計量經(jīng)濟學：第9章 多元回歸分析之序列相關

1、Multiple Regression Analysis多元回歸分析之序列相關Serial Correlation序列相關Chapter Outline本章大綱 Properties of OLS with Serially Correlated errors 誤差序列相關時OLS的性質(zhì) Testing for Serial Correlation 檢驗序列相關 Correcting for Serial Correlation with Strictly Exogenous Regressors 當自變量為嚴格外生時校正序列相關時間序列初步 時間序列數(shù)據(jù)反映某變量在時間上的變化 橫截面數(shù)據(jù)可

2、以理解為一個抽樣的結果，時間序列數(shù)據(jù)一般理解為一個隨機過程的一個實現(xiàn)。 The Nature of Time Series Data 時間序列數(shù)據(jù)的本質(zhì) A time series data set is a sequence of random variables indexed by time. 時間序列數(shù)據(jù)是以時間為指標的一個隨機變量序列。 Time series data set comes with a temporal ordering. 時間序列數(shù)據(jù)集伴隨著一個時間上的排序。時間序列數(shù)據(jù) 例：一個靜態(tài)模型 一個動態(tài)模型122,1,.,. . (0,)ttttyxe tTeii d

3、1ttttyyxe動態(tài)關系的三種描述 分布滯后模型（distributed lag model）12( ,)ttttyf x xx 自回歸（AR）和分布滯后模型（ARDL）12112(,)(,)ttttttttyf yyyf yx xx 序列相關21ijij( )(),. . .(0,)MR.4cov(y ,y )=cov(e ,e )=0 ijtttttttyf xeeg eii d 其中：無論哪種形式，都將違背無序列相關性序列相關序列相關性概念序列相關性概念 如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性，則認為出現(xiàn)是不相關的

4、，而是存在某種相關性，則認為出現(xiàn)了了序列相關性序列相關性。隨機項互不相關的基本假設表現(xiàn)為 Cov(ei , ej)=0 ij, i,j=1,2, ,t序列相關：它長什么樣？t122112y.eee.e,where . . .(0,).eautocorrelation)tkkttttqt qtttxxqii d被稱作是具有序列相關的誤差，如果被稱作是.自回歸階自回歸(A（R(q)序列相關：它長什么樣？t1tt-1ee,| |1. | |1e t-1e1ett多數(shù)情況我們考慮AR(1)模型，其中我們假定當成立時，我們稱是一個穩(wěn)定或平穩(wěn)過程。考慮在時期，增加 單位，而其它保持不變，這對隨后的 會產(chǎn)生

5、什么影響？t1121kt-kk1kkk21222422ktt kee,| |1. ee( e).=e.k,e0e.E(e )0Var(e )(1)1cov(e ,e)ttttttttttttttttttt AR(1)模型:其中我們假定當大綱 誤差序列相關的后果 檢驗序列相關 校正序列相關誤差序列相關時OLS的性質(zhì)：什么不受影響 序列相關時OLS仍然是無偏和一致的。 存在序列相關時，只要數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的而且是弱相關的(意味著xt 和xt+h 的相關性隨著h的增大而變得越來越弱)，擬合優(yōu)度仍然有效。 誤差序列相關時OLS的性質(zhì)：什么受影響 高斯-馬爾可夫定理要求誤差序列不相關，那么存在序列相關時，OL

6、S不再是BLUE，而且通常的OLS標準誤和檢驗統(tǒng)計量不再是有效的。 誤差序列相關時OLS的性質(zhì)：什么受影響 為了看清這一點，我們假定誤差項滿足AR(1)。12ee,where . . .(0,)ttttii dt12n1n2t 122nt 1t 12t 112t 1t 111 yeOLS0ear(b )ar bare .Since arear(e )2(e e),ar(e ) E(e ettnttttttnn tnnttttttjttjtj tttxxxVVxVxxVxx Vx xEV 在中考慮系數(shù)估計量的方差，簡單起見假定，那么我們有：我們需要得到和).tj2121111.2ar(e )(e

7、 )E(e e)cov(e ,e). Since ee( e).=e. , j1e cov(e ,e)E(e e)(ettttjttjtjtjtjtjtjtjjjtttjtjtjtjjttjttjtVVE 通過假定我們假設為常數(shù)，把它記作，也注意到由與 不相關，我們得到11122e.ee )(e ).tttjttjtjjtE 2122t 1t 122122211t 1t 12bar(b )are2.()0bnntttnn tjttjnntj tttVxVxx xxx 因此， 的方差為第一項是時 的方差，由于一般情形中，第二項不等于零，那么忽視序列相關的方差估計量將會是有偏的。類似于異方差whi

8、te一致標準誤，對上式進行估計可以得到Newey-West一致標準誤（或HAC異方差自相關一致標準誤） 當不等于0，通常的OLS標準差不再正確。t統(tǒng)計量也不再正確。 聯(lián)合假設的F和LM統(tǒng)計量也不再正確。序列相關性的檢驗1、檢驗AR(1)的序列相關 想要檢驗是否誤差是序列相關的 想要檢驗零假設：在et = et-1 + t, t =2, n 中 = 0 ，其中et 是模型的誤差項而t是iid的。即H0： = 0 當自變量為嚴格外生時，檢驗很直接。只要把殘差對滯后的殘差作回歸并使用t檢驗即可。例：菲利普斯曲線中通脹和失業(yè)的關系 同一時期內(nèi)失業(yè)率和通貨膨脹率之間有無替代關系? t12ttinfune

9、me例：畫出inf和unem的關系-404812165055606570758085909500UNEMINFVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb. C 1.053565 1.547957 0.6806170.4990UNEM0.502378 0.265562 1.891752 0.0639R-squared 0.062154 Adjusted R-squared0.044786 S.E. of regression2.971518 Sum squared resid476.8157 Log likelihood -139.4304 F-s

10、tatistic3.578726Durbin-Watson stat0.801482 Prob(F-statistic)0.063892例：畫出殘差和時間的關系-6-4-202468105055606570758085909500INF Residuals例:將殘差對它的滯后變量進行回歸R c R（1）VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C -0.1118080.317989-0.3516090.7265R(-1) 0.5724720.1083545.2833280.0000R-squared 0.344980 Adjusted R-sq

11、uared0.332621 S.E. of regression2.358132 Sum squared resid294.7216 Log likelihood -124.2058 F-statistic27.91356Durbin-Watson stat1.359288 Prob(F-statistic) 0.000002殘差之間存在正的序列相關。步驟t101(1)y,OLSe(2)eeet3tH0H0ttkxxttt-1t-1作 對的回歸，得到殘差作 對的回歸，得到的系數(shù) 及 統(tǒng)計量（ ） 檢驗，： ，：2、AR(1)序列相關的DW檢驗2tt-12tDurbinWaston(1950,1

12、951)DWeed= e序列相關的另一個檢驗是由和提出,因此被稱作是檢驗。檢驗統(tǒng)計量為。原假設：H0: =0AR(1)序列相關的DW檢驗22t-1ttt-1tt-1tt-1ee ,d2(1- ). cov(e ,e )0 d2; cov(e ,e )0 d2;td當 很大時，因此 近似為如果那么如果那么如果那么 如果存在完全一階正相關，如果存在完全一階正相關， 即即 =1，則，則 D.W. 0 完全一階負相關，完全一階負相關， 即即 = -1, 則則 D.W. 4 完全不相關，完全不相關， 即即 =0，則，則 D.W. 2 D.W檢驗步驟檢驗步驟:（1）計算DW值（2）給定，由樣本量n和解釋變

13、量個數(shù)k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（3）比較、判斷 若 0D.W.dL 存在正自相關 dLD.W.dU 不能確定 dU D.W.4dU 無自相關 4dU D.W.4 dL 不能確定 4dL D.W.4 存在負自相關 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 正相關不能確定無自相關不能確定負相關DW檢驗的評價 注意到DW檢驗的臨界值是在正態(tài)性假定下計算得到的。 臨界值的計算較困難，而t檢驗則更容易進行。 存在未知區(qū)域。 EVIEWS中的DW 3、AR(p)序列相關檢驗：序列相關檢驗：拉格朗日乘數(shù)（拉格朗日乘數(shù)（Lagrange multiplier）檢驗）檢驗 拉格朗日乘數(shù)檢驗克服了克

14、服了DW檢驗的缺陷檢驗的缺陷，適合于高階序列相關高階序列相關以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。 它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被稱為GB檢驗檢驗。 如果懷疑隨機擾動項存在p階序列相關階序列相關： 1122ppteee.etttt檢驗更高階的序列相關 和檢驗AR(1)同樣的方式檢驗AR(p)序列相關。 步驟1：將y對所有解釋變量作OLS回歸，保 存殘差。 步驟2: 將殘差對所有解釋變量和它自身的1到p階滯后變量作回歸。 步驟3：檢驗1 到 q 的聯(lián)合顯著性。檢驗更高階的序列相關 我們可以用F檢驗或LM檢驗，其中LM檢驗被稱作是Breusch-Go

15、dfrey檢驗而且為(n-p)R2 ，其中R2來自殘差回歸， LM統(tǒng)計量在零假設下服從 p個自由度的卡方分布。12211pp e.e.ettkktttxx例：菲利普斯曲線中通脹和失業(yè)的關系t12ttinfunemee有無高階序列相關性？例:將殘差對它的滯后變量和自變量進行回歸 r c unem r(-1) r(-2) r(-3)VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C 3.4230051.1825262.8946560.0057UNEM -0.6102310.204824-2.9792920.0045R(-1) 0.9904150.1184

16、828.3592000.0000R(-2) -0.4503260.141769-3.1764800.0026R(-3) 0.4520390.1078874.1899250.0001聯(lián)合顯著性檢驗WALD檢驗 F=30.5，有高階序列相關性。序列相關的補救 如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發(fā)展新的方法估計模型。 最常用的方法是廣義最小二乘法廣義最小二乘法（GLS: Generalized least squares）和廣義差分法廣義差分法(Generalized Difference)。序列相關的補救序列相關的補救 AR(1)的修正：廣義最小二乘法122ee,1,2,(e )1ttttt

17、Var 12112111121111112e(1)e(2)(1)(2)(1)()(ee)()ee. .(1),2ttttttttttttttttttttttttyxyxyyxxyyyxxxii dyxt 新的方程消除了序列相關。 第一個觀測值1121122222112112221111112112112222112e1,1111e11,e1e1e(e )( 1e )(1)1yxyxyyxxyxVarVar 兩邊乘以有令 ， 有:12(1),2OLSGLSBLUEtttyxt 將加上第一觀測值的處理一起，用估計，就是估計量，是估計量。但是，怎么得到可行GLS估計2kttt1t11jj1j11t11t12