航天器動(dòng)力學(xué)課件3

1、第三章第三章 航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)3.1 航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2 航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)3.3 航天器的一般運(yùn)動(dòng)方程航天器的一般運(yùn)動(dòng)方程3.4 姿態(tài)干擾力矩姿態(tài)干擾力矩 航天器的航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究航天是從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究航天器的運(yùn)動(dòng)，它只討論航天器運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，不涉及產(chǎn)器的運(yùn)動(dòng)，它只討論航天器運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，不涉及產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)和改變運(yùn)動(dòng)的原因；而航天器的生運(yùn)動(dòng)和改變運(yùn)動(dòng)的原因；而航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)則是則是研究航天器繞其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)和性質(zhì)。所以航天器姿研究航天器繞其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)和性質(zhì)。所以

2、航天器姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程須由兩部分組成，一部分為通過(guò)坐標(biāo)變換態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程須由兩部分組成，一部分為通過(guò)坐標(biāo)變換關(guān)系得出的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，另一部分則是以牛頓動(dòng)力學(xué)定關(guān)系得出的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，另一部分則是以牛頓動(dòng)力學(xué)定律律( (如動(dòng)量矩定律如動(dòng)量矩定律) )為基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)方程。為基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)方程。 本章中將航天器視作剛體。本章中將航天器視作剛體。第三章第三章 天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)3.1.1 常用參考坐標(biāo)系常用參考坐標(biāo)系 坐標(biāo)系形式很多，每種坐標(biāo)系都有其自己的特點(diǎn)，坐標(biāo)系形式很多，每種坐標(biāo)系都有其自己的特點(diǎn)，因此也就只適用于一定的范圍，所以根據(jù)具體情況選擇因此也就只適用于一定的范圍，所

3、以根據(jù)具體情況選擇坐標(biāo)系是必要的。一般來(lái)說(shuō)，討論航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)常用坐標(biāo)系是必要的。一般來(lái)說(shuō)，討論航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)常用的坐標(biāo)系，主要有的坐標(biāo)系，主要有4 4種。種。3.1 航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué) 1 1慣性坐標(biāo)系慣性坐標(biāo)系 所有的運(yùn)動(dòng)都要參照的基本坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系，所有的運(yùn)動(dòng)都要參照的基本坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系， 2 2質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系 這是一個(gè)與慣性坐標(biāo)系密切相關(guān)的坐標(biāo)系。原點(diǎn)這是一個(gè)與慣性坐標(biāo)系密切相關(guān)的坐標(biāo)系。原點(diǎn)O O位位于航天器質(zhì)心，于航天器質(zhì)心，OXOX，OYOY，OZOZ軸分別與某一慣性坐標(biāo)系的軸分別與某一慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸保持平行。坐標(biāo)軸保持平行。 3 3質(zhì)

4、心軌道坐標(biāo)系質(zhì)心軌道坐標(biāo)系 簡(jiǎn)稱(chēng)軌道坐標(biāo)系。這是一個(gè)以航天器質(zhì)心為原點(diǎn)的簡(jiǎn)稱(chēng)軌道坐標(biāo)系。這是一個(gè)以航天器質(zhì)心為原點(diǎn)的正交坐標(biāo)系，如圖正交坐標(biāo)系，如圖3 31 1所示。所示。 OXYZ質(zhì)心軌道坐標(biāo)系4 4本體坐標(biāo)系本體坐標(biāo)系OxyzOxyz 又稱(chēng)為星體坐標(biāo)系。在此坐標(biāo)系中，原點(diǎn)又稱(chēng)為星體坐標(biāo)系。在此坐標(biāo)系中，原點(diǎn)0 0在航天器在航天器質(zhì)心，質(zhì)心，OxOx，OyOy，OzOz三軸固定在航天器本體上。若三軸固定在航天器本體上。若OxOx，OyOy，OzOz三軸為航天器的慣量主軸，則該坐標(biāo)系稱(chēng)為主軸坐三軸為航天器的慣量主軸，則該坐標(biāo)系稱(chēng)為主軸坐標(biāo)系。標(biāo)系。3.1.2 3.1.2 航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

5、航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 在坐標(biāo)系確定以后，航天器上任何一點(diǎn)的位置就可在坐標(biāo)系確定以后，航天器上任何一點(diǎn)的位置就可以在固聯(lián)于星體的本體坐標(biāo)系以在固聯(lián)于星體的本體坐標(biāo)系OxyzOxyz中表示；若要描述三中表示；若要描述三軸穩(wěn)定航天器的對(duì)地定向運(yùn)動(dòng)，則要借助于質(zhì)心軌道坐軸穩(wěn)定航天器的對(duì)地定向運(yùn)動(dòng)，則要借助于質(zhì)心軌道坐標(biāo)系標(biāo)系 ；若要討論自旋衛(wèi)星的章動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，就必；若要討論自旋衛(wèi)星的章動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，就必須運(yùn)用質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系須運(yùn)用質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系OXYZOXYZ。而各種坐標(biāo)系之間的關(guān)系。而各種坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以通過(guò)一系列旋轉(zhuǎn)角來(lái)表示，這些旋轉(zhuǎn)角稱(chēng)為歐拉角可以通過(guò)一系列旋轉(zhuǎn)角來(lái)表示，這些旋轉(zhuǎn)角稱(chēng)為歐拉角。具體

6、地說(shuō)可以通過(guò)。具體地說(shuō)可以通過(guò)3 3個(gè)歐拉角個(gè)歐拉角 , , , , 來(lái)確定本體坐來(lái)確定本體坐標(biāo)系標(biāo)系OxyzOxyz相對(duì)于其他坐標(biāo)系的位置。相對(duì)于其他坐標(biāo)系的位置。000Ox y z 以坐標(biāo)系以坐標(biāo)系OxyzOxyz和和OXYZOXYZ為例，星體軸的位置可通過(guò)為例，星體軸的位置可通過(guò)3 3次次旋轉(zhuǎn)達(dá)到旋轉(zhuǎn)達(dá)到OXYZOXYZ坐標(biāo)軸的位置。旋轉(zhuǎn)順序具有多種形式，坐標(biāo)軸的位置。旋轉(zhuǎn)順序具有多種形式，但不能繞一個(gè)軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩次，因?yàn)檫B續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)等同但不能繞一個(gè)軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩次，因?yàn)檫B續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)等同于繞這個(gè)軸的一次旋轉(zhuǎn)。為此可以得出兩類(lèi)于繞這個(gè)軸的一次旋轉(zhuǎn)。為此可以得出兩類(lèi)1212種可能的種可能的旋轉(zhuǎn)

7、順序如下：旋轉(zhuǎn)順序如下： 一類(lèi)：一類(lèi)：1-2-31-2-3， l-3-2l-3-2，2-3-12-3-1，2-1-32-1-3，3-1-23-1-2，3-2-13-2-1； 二類(lèi)：二類(lèi)：3-1-33-1-3， 2-l-22-l-2，1-2-11-2-1，3-2-33-2-3，2-3-22-3-2，1-3-11-3-1。顯然，一類(lèi)是每軸僅旋轉(zhuǎn)一次，二類(lèi)是某一軸不連續(xù)地顯然，一類(lèi)是每軸僅旋轉(zhuǎn)一次，二類(lèi)是某一軸不連續(xù)地旋轉(zhuǎn)兩次。下面詳細(xì)介紹被稱(chēng)為經(jīng)典歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)順序的旋轉(zhuǎn)兩次。下面詳細(xì)介紹被稱(chēng)為經(jīng)典歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)順序的“3-1-3”3-1-3”旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)和“1-2-3”1-2-3”旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。 1 1“3-1

8、-3”3-1-3”旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) (1)OXYZ(1)OXYZ一繞一繞OZ (“3”)OZ (“3”)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 角角 ：如圖：如圖3 32 2所示，這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換矩陣為所示，這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換矩陣為 (3.1)(3.1)cossin0sincos0001XXYYZZ O (2) (2) 繞繞 (“1”)(“1”)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 角角 ：如圖：如圖3 33 3所示，這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換矩陣為所示，這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換矩陣為 (3.2)(3.2)1000cossin0sincosO OO (3) (3) 繞繞 (“3”)(“3”)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 角角 ：如：如圖圖3 34 4所示，這是最后一次旋轉(zhuǎn)，

9、此時(shí)已達(dá)到了航天器所示，這是最后一次旋轉(zhuǎn)，此時(shí)已達(dá)到了航天器的本體坐標(biāo)系的本體坐標(biāo)系OxyzOxyz。兩者的變換矩陣可推導(dǎo)為。兩者的變換矩陣可推導(dǎo)為 (3.3)(3.3)OOOxyzcossin0sincos0001xyz 綜合以上變換，坐標(biāo)系綜合以上變換，坐標(biāo)系OXYZOXYZ與與OxyzOxyz之間的直接轉(zhuǎn)換之間的直接轉(zhuǎn)換關(guān)系即為關(guān)系即為 ZYXzyx 若令若令 , ,則通過(guò)則通過(guò)A A可以把質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系可以把質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系OXYZOXYZ中表示的矢量分量變換成為本體坐標(biāo)系中表示的矢量分量變換成為本體坐標(biāo)系OxyzOxyz中表示的分中表示的分量，即量，即 (3.4)(3.4) A ZYX

10、zyxA 若坐標(biāo)系若坐標(biāo)系OzyzOzyz中的分量已知，需要確定坐標(biāo)系中的分量已知，需要確定坐標(biāo)系OXYZOXYZ中的分量，則利用兩個(gè)坐標(biāo)系之間正交變換的逆矩陣就中的分量，則利用兩個(gè)坐標(biāo)系之間正交變換的逆矩陣就等于它的轉(zhuǎn)置矩陣這一性質(zhì)，即等于它的轉(zhuǎn)置矩陣這一性質(zhì)，即得到得到 （3.53.5）1TAA zyxZYXTA其中其中 （3.63.6） (3.7)(3.7) coscossinsinsinsincoscoscoscossinsinsincoscoscossinsinsincoscossinsincossincossincoscosA cossincossinsincossincoscos

11、cossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincoscosTA 這樣，利用經(jīng)典歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)這樣，利用經(jīng)典歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò) 3 3個(gè)歐拉個(gè)歐拉角就將航天器的本體坐標(biāo)系角就將航天器的本體坐標(biāo)系OxyzOxyz和質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系相互和質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系相互聯(lián)系起來(lái)了。聯(lián)系起來(lái)了。 基于歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)順序基于歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)順序”3-1-3”3-1-3”，可以進(jìn)一步將航天器，可以進(jìn)一步將航天器的空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在本體坐標(biāo)系中的分量在本體坐標(biāo)系中的分量 用用歐拉角表示，從而推導(dǎo)出航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。歐拉角表示，從而推導(dǎo)出航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

12、,zyx,中國(guó)新一代通信衛(wèi)星中國(guó)新一代通信衛(wèi)星-東方紅三號(hào)東方紅三號(hào) 如圖如圖3 35 5所示。將角速度所示。將角速度 沿沿 和和 軸分解，軸分解，則則 , , 和和 在正交坐標(biāo)系在正交坐標(biāo)系 中的分量分別為：中的分量分別為：軸為軸為 ， 軸為軸為 ， 軸為軸為 。再將。再將 軸和軸和 軸分量按軸分量按OxOx和和OyOy軸分解，其結(jié)果表示如下軸分解，其結(jié)果表示如下： (3.8)(3.8)OOOOsincos cossincossincossinsinzyxOOOO或者以逆形式表示，即或者以逆形式表示，即 （3.93.9） 式式(3(38)8)或或(3(39)9)即為航天器的一組姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)即為

13、航天器的一組姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。方程。 csc)cossin(sincoscot)cossin(yxyxyxz 2.“1-2-3” 2.“1-2-3”旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 類(lèi)似地，也可以通過(guò)歐拉類(lèi)似地，也可以通過(guò)歐拉“1-2-3”1-2-3”旋轉(zhuǎn)將航天器的旋轉(zhuǎn)將航天器的不同坐標(biāo)系相互聯(lián)系起來(lái)。例如從不同坐標(biāo)系相互聯(lián)系起來(lái)。例如從 出發(fā)，進(jìn)行以出發(fā)，進(jìn)行以下下3 3次旋轉(zhuǎn)：次旋轉(zhuǎn)： (1) (1) 繞繞 (“l(fā)”)(“l(fā)”)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角 (2) (2) 繞繞 (“2”)(“2”)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角 (3) (3) 繞繞 (“3”)(“3”)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角于是坐標(biāo)系于是坐標(biāo)系OxyzOxyz和和 之間的坐標(biāo)變換關(guān)系即為之間的坐

14、標(biāo)變換關(guān)系即為 (3.10)(3.10)000zyOx0OxOO000zyOxOOOOOOxyz000zyOx000zyxzyxB (3.11) (3.11) 式中式中 (3.12)(3.12) zyxzyxTB000coscoscossinsinsincossinsinsincoscoscossincoscossinsinsinsincoscossinsinsinsincoscoscoscoscossinsincossinsinsincoscoscossinsinsinsincossinsinsincoscossincoscossinsincoscososTBB 同樣可得按照同樣可得按照2-

15、3-12-3-1，3-1-23-1-2，1-3-21-3-2，2-1-32-1-3，3-3-2-12-1等不同轉(zhuǎn)動(dòng)順序的變換關(guān)系。當(dāng)?shù)炔煌D(zhuǎn)動(dòng)順序的變換關(guān)系。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，即在小角度變化情況下，即在小角度變化情況下， 可近似為可近似為 (3(313)13) 其中歐拉角其中歐拉角 分別稱(chēng)為俯仰角、偏航角和滾動(dòng)角分別稱(chēng)為俯仰角、偏航角和滾動(dòng)角，而，而OzOz，oyoy，OzOz軸分別稱(chēng)為航天器的滾動(dòng)軸、俯仰軸和軸分別稱(chēng)為航天器的滾動(dòng)軸、俯仰軸和偏航軸。偏航軸。rad1,B111B,相應(yīng)地，利用相應(yīng)地，利用“l(fā)-2-3”l-2-3”姿態(tài)角也可以將姿態(tài)角也可以將 的分量的分量表示出來(lái)，得到另一組航天器的

16、姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即表示出來(lái)，得到另一組航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即 (3(314)14)或者以逆形式表示為或者以逆形式表示為 (3(315)15)zyx,tan)sincos(cossincos/ )sincos(yxzyxyxsincoscossinsincoscoszyx衛(wèi)星的動(dòng)畫(huà) 作為剛體的航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)是以剛體的動(dòng)量矩作為剛體的航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)是以剛體的動(dòng)量矩定理為基礎(chǔ)的。因此在確定了描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的各定理為基礎(chǔ)的。因此在確定了描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的各種坐標(biāo)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)之后，了解剛體的動(dòng)量矩定理就成為種坐標(biāo)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)之后，了解剛體的動(dòng)量矩定理就成為研究航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要條件

17、。研究航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要條件。3.2 航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué) 3.2.1 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 首先考察質(zhì)點(diǎn)，如圖首先考察質(zhì)點(diǎn)，如圖3 36 6所示，力所示，力 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn) 的矩的矩 (3(316)16)其中矢徑其中矢徑 ，且，且A A在力的作用線上。因此，力矩矢量在力的作用線上。因此，力矩矢量 ，垂直于由，垂直于由 和和 作用線組成的平面作用線組成的平面, ,并且并且的指向按右手規(guī)則來(lái)確定。類(lèi)似地，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的指向按右手規(guī)則來(lái)確定。類(lèi)似地，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)0 0的矩可表示成的矩可表示成 (3(317)17)它垂直于質(zhì)點(diǎn)的矢徑它垂直于質(zhì)點(diǎn)的矢徑 和動(dòng)量和動(dòng)量 所組成的平

18、面，且所組成的平面，且 的指向也由右手規(guī)則確定。的指向也由右手規(guī)則確定。FOFrFm)(oOAr)(FmorFvm)(Fmovrvmmmo)()( vmmorvm 靜力學(xué)里曾指出，力對(duì)于通過(guò)點(diǎn)靜力學(xué)里曾指出，力對(duì)于通過(guò)點(diǎn)O O的任一軸，例如的任一軸，例如OzOz軸軸的矩，等于它對(duì)點(diǎn)的矩，等于它對(duì)點(diǎn)O O的矩在該軸上的投影的矩在該軸上的投影，并且可以寫(xiě)成，并且可以寫(xiě)成 = =該動(dòng)量矩具有量綱該動(dòng)量矩具有量綱在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的常用單位是在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的常用單位是 。12時(shí)間長(zhǎng)度質(zhì)量時(shí)間長(zhǎng)度質(zhì)量長(zhǎng)度動(dòng)量矩)1212smkg（秒米千克zo)(Fm)(Fmz設(shè)坐標(biāo)系設(shè)坐標(biāo)系OzyzOzyz

19、是固定直角坐標(biāo)系，以矢徑是固定直角坐標(biāo)系，以矢徑r r與牛頓第二定與牛頓第二定律的方程作叉乘，有律的方程作叉乘，有 等號(hào)右端就是力等號(hào)右端就是力F F對(duì)原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O O的矩的矩 ，左端可以改造為，左端可以改造為但但 ，所以上式等號(hào)右端第二項(xiàng)等于零，所以上式等號(hào)右端第二項(xiàng)等于零( (兩個(gè)平行矢兩個(gè)平行矢量的叉積等于零量的叉積等于零) )，而第一項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，而第一項(xiàng)就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O O的動(dòng)量矩矢的動(dòng)量矩矢量量 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。于是得對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。于是得 Frvr)(mdtd)(Fmovrvrvrmdtdmdtdmdtd)()(vrdtd)( vmmo (3(318)18)即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意固定點(diǎn)的動(dòng)量矩

20、對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于該質(zhì)即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于該質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一點(diǎn)的矩。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。點(diǎn)所受的力對(duì)同一點(diǎn)的矩。這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。若若 =O=O，則，則 = =常矢量。即若質(zhì)點(diǎn)所受的合力常矢量。即若質(zhì)點(diǎn)所受的合力對(duì)某固定點(diǎn)的矩恒等于零，則對(duì)某固定點(diǎn)的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。該結(jié)論說(shuō)明了質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。該結(jié)論說(shuō)明了質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒的條件。守恒的條件。 動(dòng)量矩定理很容易由質(zhì)點(diǎn)推廣到質(zhì)點(diǎn)系。按式動(dòng)量矩定理很容易由質(zhì)點(diǎn)推廣到質(zhì)點(diǎn)系。按式(3(318)18)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出動(dòng)量矩方程，然后相加，得對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出動(dòng)量矩方程

21、，然后相加，得 )()(Fmvmoomdtd)(Fmo)( vmmo)()()(Fmmvmdtdmvmdtdooo其中末等號(hào)左端方括號(hào)中就是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)其中末等號(hào)左端方括號(hào)中就是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O O的動(dòng)的動(dòng)量矩，用量矩，用H Ho o代表，即代表，即 等號(hào)右端等于質(zhì)點(diǎn)系所受合外力對(duì)點(diǎn)等號(hào)右端等于質(zhì)點(diǎn)系所受合外力對(duì)點(diǎn)O O之矩的矢量和，用之矩的矢量和，用M Mo o代表。內(nèi)力成對(duì)地出現(xiàn)，它們對(duì)任一點(diǎn)之矩的矢量和代表。內(nèi)力成對(duì)地出現(xiàn)，它們對(duì)任一點(diǎn)之矩的矢量和恒等于零。于是有恒等于零。于是有 (3(319)19)可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量

22、矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受全體外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量代數(shù)和。于該質(zhì)點(diǎn)系所受全體外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量代數(shù)和。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理。 特殊情況：若特殊情況：若 ，則，則H Ho o = =常矢量。常矢量。 )(mvmHoooooMFmdtdH)(0)(Fmo3.2.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程 設(shè)航天器在空間以角速度設(shè)航天器在空間以角速度 旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)量矩為旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)量矩為H Ho o。為了方便起見(jiàn)，基準(zhǔn)點(diǎn)選航天器本體坐標(biāo)系為了方便起見(jiàn)，基準(zhǔn)點(diǎn)選航天器本體坐標(biāo)系OxyzOxyz的原點(diǎn)的原點(diǎn)，也即航天器質(zhì)心，也即航天器質(zhì)心0 0，M M是作用在航天器相對(duì)于質(zhì)心是作

23、用在航天器相對(duì)于質(zhì)心0 0的合的合外力矩，所以航天器的動(dòng)量矩即為外力矩，所以航天器的動(dòng)量矩即為 (3(320)20)式中，矢量式中，矢量r r是剛體內(nèi)相對(duì)于質(zhì)心的矢徑；是剛體內(nèi)相對(duì)于質(zhì)心的矢徑；dr/dtdr/dt是質(zhì)量是質(zhì)量元元dmdm在空間相對(duì)于質(zhì)心的速度矢量；在空間相對(duì)于質(zhì)心的速度矢量；m m為航天器的總質(zhì)量為航天器的總質(zhì)量。于是在本體坐標(biāo)系中，剛體的。于是在本體坐標(biāo)系中，剛體的 和和M M可以分別表可以分別表示成示成 dmdtdrrHmrH, (3.21) (3.22) (3.23) (3.24)式中，式中， 是航天器本體坐標(biāo)系各軸的單位矢量，上兩是航天器本體坐標(biāo)系各軸的單位矢量，上兩

24、式右端的系數(shù)則是相應(yīng)矢量沿各坐標(biāo)軸的分量。將式（式右端的系數(shù)則是相應(yīng)矢量沿各坐標(biāo)軸的分量。將式（3.21）對(duì)時(shí)間）對(duì)時(shí)間t求取導(dǎo)數(shù)，求動(dòng)量矩求取導(dǎo)數(shù)，求動(dòng)量矩H H在空間的變化率，在空間的變化率，即即 (3.25)由于剛體在空間中以的角速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以與其固連由于剛體在空間中以的角速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以與其固連的本體坐標(biāo)系各軸方向也在相應(yīng)變化。的本體坐標(biāo)系各軸方向也在相應(yīng)變化。kjizyxkjiHzyxhhhkjirzyxkjiMzyxmmmkj,i,dtdhdtdhdtdhhhhdtdzyxzyxkjikjiH以知坐標(biāo)軸單位矢量的導(dǎo)數(shù)公式是以知坐標(biāo)軸單位矢量的導(dǎo)數(shù)公式是 (3.26)代入式代入

25、式(3.25),并根據(jù)動(dòng)量矩定理得并根據(jù)動(dòng)量矩定理得 (3.27)因因 所以式（所以式（3.27）在航天器本體坐標(biāo)系中可以展開(kāi)為）在航天器本體坐標(biāo)系中可以展開(kāi)為iidtdjjdtdkkdtdHHHMdtdkjiH)()()(xyyxzxxzyzzyhhhhhhkjikjiM)()()(xyyxzzxxzyyzzyxzyxhhhhhhhhhMMM其在各軸的分量表示為其在各軸的分量表示為 (3.29a)或表示成矩陣矢量形式，即或表示成矩陣矢量形式，即 (3.29b)式式(3.29a)或或(3.29b)稱(chēng)為歐拉力矩方程式。稱(chēng)為歐拉力矩方程式。xyyxzzzxxzyyyzzyxxhhhMhhhMhhh

26、MzyxxyxzyzzyxzyxhhhhhhMMM000同理，對(duì)式同理，對(duì)式(3.23)求導(dǎo)也可得求導(dǎo)也可得 若剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的位置不變，式若剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的位置不變，式(3.20)描述描述的動(dòng)量矩即為的動(dòng)量矩即為 (3.30)利用矢量叉乘公式，有利用矢量叉乘公式，有 代入代入(3.30)，并考慮到式，并考慮到式(3.22),則則 rrr dtddmmr)(rHjir)(r)()()()()()(2222yzzxxyxzxyzyzyxzyxk)()()(22yxyzxyzyx （3.31a3.31a）即即 (3.13b)(3.13b)式中，式中，I I為慣性矩陣；為慣性矩陣；I

27、x,Iy,IzIx,Iy,Iz分別為剛體繞坐標(biāo)軸分別為剛體繞坐標(biāo)軸Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 稱(chēng)為稱(chēng)為慣量積慣量積。它們分別。它們分別為為 zzyyzxxzzzyzyyzxyyzxzyxyxxxIIIhIIIhIIIhzyxdefzyxzyzxzyzyxyxzxyxzyxIIIIIIIIIhhhIxzyzxyIII,22()xmIyzdm22()ymIxzdm22()zmIyxdmmxydmxyI)(myzdmyzI)(mxzdmxzI)(慣量積的數(shù)值可正可負(fù)，它們與坐標(biāo)系的選取密切有關(guān)慣量積的數(shù)值可正可負(fù)，它們與坐標(biāo)系的選取密切有關(guān)。如果在某一坐標(biāo)系中，。如果在

28、某一坐標(biāo)系中， ，則該坐標(biāo)系稱(chēng)為，則該坐標(biāo)系稱(chēng)為主軸坐標(biāo)系，主軸坐標(biāo)系，OX,Oy,OzOX,Oy,Oz軸就是剛體的主慣量軸。軸就是剛體的主慣量軸。因此，如果取航天器的本體坐標(biāo)系為主軸坐標(biāo)系，則有因此，如果取航天器的本體坐標(biāo)系為主軸坐標(biāo)系，則有 （3.323.32）把它們代人歐拉力矩方程把它們代人歐拉力矩方程(3(329)29)，并忽略質(zhì)量變化就可，并忽略質(zhì)量變化就可以以得到以以得到 (3(333)33)這就是基于本體坐標(biāo)系的航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程組，這就是基于本體坐標(biāo)系的航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程組，也稱(chēng)為歐拉動(dòng)力學(xué)方程。也稱(chēng)為歐拉動(dòng)力學(xué)方程。 0 xzyzxyIIIzzzyyyxxxIhIhI

29、hzxyyxzzyzxzxyyxyzzyxxMIIdtdIMIIdtdIMIIdtdI)()()(3.3.1 六自由度運(yùn)動(dòng)方程六自由度運(yùn)動(dòng)方程 設(shè)作為剛體的航天器質(zhì)量為設(shè)作為剛體的航天器質(zhì)量為m m，質(zhì)心為，質(zhì)心為O O，坐標(biāo)系是，坐標(biāo)系是質(zhì)心軌道坐標(biāo)系，坐標(biāo)系質(zhì)心軌道坐標(biāo)系，坐標(biāo)系OxyzOxyz是本體坐標(biāo)系，且坐標(biāo)軸是本體坐標(biāo)系，且坐標(biāo)軸OxOx，OyOy，OzOz取為航天器主慣量軸，坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系取為航天器主慣量軸，坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系，F(xiàn) F是所有作用在航天器上的合外力矢量，是所有作用在航天器上的合外力矢量，M M是所有作用是所有作用在航天器上相對(duì)于在航天器上相對(duì)于O O點(diǎn)的合外力矩

30、矢量。點(diǎn)的合外力矩矢量。 根據(jù)牛頓第二定律，相對(duì)于質(zhì)心根據(jù)牛頓第二定律，相對(duì)于質(zhì)心O O的動(dòng)力學(xué)方程在慣的動(dòng)力學(xué)方程在慣性坐標(biāo)系中的投影式為性坐標(biāo)系中的投影式為 (3.34)(3.34)式中，式中， 為為F F在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系 各軸上的投影分量。各軸上的投影分量。 3.3 航天器的一般運(yùn)動(dòng)方程航天器的一般運(yùn)動(dòng)方程zyxFzmFymFxm zyxFFF,XYZO實(shí)際上，式實(shí)際上，式(3(334)34)當(dāng)中的由式當(dāng)中的由式(2(27)7)、(2(28)8)和和(2(29)9)表示，即表示，即 (2(28) 8) (2 (27)7) (2 (29)9)而在第二章中討論的二體軌道運(yùn)動(dòng)方程式而在第二章中

31、討論的二體軌道運(yùn)動(dòng)方程式(2(221)21)正是式正是式(3(334)34)在以下特殊條件下的極坐標(biāo)形式：在以下特殊條件下的極坐標(biāo)形式： (1)(1)式式(2(27)7)中中n=2n=2； (2)(2)式式(2(28)8)中中 = 0= 0。其他FFFg)(13jinijjjijigrmGmrF干擾太陽(yáng)壓力阻力推力其他FFFFF其他F 又根據(jù)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，航天器繞質(zhì)心又根據(jù)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，航天器繞質(zhì)心O O運(yùn)動(dòng)的姿運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程在本體坐標(biāo)系態(tài)動(dòng)力學(xué)方程在本體坐標(biāo)系OxyzOxyz中的投影式為中的投影式為 (3.33)(3.33)zxyyxzzyzxzxyyxyzzyxxMIId

32、tdIMIIdtdIMIIdtdI)()()(式中，式中， 是是M M沿航天器主慣量軸的分量；沿航天器主慣量軸的分量； 是航天器空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是航天器空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 沿主慣量軸的分量，它沿主慣量軸的分量，它們與歐拉角們與歐拉角 的關(guān)系是的關(guān)系是 （3.153.15）聯(lián)立式聯(lián)立式(3(334)34)、(3(315)15)和和(3(333)33)三組方程就得三組方程就得到了剛性航天器一般運(yùn)動(dòng)的全部運(yùn)動(dòng)到了剛性航天器一般運(yùn)動(dòng)的全部運(yùn)動(dòng) zyxMMM,zyx,sincoscossinsincoscoszyx,3.3.2 六自由度線性化運(yùn)動(dòng)方程六自由度線性化運(yùn)動(dòng)方程 根據(jù)剛體復(fù)合運(yùn)動(dòng)關(guān)系知道，航天器的空

33、間旋轉(zhuǎn)角速度根據(jù)剛體復(fù)合運(yùn)動(dòng)關(guān)系知道，航天器的空間旋轉(zhuǎn)角速度 等于航天器本體坐標(biāo)系等于航天器本體坐標(biāo)系 相對(duì)于質(zhì)心軌道坐標(biāo)系相對(duì)于質(zhì)心軌道坐標(biāo)系 的的旋轉(zhuǎn)角速度矢量旋轉(zhuǎn)角速度矢量 與質(zhì)心軌道坐標(biāo)系與質(zhì)心軌道坐標(biāo)系 對(duì)于慣性坐標(biāo)對(duì)于慣性坐標(biāo)系系 的牽連角速度的牽連角速度 之和，即之和，即 (3.35)Oxyz000zyOxr000zyOxXYZOeer將該式投影至航天器本體坐標(biāo)系上則有將該式投影至航天器本體坐標(biāo)系上則有 (3.36a)(3.36a) (3.36b) (3.36b) (3.36c) (3.36c) (3.36d) (3.36d)式中，變換矩陣式中，變換矩陣B B由式由式(3.12)

34、(3.12)描述；描述； 為航天器繞為航天器繞中心引力體旋轉(zhuǎn)的軌道角速度。中心引力體旋轉(zhuǎn)的軌道角速度。erBTzyxTrTe0000考慮到若兩個(gè)角考慮到若兩個(gè)角和和均滿(mǎn)足均滿(mǎn)足 ，則以下近似，則以下近似關(guān)系成立：關(guān)系成立： 所以，航天器姿態(tài)在小范圍變化時(shí)，當(dāng)所以，航天器姿態(tài)在小范圍變化時(shí)，當(dāng) 時(shí)時(shí)，式，式(3.12)(3.12)描述的矩陣描述的矩陣B B即可簡(jiǎn)化為式即可簡(jiǎn)化為式(3.13)(3.13)的形式。的形式。rad1,sincossin0sinsinsin1cosrad1,將將， r, r, e e和和B B均代入式均代入式(3.36)(3.36)，便有，便有即即 (3.37)(3.3

35、7)001110zyx000zyx將式將式(3.37)(3.37)代入航天器的姿態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程代入航天器的姿態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程(3.33)(3.33)就就可以得航天器的線性化姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，即可以得航天器的線性化姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，即 (3.38)(3.38)忽略軌道角速度耦合作用時(shí)（或忽略軌道角速度耦合作用時(shí)（或 很小，例如同步軌很小，例如同步軌道），則式（道），則式（3.383.38）可以簡(jiǎn)化為）可以簡(jiǎn)化為 （3.393.39）顯然，這是一組航天器姿態(tài)的解耦動(dòng)力學(xué)方程。顯然，這是一組航天器姿態(tài)的解耦動(dòng)力學(xué)方程。200200)()()()(xyxzyzzyyzyxzyxxIIIIIIMIMIII

36、IIIM 0 zzyyxxIMIMIM 對(duì)于式（對(duì)于式（3.383.38）進(jìn)行拉普拉斯變換，就得到航天器姿態(tài)）進(jìn)行拉普拉斯變換，就得到航天器姿態(tài)控制的被控對(duì)象傳遞函數(shù)，其結(jié)構(gòu)框圖如圖控制的被控對(duì)象傳遞函數(shù)，其結(jié)構(gòu)框圖如圖3.73.7所示。所示。同步衛(wèi)星 在軌道上運(yùn)動(dòng)的航天器受各種力在軌道上運(yùn)動(dòng)的航天器受各種力( (通過(guò)航天器質(zhì)心通過(guò)航天器質(zhì)心) )和力矩和力矩( (不通過(guò)航天器質(zhì)心不通過(guò)航天器質(zhì)心) )的作用，其中這些力矩使航的作用，其中這些力矩使航天器的姿態(tài)產(chǎn)生擾動(dòng)。天器的姿態(tài)產(chǎn)生擾動(dòng)。 作用于航天器的擾動(dòng)力矩有氣動(dòng)力矩、重力梯度力作用于航天器的擾動(dòng)力矩有氣動(dòng)力矩、重力梯度力矩、太陽(yáng)輻射力矩

37、，以及空間微粒碰撞產(chǎn)生的力矩等。矩、太陽(yáng)輻射力矩，以及空間微粒碰撞產(chǎn)生的力矩等。擾動(dòng)力矩是相對(duì)的，在有些情況下可把上述擾動(dòng)力矩作擾動(dòng)力矩是相對(duì)的，在有些情況下可把上述擾動(dòng)力矩作 為姿態(tài)穩(wěn)定力矩，如重力梯度穩(wěn)定、磁穩(wěn)定等。為姿態(tài)穩(wěn)定力矩，如重力梯度穩(wěn)定、磁穩(wěn)定等。 下面簡(jiǎn)要介紹幾種主要的擾動(dòng)力矩。下面簡(jiǎn)要介紹幾種主要的擾動(dòng)力矩。 3.4 姿態(tài)干擾力矩 3.4.1 氣動(dòng)力矩氣動(dòng)力矩 飛行經(jīng)驗(yàn)表明氣動(dòng)力矩能顯著地干擾航天器姿態(tài)，飛行經(jīng)驗(yàn)表明氣動(dòng)力矩能顯著地干擾航天器姿態(tài)，特別是影響自旋衛(wèi)星的自旋速度。因而在航天器姿態(tài)控特別是影響自旋衛(wèi)星的自旋速度。因而在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，1 0

38、00 km1 000 km以下的軌道，氣動(dòng)力矩必須予以下的軌道，氣動(dòng)力矩必須予以考慮，以考慮，特別是特別是500 km500 km以下的軌道，氣動(dòng)力矩是主要的以下的軌道，氣動(dòng)力矩是主要的空間環(huán)境干擾力矩?？臻g環(huán)境干擾力矩。當(dāng)軌道高度在當(dāng)軌道高度在1201201 000 km1 000 km時(shí)，氣時(shí)，氣動(dòng)力矩可以用自由分子流理論來(lái)計(jì)算，也就是認(rèn)為大氣動(dòng)力矩可以用自由分子流理論來(lái)計(jì)算，也就是認(rèn)為大氣分子的平均自由行程大于航天器的特征尺寸分子的平均自由行程大于航天器的特征尺寸 。 在設(shè)計(jì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)時(shí)，氣動(dòng)力矩可表示為在設(shè)計(jì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)時(shí)，氣動(dòng)力矩可表示為 (3(340)40)式中，式中

39、，D D為氣動(dòng)力矢量，其值由式為氣動(dòng)力矢量，其值由式(2(259)59)表示；表示；L L為壓心為壓心相對(duì)于航天器質(zhì)心的矢徑。相對(duì)于航天器質(zhì)心的矢徑。 LDMdbfgfc3.4.2 重力梯度力矩重力梯度力矩 重力梯度力矩是因航天器各部分質(zhì)量具有不同重力重力梯度力矩是因航天器各部分質(zhì)量具有不同重力而產(chǎn)生的。航天器由重力梯度所引起的最大力矩的保守而產(chǎn)生的。航天器由重力梯度所引起的最大力矩的保守值在本體坐標(biāo)系三個(gè)軸上的投影估計(jì)為值在本體坐標(biāo)系三個(gè)軸上的投影估計(jì)為 (3(341a)41a) (3 (341b)41b) (3 (341c)41c)式中，式中，r r為軌道半徑或航天器質(zhì)心到引力體中心的距離。為軌道半徑或航天器質(zhì)心到引力體中心的距離。 )(33yzgxIIrM)(33xzgyIIrM)(33yxgzIIrM3.4.3 磁干擾力矩磁干擾力矩 磁干擾力矩是由航天器的磁特性和環(huán)境磁場(chǎng)相互作磁