矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用1

1、2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院1矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院2目錄目錄 第一章第一章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換 第二章第二章 范數(shù)理論及其應(yīng)用范數(shù)理論及其應(yīng)用 第三章第三章 矩陣分析及其應(yīng)用矩陣分析及其應(yīng)用 第四章第四章 矩陣分解矩陣分解 第五章第五章 特征值的估計(jì)特征值的估計(jì) 第六章第六章 廣義逆矩陣廣義逆矩陣2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院3第一章第一章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換 線性空間線性空間 線性變換線性變換 兩個(gè)重要的線性空間及其線性變換兩個(gè)重要的線性空間及其線性變換(歐幾里歐幾里德空

2、間、酉空間；正交變換、酉變換）。德空間、酉空間；正交變換、酉變換）。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院4第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域一、集合及其運(yùn)算一、集合及其運(yùn)算1、集合的定義和表示、集合的定義和表示集合集合：指一類特定事物的全體。：指一類特定事物的全體。 構(gòu)成集合的事物（或成員）稱為集合的構(gòu)成集合的事物（或成員）稱為集合的元素元素。例：例：一個(gè)代數(shù)方程組解的全體組成的集合一個(gè)代數(shù)方程組解的全體組成的集合解集合解集合以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)所有的點(diǎn)所組成的集合以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)所有的點(diǎn)所組成的集合點(diǎn)集合點(diǎn)集合集合的表示集合的表示：通常用大寫字母

3、通常用大寫字母A、B、C表示集合，而用小寫字母表示集合，而用小寫字母a、b、c表表示集合的元素。示集合的元素。若若a為集合為集合A的元素，則稱的元素，則稱a屬于屬于AAa若若a不是集合不是集合A的元素，則稱的元素，則稱a不屬于不屬于AAa2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院5222,ryxyxA為正整數(shù)nnN0第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域表示一個(gè)集合通常有兩種方法表示一個(gè)集合通常有兩種方法 ,321aaaA )(xPxA 列舉法列舉法 概括法概括法（也稱為性質(zhì)描述法）（也稱為性質(zhì)描述法）222ryx如：滿足方程如：滿足方程 的所有的點(diǎn)組成的集合的所有

4、的點(diǎn)組成的集合所有的正整數(shù)所構(gòu)成的集合所有的正整數(shù)所構(gòu)成的集合子集子集:如果集合如果集合 的元素全部都是集合的元素全部都是集合 的元素的元素,則稱則稱 為為 的子集的子集 。 ABABAB 記為記為 BA 或或若若 且且 則則AB BA BA 有限集、無限集有限集、無限集 、空集、空集 2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院6第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域2、集合間的運(yùn)算、集合間的運(yùn)算BxAxxBA或并集并集BxAxxBA且交集交集BxAxxBA且差集差集ByAxyxBA,和集和集 和集并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有浴：图?/p>

5、不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有浴? , 2 , 1A5 , 4 , 3 , 2B8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 BA例：例：2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院7第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域二、兩個(gè)集合中元素之間的對應(yīng)關(guān)系二、兩個(gè)集合中元素之間的對應(yīng)關(guān)系映射映射1、映射和一一映射、映射和一一映射AB、兩個(gè)非空集合兩個(gè)非空集合 對于對于 中的每一個(gè)元素，按照某種確定的法則中的每一個(gè)元素，按照某種確定的法則 在在 中有中有一個(gè)或者幾個(gè)元素與之對應(yīng)一個(gè)或者幾個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱則稱 是集合是集合 到集合到集合 的的映

6、映射射，記作，記作fABfAB：BAf:BxfyAx)( 或或 A原像集合原像集合（或定義域定義域） B像集合像集合（或值域值域） )(xfy By（ ）Axf稱為元素稱為元素 在映射在映射 下的下的像像 xy 的的原像原像映射：映射：2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院8單值映射（簡稱單射）：單值映射（簡稱單射）： 第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域Axx21,21xx )()(21xfxff對每一個(gè)原像點(diǎn)，有且只有一個(gè)像點(diǎn)與之對應(yīng)，而且對任意對每一個(gè)原像點(diǎn)，有且只有一個(gè)像點(diǎn)與之對應(yīng)，而且對任意 ，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ，則稱映射，則稱映射 為單值映射（簡

7、稱單射）；為單值映射（簡稱單射）； 滿映射（簡稱滿射）：滿映射（簡稱滿射）： ByAx)(xfy f如果如果對任意對任意 ，都有一個(gè)，都有一個(gè) 使得使得 ，則稱，則稱 為滿映射（簡稱為滿映射（簡稱滿射）滿射） ABABABABAB2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院9第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域ffAB如果映射如果映射 既為單值映射，又為滿映射，則稱既為單值映射，又為滿映射，則稱 是集合是集合 到集到集合合 的一一映射（或稱為雙映射）。的一一映射（或稱為雙映射）。一一映射：一一映射：恒等映射（或單位映射恒等映射（或單位映射 ）即為一一映射）即為一一映

8、射例：例：:AIaa AaAB，2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院102、逆映射、逆映射ByAxyxf)(BAf對于集合對于集合 中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素 ，都有，都有 中的元素中的元素 ，使得，使得 ，這種由集合這種由集合 到集合到集合 中的映射，稱為映射中的映射，稱為映射 的的逆映射逆映射，記作，記作:1fABAyfxBy)(1 或或 設(shè)設(shè) 是是 階可逆的實(shí)數(shù)方陣，階可逆的實(shí)數(shù)方陣， 和和 均為均為 維實(shí)列向量，滿足維實(shí)列向量，滿足Anxyn:AnnRyRxAxy 例：例：AnnRyRx此式表示矩陣此式表示矩陣 為為 的一一映射。的一一映射。 yAx1:1AnnRyAxRy1又

9、有又有， 即即 為其逆映射。為其逆映射。 第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院11三、數(shù)域三、數(shù)域VV設(shè)設(shè) 是數(shù)的非空集合，按照通常數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，對其中任何兩個(gè)元素進(jìn)行加、是數(shù)的非空集合，按照通常數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，對其中任何兩個(gè)元素進(jìn)行加、減、乘、除（分母非零）封閉，減、乘、除（分母非零）封閉，且滿足乘法交換律，且滿足乘法交換律，則稱則稱 為一個(gè)為一個(gè)數(shù)域數(shù)域。例：例：實(shí)數(shù)集關(guān)于加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉，且滿足乘法交換律，實(shí)數(shù)集關(guān)于加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉，且滿足乘法交換律，因此它成為一個(gè)數(shù)域，稱其為實(shí)數(shù)域，記為因此它成為

10、一個(gè)數(shù)域，稱其為實(shí)數(shù)域，記為 。R復(fù)數(shù)集也成為一個(gè)數(shù)域，稱其為復(fù)數(shù)域，記為復(fù)數(shù)集也成為一個(gè)數(shù)域，稱其為復(fù)數(shù)域，記為 。 C同樣，還有有理數(shù)域同樣，還有有理數(shù)域 。Q第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域 從數(shù)域定義可以看出，數(shù)域應(yīng)具有以下特征：從數(shù)域定義可以看出，數(shù)域應(yīng)具有以下特征： （1 1）有無窮多元素（為無限集）。）有無窮多元素（為無限集）。 （2 2）必須含有零元素和單位數(shù)）必須含有零元素和單位數(shù)1 1元素。元素。 （3 3）任何兩元素都可進(jìn)行四則運(yùn)算。）任何兩元素都可進(jìn)行四則運(yùn)算。問題：問題：無理數(shù)集、整數(shù)集是否構(gòu)成數(shù)域？無理數(shù)集、整數(shù)集是否構(gòu)成數(shù)域？20

11、22/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院12例例1-11-1QbabaQ,2)2(證明：證明：證明證明 構(gòu)成一數(shù)域。構(gòu)成一數(shù)域。第一節(jié)第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域預(yù)備知識(shí)：集合、映射與數(shù)域)2(,Q112ba Qbbaa2121,222ba 設(shè)設(shè)，令，令)2()(2)(2121Qbbaa（1） )2()(2)(2121Qbbaa（2）)2(22222)(222222211222222121222221122121Qbababababbaababababbaa)2)(2()2)(2(22/222222112211babababababa（4）)2()(2)2(12212121Qbababba

12、a（3）又又QbabaQ,2)2(構(gòu)成一數(shù)域。構(gòu)成一數(shù)域。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院13第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間一、線性空間的定義一、線性空間的定義Vzyx、Kmlk、VK設(shè)設(shè) 是非空集合，其元素用是非空集合，其元素用 等表示，并稱之為向等表示，并稱之為向量；量； 為一數(shù)域，其元素用為一數(shù)域，其元素用 等表示。在等表示。在 與與 中中規(guī)定了以下兩種運(yùn)算：規(guī)定了以下兩種運(yùn)算：定義定義1.2.1（線性空間）（線性空間）VVyx,Vzyx（1 1）規(guī)定）規(guī)定 中任意兩元素的加法運(yùn)算，即對于任意的中任意兩元素的加法運(yùn)算，即對于任意的 ，有惟，有惟一的一的 ；加法運(yùn)算封閉加法運(yùn)算封

13、閉KVKk VxVykx（2 2）規(guī)定數(shù)域）規(guī)定數(shù)域 與集合與集合 中的元素之間的數(shù)乘運(yùn)算（數(shù)與向量的乘法），即中的元素之間的數(shù)乘運(yùn)算（數(shù)與向量的乘法），即對于任意的對于任意的 和和 ，有惟一的，有惟一的 。數(shù)乘運(yùn)算封閉數(shù)乘運(yùn)算封閉且加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算分別滿足下面八條規(guī)則：且加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算分別滿足下面八條規(guī)則：xyyx（）)()(zyxzyx（）（加法交換律）（加法交換律）（加法結(jié)合律）（加法結(jié)合律）2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院14第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間VVxxx0（）在）在 中存在零元素中存在零元素0，使對任何，使對任何 ，有，有（零元律）（零元律）VyVxx0 y

14、x（）對任一）對任一 ，都存在，都存在 的負(fù)元素的負(fù)元素 ，使得，使得（負(fù)元律）（負(fù)元律）Vxxx 1（）對任一）對任一 ，都有，都有 （恒等律）（恒等律）VxKlk,xkllxk)()(（）對任一）對任一 ， ，有，有（數(shù)乘結(jié)合律）（數(shù)乘結(jié)合律）VxKlk,lxkxxlk )(（）對任一）對任一 ， ，有，有( ( 數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律) )Vyx,Kk kykxyxk)(（）對任意）對任意 ， ，有，有( ( 數(shù)因子分配律數(shù)因子分配律) )VK則稱則稱 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的上的線性空間或向量空間線性空間或向量空間。VVV 中的元素稱為中的元素稱為向量向量， 中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為

15、中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為 的的線性運(yùn)算線性運(yùn)算。 注意：注意：“向量向量”的概念已經(jīng)不在專指的概念已經(jīng)不在專指 個(gè)有序的數(shù)組，而是指任何線性個(gè)有序的數(shù)組，而是指任何線性空間中的任意的元素?？臻g中的任意的元素。n2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院15第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間例例1.2.1 KVKn若若 為數(shù)域，為數(shù)域， 是分量屬于是分量屬于 的的 元有序數(shù)組的集合，即元有序數(shù)組的集合，即niKxxxxViTn, 2 , 1,),(21若對若對 中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素VTnxxxx),(21Tnyyyy),(21，Kk 及及 ，定義加法和數(shù)乘數(shù)乘運(yùn)算如下：，定義加法和

16、數(shù)乘數(shù)乘運(yùn)算如下：Tnnyxyxyxyx),(2211Tnkxkxkxkx),(21VK容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，集合集合 構(gòu)成數(shù)域構(gòu)成數(shù)域 上的上的線性空間線性空間。 KV當(dāng)當(dāng) 為實(shí)數(shù)域時(shí)，為實(shí)數(shù)域時(shí)， 為實(shí)數(shù)域上的線性空間為實(shí)數(shù)域上的線性空間 nRKV當(dāng)當(dāng) 為復(fù)數(shù)域時(shí)，為復(fù)數(shù)域時(shí)， 為復(fù)數(shù)域上的線性空間為復(fù)數(shù)域上的線性空間 nC2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院16第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間例例1.2.2 （矩陣空間）（矩陣空間） （多項(xiàng)式空間（多項(xiàng)式空間 ）KnmK所有元素屬于數(shù)域所有元素屬于數(shù)域 的的 矩陣組成的集合按通常定義的矩陣加矩陣組成的集合按通常定義的矩陣加法和數(shù)與矩陣的

17、乘法，也構(gòu)成數(shù)域法和數(shù)與矩陣的乘法，也構(gòu)成數(shù)域 上的一個(gè)線性空間，記為上的一個(gè)線性空間，記為 nmKKnmRKnmC當(dāng)當(dāng) 為實(shí)數(shù)域時(shí)，記為為實(shí)數(shù)域時(shí)，記為 ， 為復(fù)數(shù)域時(shí)，記為為復(fù)數(shù)域時(shí)，記為 。例例1.2.3 次數(shù)不超過次數(shù)不超過 的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體所構(gòu)成的集合的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體所構(gòu)成的集合1n1, 2 , 1,012211niRaaxaxaxaVinnnn在通常的多項(xiàng)式加法和多項(xiàng)式乘實(shí)系數(shù)的運(yùn)算下，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的在通常的多項(xiàng)式加法和多項(xiàng)式乘實(shí)系數(shù)的運(yùn)算下，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，通常記為線性空間，通常記為 1nxP2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院17第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性

18、空間（函數(shù)空間（函數(shù)空間 ）例例1.2.4 ,ba,baCR定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上的一切連續(xù)的一元實(shí)函數(shù)的集合，記作上的一切連續(xù)的一元實(shí)函數(shù)的集合，記作 ，對，對通常定義下函數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，構(gòu)成實(shí)數(shù)域通常定義下函數(shù)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的線性空間。上的線性空間。例例1.2.5 設(shè)設(shè) 全體正實(shí)數(shù)全體正實(shí)數(shù)，其，其“加法加法”及及“數(shù)乘數(shù)乘”運(yùn)算定義為運(yùn)算定義為RxyyxkxxkRR證明證明 是是 上的線性空間。上的線性空間。Ryx,Rk 證明：設(shè)證明：設(shè)， 則有則有RxyyxRxxkkR即即 對所定義的加法運(yùn)算對所定義的加法運(yùn)算“ ”與數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算“ ”是封閉的是封閉的 2

19、022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院18第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間 （1）xyyxxyyx)()()(zyxyzxxyzzxyzyx（2）（3） 1是零元素，因?yàn)槭橇阍?，因?yàn)閤xx11 x1x111xxxx是是 的負(fù)元素，因?yàn)榈呢?fù)元素，因?yàn)椋?）（5 5）xxx11（6 6）xklxxxkxlkklkll)()()(（7 7）)()()(xlxkxxxxlklklk（8 8）)()()()()(ykxkyxxyxykyxkkkk由此可證，由此可證， 是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 上的線性空間。上的線性空間。 RR2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院19第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間線性空間

20、中有惟一的零元素，任一元素也有惟一的負(fù)元素。線性空間中有惟一的零元素，任一元素也有惟一的負(fù)元素。定理定理1.2.1證明：證明：(1) 零元素的惟一性（采用反正法）設(shè)存在兩個(gè)零元素01和02，按零元律和加法交換律，有010201020102 0102（2）負(fù)元素的惟一性（采用反正法）x1x2x設(shè)元素 有兩個(gè)負(fù)元素 和 ，根據(jù)負(fù)元律，有01 xx02 xx于是由零元律和加法結(jié)合律，有222121110)()(0 xxxxxxxxxx負(fù)元素惟一。故只有一個(gè)零元素。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院20第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間二、線性空間中向量的相關(guān)性二、線性空間中向量的相關(guān)性VKnxx

21、x,21VKnkkk,21設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間，上的線性空間， 是是 的一組向量，的一組向量，如果如果 中有一組不全為零的數(shù)，中有一組不全為零的數(shù)， ，使得，使得 02211nnxkxkxk則稱向量則稱向量 線性相關(guān)線性相關(guān)。 nxxx,21定義定義1.2.2 （線性相關(guān)與線性無關(guān)）（線性相關(guān)與線性無關(guān)）若上式只有在若上式只有在 時(shí)才成立，則稱這組向量是時(shí)才成立，則稱這組向量是線性無關(guān)線性無關(guān)的。的。021nkkk2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院21例例1.2.6 第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間R22R考慮實(shí)數(shù)域考慮實(shí)數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 中的一組向量（矩陣）中

22、的一組向量（矩陣） 000111E001012E010021E100022E的線性相關(guān)性。的線性相關(guān)性。解：解： 設(shè)設(shè) ，即，即0224213122111EkEkEkEk04321kkkk04321kkkk11E12E21E22E則則 ，于是，于是 ， ， ， 線性無關(guān)。線性無關(guān)。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院22第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間例例1.2.8 考慮考慮 中的一組向量中的一組向量 3xPttP1)(12232)(tttP2322)(tttP的線性相關(guān)性。的線性相關(guān)性。設(shè)設(shè) ，即，即 0)()()(332211tPktPktPk解：解： 0)22()32()1 (232

23、21ttkttktk由此可得：由此可得： 0221 kk02321kkk02332 kk系數(shù)矩陣為：系數(shù)矩陣為：230211021A0)det(A32)(Arank由于由于 ， ，方程組有非平凡解，方程組有非平凡解 )(1tP)(2tP)(3tP ， ， 線性相關(guān)。線性相關(guān)。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院23第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間三、線性空間的維數(shù)三、線性空間的維數(shù)定義定義1.2.3 VVVdim 線性空間線性空間 中最大線性無關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為中最大線性無關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為 的的維數(shù)維數(shù)，記為，記為 。nKnnV維數(shù)是維數(shù)是 的線性空間稱為數(shù)域的線性空間稱為數(shù)

24、域 上的上的 維線性空間，記為維線性空間，記為 。例例1.2.9 常系數(shù)二階齊次線性微分方程常系數(shù)二階齊次線性微分方程 的解的集合的解的集合 ，對，對于函數(shù)的加法以及函數(shù)與數(shù)的乘法運(yùn)算，構(gòu)成一線性空間。于函數(shù)的加法以及函數(shù)與數(shù)的乘法運(yùn)算，構(gòu)成一線性空間。023 yyyD由微分方程的特征方程由微分方程的特征方程0232xey 1xey22兩個(gè)線性無關(guān)的解為兩個(gè)線性無關(guān)的解為 ， 。其微分方程的所有解都。其微分方程的所有解都可以由可以由 ， 線性表示，即線性表示，即 1y2yxxececy221因此，此線性空間的維數(shù)為因此，此線性空間的維數(shù)為2，即，即 2dimD2022/3/15河北大學(xué)電子信息

25、工程學(xué)院24四、線性空間的基與坐標(biāo)四、線性空間的基與坐標(biāo)第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間定義定義1.2.4 VKrxxxS,21V設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間，上的線性空間， 是是 的一個(gè)非的一個(gè)非空子集，如果它滿足空子集，如果它滿足（）rxxx,21線性無關(guān)；線性無關(guān)；rxxx,21（）V中任一向量都是中任一向量都是 的線性組合。的線性組合。rxxxS,21V), 2 , 1(rixi則稱則稱 為為 的一個(gè)的一個(gè)基基或或基底基底，并稱，并稱 為為基向量基向量。例例1.2.10 3R3211,eeeS 3212,eeeS在在 中，有中，有 ， ，其中，其中 0011e0102e1003e00

26、11e0112e1113e；2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院25第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間1S2S(1) 和和 是兩個(gè)線性無關(guān)向量組。這是因是兩個(gè)線性無關(guān)向量組。這是因?yàn)闉?100010001det0100110111det3R321x（2）對于）對于 中任一向量中任一向量 ，都可以分別表示為，都可以分別表示為332211321321eeeeeex3323212133221321)()(eeeeeex1S2S3R因此，因此， 和和 是是 的兩個(gè)基。的兩個(gè)基。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院26第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間定義定義1.2.5 nVnxxx,21nV稱線性

27、空間稱線性空間 的一個(gè)基的一個(gè)基 為為 的一個(gè)的一個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)系 。nxxx,21nVnVxxnxxx,21 設(shè)設(shè) 為為 的一個(gè)基，的一個(gè)基， ，則，則 可惟一的表示可惟一的表示成成 的線性組合。的線性組合。定理定理1.2.2證明：（應(yīng)用反正法）證明：（應(yīng)用反正法） xnxxx,21設(shè)設(shè) 經(jīng)由經(jīng)由 的線性表示有兩個(gè)，即的線性表示有兩個(gè)，即nnxxxx2211nnxxxx2211設(shè)向量設(shè)向量 ，它在該基下的線性表示式為，它在該基下的線性表示式為nVxnnxxxx2211n,21xTn,21則稱則稱 為為 在該坐標(biāo)系中的在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)坐標(biāo)或或分量分量，記為，記為 。2022/3/15河北大學(xué)電

28、子信息工程學(xué)院270)()()(222111nnnxxx第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間nxxx,21nVnxxx,21由于由于 為為 的一個(gè)基，則的一個(gè)基，則 線性無關(guān)線性無關(guān)), 2 , 1(niiixnxxx,21即即 可惟一的表示成可惟一的表示成 的線性組合。的線性組合。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院28第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間五、基變換與坐標(biāo)變五、基變換與坐標(biāo)變 1、基變換、基變換nxxx,21nyyy,21nV設(shè)設(shè) 和和 是是 中的兩個(gè)基中的兩個(gè)基 nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcy22112222112212211111其中矩陣其中矩陣

29、nnnnnncccccccccC112222111211nxxx,21nyyy,21由基由基 到到 的過渡矩陣的過渡矩陣 。Cxxxyyynn),(),(2121容易證明過渡矩陣是可逆的（為非奇異矩陣）。容易證明過渡矩陣是可逆的（為非奇異矩陣）。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院29第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間解：由解：由 321321211eeeeeeeee100110111),(),(321321eeeeee321,eee321,eee由基由基 到到 的過渡矩陣為的過渡矩陣為例例1.2.110011e0102e1003e0011e0112e1113e；3R在在 中，求由基中，求由

30、基 到到 的過渡矩陣。的過渡矩陣。321,eee321,eee100110111C2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院30第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間例例1.2.12已知矩陣空間已知矩陣空間 的兩個(gè)基的兩個(gè)基22R10011A10012A01103A01104A（）11111B01112B00113B00014B（）求由基（求由基（）到基（）到基（）的過渡矩陣。）的過渡矩陣。解：為了計(jì)算簡便，采用中介基的方法，引進(jìn)解：為了計(jì)算簡便，采用中介基的方法，引進(jìn) 的第三個(gè)基的第三個(gè)基22R000111E001012E010021E100022E（）由基（由基（）到基（）到基（）的過渡矩陣為）的

31、過渡矩陣為00111100110000111C2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院31第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間1222112114321),(),(CEEEEAAAA由基（由基（）到基（）到基（）的過渡矩陣為）的過渡矩陣為00010011011111112C2222112114321),(),(CEEEEBBBB21143212222112114321),(),(),(CCAAAACEEEEBBBB由基（由基（）到基（）到基（）的過渡矩陣為）的過渡矩陣為0100012211101112210001001101111111011001101001100121211CCC2022/3/

32、15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院32第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間2、坐標(biāo)變換、坐標(biāo)變換nVxnxxx,21nyyy,21Tn),(21Tn),(21設(shè)設(shè) 中的向量中的向量 在兩個(gè)基在兩個(gè)基 和和 下的下的坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為 和和nnxxxx2121),(nnyyyx2121),(Cxxxyyynn),(),(2121nnnnnnCxxxyyyxxxx212121212121),(),(),(2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院33第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間nnC2121nnC21121例例1.2.133xP在在 中中,有兩個(gè)基有兩個(gè)基10fxf 122xf 33xf 10hxh112

33、21xxh3231xxxh)(xf3210,ffffT)3 , 2, 0 , 1 ()(xf3210,hhhh若多項(xiàng)式若多項(xiàng)式 在基在基 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 ，求，求 在基在基 下的坐標(biāo)。下的坐標(biāo)。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院34第二節(jié)第二節(jié) 線性空間線性空間解：解：32103210210100ffffhfffhffhfh1000110011101111),(),(32103210ffffhhhh1000110011101111C)(xf3210,hhhh在基在基 下的坐標(biāo)為：下的坐標(biāo)為： 352132011000110001100011320114321Cyyyy由由2022

34、/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院35第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間一、線性子空間的概念一、線性子空間的概念零子空間，記為零子空間，記為 0任何一個(gè)非零線性空間任何一個(gè)非零線性空間 至少有兩個(gè)子空間：至少有兩個(gè)子空間： V自身自身 V平凡子空間平凡子空間 中其他線性子空間稱為中其他線性子空間稱為 的的非平凡子空間非平凡子空間。 VVVK1VVV設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間，上的線性空間， 為為 的一個(gè)非空子集合，的一個(gè)非空子集合，且對且對 已有的線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘運(yùn)算）滿足以下條件：已有的線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘運(yùn)算）滿足以下條件：定義定義1.3.1x1Vy1Vyx（）如果）如果 ， ，

35、則，則 ；（加法運(yùn)算封閉）；（加法運(yùn)算封閉）1VxKk 1Vkx（）如果）如果 ， ，則，則 。（數(shù)乘運(yùn)算封閉）。（數(shù)乘運(yùn)算封閉）1VV則稱則稱 為為 的的線性子空間線性子空間，簡稱，簡稱子空間子空間。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院36第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間線性子空間的生成線性子空間的生成 ),(),(dim2121mmxxxrankxxxL該子空間的維數(shù)該子空間的維數(shù) mxxx,21),(21mxxxLmxxx,21即為向量組即為向量組 中，線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)。而中，線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)。而 的基可以是向量組的基可以是向量組 中任何一個(gè)極大線性無關(guān)組。中任何一個(gè)極大

36、線性無關(guān)組。VKmxxx,21Vm設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間，上的線性空間， 是是 中中 個(gè)向量，其個(gè)向量，其所有可能的線性組合構(gòu)成一非空集合所有可能的線性組合構(gòu)成一非空集合mmxkxkxkV22111), 2 , 1,(miKki1VV1VV容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 對對 的線性運(yùn)算是封閉的，因而的線性運(yùn)算是封閉的，因而 是是 的一個(gè)線性子空間。的一個(gè)線性子空間。 由由 所生成（或張成）的子空間所生成（或張成）的子空間，記為，記為 mxxx,21mmmxkxkxkxxxL221121),(),(21mxxxSpan或?yàn)榛驗(yàn)?022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院37第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線

37、性子空間定義定義1.3.2AnmijRaA)(rrankA), 2 , 1(niaiAi),(21naaaL設(shè)設(shè) ，且，且 。以。以 表示表示 的第的第 個(gè)列向量，稱子空間個(gè)列向量，稱子空間 為為矩陣矩陣 的值域的值域（列空間或像空間列空間或像空間），記為），記為),()(21naaaLARmRAR)(rrankAAR)(dim顯然，顯然， ，且，且 。例例1.3.11nxP)( 1nrr1rxP12, 1rxxxrxxx, 12在多項(xiàng)式空間在多項(xiàng)式空間 中，次數(shù)不高于中，次數(shù)不高于 的多項(xiàng)式全體構(gòu)的多項(xiàng)式全體構(gòu)成子空間成子空間 ，由于，由于 是該空間的一個(gè)基，所以該是該空間的一個(gè)基，所以該子

38、空間可以看成是由子空間可以看成是由 生成的子空間，即生成的子空間，即), 1 (121rrxxxLxPrxxLr), 1 (dim1且且nRxAxAR)()(AR 還可如下生成：還可如下生成：？2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院38第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間同樣，可定義同樣，可定義 的的值域值域（行空間行空間）為）為TAnmTTRRxxAAR)()(dim)(dimTARARrankAAA)(An的核空間的維數(shù)稱為的核空間的維數(shù)稱為 的的零度零度，記為，記為 ，即，即)()(dim)(AranknANAnnmijRaA)(rrankA0AxxA0Ax)(AN設(shè)設(shè) ，且，且 。稱

39、集合。稱集合 為為 的的核空間核空間（零空間零空間）（由）（由 的解向量所構(gòu)成的空間），記的解向量所構(gòu)成的空間），記為為 ，即，即定義定義1.3.30)(AxxANnRAN)(nARAN)(dim)(dimmARANTT)(dim)(dimmnAnAnT)()(2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院39第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間110101AA已知已知 ，求，求 的秩及零度。的秩及零度。 例例1.3.22rankA解：解： 0AxtxT1, 1 , 1 t1)(An為任意參數(shù)，從而有為任意參數(shù)，從而有 。2TrankA0)(TAn同樣可以求得同樣可以求得 ，例例1.3.3求方程求方

40、程 的列空間和核空間（的列空間和核空間（像空間和零空間像空間和零空間）。其中）。其中 0Ax363242A解：解： 1rankA)(),()(1321432211aLaaaLaxaxaxRxAxARn0Ax),(0)()2()1(xxLAxxANTx) 1 , 0 , 1()1(Tx)0 , 1 , 2()2(213)(dim)(ANAn2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院40第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間定理定理1.3.1 1VKnVmmxxx,211VmnVnVmnnmmxxx,21nxxx,21nV設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 的一個(gè)的一個(gè) 維子空間，維子空間，

41、 是是 的一個(gè)基，則這的一個(gè)基，則這 個(gè)基向量必可擴(kuò)充為個(gè)基向量必可擴(kuò)充為 的一個(gè)基。換言之，的一個(gè)基。換言之，在在 中必可找到中必可找到 個(gè)向量個(gè)向量 ，使得，使得是是 的一個(gè)基。的一個(gè)基。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院41第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間二、子空間的交與和二、子空間的交與和定理定理1.3.2 1V2VKV21VV V如果如果 和和 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 的兩個(gè)子空間，那么，的兩個(gè)子空間，那么，它們的交它們的交 也是也是 的子空間。的子空間。 證明：證明：10V20VVV 1021VV 首先由于首先由于 ， ，則則 ，故，故 非空。非空。設(shè)設(shè)2

42、1,VV 1,V2,V1V2V21VV 21VV 設(shè)設(shè)1Vk2Vk21VVk21VV V是是 的子空間。的子空間。 2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院42第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間定理定理1.3.31V2VKVV如果如果 和和 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 的兩個(gè)子空間，那么，的兩個(gè)子空間，那么，它們的和它們的和 也是也是 的子空間。的子空間。 21VV 證明：證明：顯然，顯然， 非空。非空。 21VV 對任意對任意 111,V222,V2122112121)()()()(VV 212121)(VVkkk21VV V因此因此 是是 的子空間。的子空間。2022/3/1

43、5河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院43第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間定理定理1.3.4 1V2VKV如果如果 ， 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 的兩個(gè)子空間，那么有下面公式的兩個(gè)子空間，那么有下面公式（維數(shù)公式）（維數(shù)公式）)dim()dim(dimdim212121VVVVVV11dimnV 22dimnV mVV)dim(21設(shè)設(shè)證明：證明： 需要證明需要證明 mnnVV2121)dim(2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院44第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間例例1.3.6 ),(211LV T)0 , 1 , 1 (1T)0 , 1 , 0(2),(212LV T) 1 ,

44、 1 , 0(1T) 1 , 1 , 1 (2是是 的兩個(gè)子空間的兩個(gè)子空間,3RT)3 , 1, 5( 是是 中的一個(gè)向量中的一個(gè)向量 21VV 1V2V試將其分解成試將其分解成 和和 中兩個(gè)向量和的形式。中兩個(gè)向量和的形式。 解：設(shè)解：設(shè)22112211llkk1111100100113152121llkk31521212121llllkklk22222121395llllllkk2l2121,llkk1V2V由由 的任意性可知，的任意性可知， 有多種有多種選擇，即選擇，即 在在 和和 下的分解不是下的分解不是惟一的。惟一的。2022/3/15河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院45第三節(jié)第三節(jié) 線性子空間線性子空間nnV1V2Vn1V2V如果如果 維線性空間維線性空間 的兩個(gè)子空間的兩個(gè)子空間 和和 的維數(shù)之和大的維數(shù)之和大于于 ，則，則 和和 必含有非零的公共向量。必含有非零的公共向量。推論推論1證明：證明： 由假設(shè)有由假設(shè)有)dim()dim()dim()dim()dim(21212121VVnVVVVVV21VV nVnVV)dim(21由于由于 是是 的子空間，所以的子空間