后才能制作.正確利用三種分布的描述方法,都能得到一些有關(guān)分布的主要特

11、點(如分布是否具有單峰性、是否具有對稱性、樣本點落在各分組中的頻率等),這些主要特點受樣本的隨機性的影響比擬小,更接近于總體分布的相應(yīng)的特點.頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關(guān)系是顯然的,它們只不過是相同的數(shù)據(jù)的兩種不同的表達方式,莖葉圖和頻率分布表極為類似,事實上,莖相當于頻率分布表中的分組;莖上葉的數(shù)目相當于頻率分布表中指定區(qū)間組的頻數(shù).應(yīng)用例如思路1例1 有100名學(xué)生,每人只能參加一個運動隊,其中參加足球隊的有30人,參加籃球隊的有27人,參加排球隊的有23人,參加乒乓球隊的有20人.(1)列出學(xué)生參加運動隊的頻率分布表.(2)畫出頻率分布條形圖.解：(1)參加足球隊記為1,參加籃

12、球隊記為2,參加排球隊記為3,參加乒乓球隊記為4,得頻率分布表如下：試驗結(jié)果頻數(shù)頻率參加足球隊記為1300.30參加籃球隊記為2270.27參加排球隊記為3230.23參加乒乓球隊記為4200.20合 計1001.00(2)由上表可知頻率分布條形圖如下：例2 為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況,對某中學(xué)17歲的60名女生的身高進行了測量,結(jié)果如下：單位：cm154 159 166 169 159 156 166 162 158 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 159 154 165

13、 166 157 151 146 151 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 159 157 159 149 164 168 159 153 列出樣本的頻率分布表；繪出頻率分布直方圖.解：第一步,求極差：上述60個數(shù)據(jù)中最大為169,最小為146.故極差為：16914623 cm.第二步,確定組距和組數(shù),可取組距為3 cm,那么組數(shù)為,可將全部數(shù)據(jù)分為8組.第三步,確定組限：145.5,148.5),148.5,151.5),151.5,154.5),154.5,157.5),157.5,160.5),160.5,163.5),163.5,166.5

14、),166.5,169.5).第四步,列頻率分布表：分組個數(shù)累計頻數(shù)頻率145.5,148.5)10.017148.5,151.5)30.050151.5,154.5)60.100154.5,157.5)80.133157.5,160.5)180.300160.5,163.5)110.183163.5,166.5)100.167166.5,169.5)30.050合計601.000 第五步,根據(jù)上述數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖如下列圖： 以上例1和例2兩種情況的不同之處在于,前者的頻率分布表列出的是幾個不同數(shù)值的頻率,相應(yīng)的條形圖是用其高度表示取各個值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在不同區(qū)間內(nèi)取值

15、的頻率,相應(yīng)的直方圖是用圖外表積的大小來表示在各個區(qū)間內(nèi)取值的頻率. 我們在處理一個數(shù)理問題時可以采用樣本的頻率分布估計總體分布的方法,這是因為,頻率分布隨著樣本容量的增大更加接近于總體分布,當樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時,頻率分布的直方圖就演變成一條光滑的曲線總體密度曲線.這條曲線是客觀存在的,但是我們卻很難將它準確地畫出,我們只能用樣本的頻率分布去對它進行估計.基于頻率分布與相應(yīng)的總體分布有這種關(guān)系,再加上我們通常并不知道一個總體的分布,我們往往是從一個總體中抽取一個樣本,用樣本的頻率去估計相應(yīng)的總體分布.一般說來,樣本的容量越大,這種估計就越精確.例3 從某校高一年級的1 00

16、2名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為100的身高樣本,如下單位：cm作出該樣本的頻率分布表,并估計身高不小于170(cm)的同學(xué)所占的百分率168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174170165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159

17、155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166解：1在全部數(shù)據(jù)中找出最大值180與最小值151,它們相差極差29,決定組距為3；2將區(qū)間150.5,180.5分成10組；分別是150.5,153.5),153.5,156.5),177.5,180.5)；3從第一組150.5,153.5)開始分別統(tǒng)計各組的頻數(shù),再計算各組的頻率,列頻率分布表：分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率150.5,153.5)44004153.5,156.5)128008156.5,159.5)208008159.5,162.5)3111

18、011162.5,165.5)5322022165.5,168.5)7219019168.5,171.5)8614014171.5,174.5)937007174.5,177.5)974004177.5,180.5)1003003合計1001 根據(jù)頻率分布表可以估計,估計身高不小于170的同學(xué)所占的百分率為：0.14×+0.07+0.04+0.03×100%=21%點評：一般地,編制頻率分布表的步驟如下：1求極差,決定組數(shù)和組距；2分組,通常對組內(nèi)的數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間；3登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表思路2例1 下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出

19、的120人的身高(單位：cm).區(qū)間界限122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限142,146)146,150)150,154)154,158)人數(shù)116520(1)列出樣本頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題.解：1樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率122,126)50.04126,130)80.07130,134)100.08134,138)220.18138,142)330.28142,146)200.17146,

20、150)110.09150,154)60.05154,158)50.04合計12012其頻率分布直方圖如下：3由樣本頻率分布表可知身高小于134 cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所以我們估計身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.例2 為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取局部學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如下列圖),圖中從左到右各小長方形面積之比為24171593,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？2假設(shè)次數(shù)在110以上含110次為達標,試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標率是多少？分析：在頻率分布直

21、方圖中,各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,小長方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和等于1.解：1由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為：=0.08；又因為頻率=,所以樣本容量=150.2由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達標率約為×100%=88%.例3 甲、乙兩籃球運發(fā)動在上賽季每場比賽的得分如下,試比擬這兩位運發(fā)動的得分水平甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.解：畫出兩人得分的莖葉圖如下：從這個莖葉圖可以看出

22、甲運發(fā)動的得分大致對稱,平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都是30多分；乙運發(fā)動的得分除一個51外,也大致對稱,平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都是20多分,因此甲運發(fā)動發(fā)揮比擬穩(wěn)定,總體得分情況比乙好知能訓(xùn)練1.下面是甲、乙兩名運發(fā)動某賽季一些場次得分的莖葉圖,據(jù)下列圖可知 A.甲運發(fā)動的成績好于乙運發(fā)動 B.乙運發(fā)動的成績好于甲運發(fā)動C.甲、乙兩名運發(fā)動的成績沒有明顯的差異 D.甲運發(fā)動的最低得分為0分答案：A2.有一個容量為45的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的頻數(shù)如下：(12.5,15.5,3;(15.5,18.5, 8;(18.5,21.5,9;(21.5,24.5,11;(24.5,27.5,10;(27.5,3

23、0.5,4.由此估計,不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的 A.91% B.92% C.95% D.30%答案：A3.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：10,20,2；20,30,3；30,40,4；40,50,5；50,60,4；60,70,2.那么樣本在區(qū)間10,50上的頻率為 A.0.5 B.0.7 C.0.25 D.0.05答案：B4.一個高中研究性學(xué)習小組對本地區(qū)2000年至2002年快餐公司開展情況進行了調(diào)查,制成了該地區(qū)快餐公司個數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖如下列圖,根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯_萬盒 快餐公司個

24、數(shù)情況圖 快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況圖答案：85拓展提升 為了了解一大片經(jīng)濟林生長情況,隨機測量其中的100株的底部周長,得到如下數(shù)據(jù)表單位：cm.1359810211099121110961001031259711711311092102109104112109124871319710212310410412810512311110310592114108104102129126971001151111061171041091118911012180120121104108118129999099121123107111911009910111697102108101951071011021081179911810611997126108123119981211011131021031041081編制頻率分布表；2繪制頻率分布直方圖；3估計該片經(jīng)濟林中底部周長小于100 cm的樹木約占多少？周長不小于120 cm的樹木約占多少？解：1這組數(shù)據(jù)的最大值為135,最小值為80, 極差為55,可將其分為11組,組距為5頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率頻率/組距80,85)10.010.00285,90)20.020.00490,95)40.040.00895,100)140.1