函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專(zhuān)題

1、函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專(zhuān)題1 知識(shí)點(diǎn)精講：一、單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性定義：一、函數(shù)單調(diào)性的定義及性質(zhì) （1）定義對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意，當(dāng)，都有，那么就稱(chēng)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)，都有，那么就稱(chēng)在區(qū)間上是減函數(shù)與之相等價(jià)的定義：，或都有則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。其幾何意義為：增（減）函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（或小于）0。（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說(shuō)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。如函數(shù)是增函數(shù)則稱(chēng)區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱(chēng)區(qū)間為減區(qū)間。單調(diào)性反映函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，但它

2、在區(qū)間上不一定是增函數(shù)。（3）判斷單調(diào)函數(shù)的方法：定義法，其步驟為：在該區(qū)間上任取，作差、化積、定號(hào)；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，而偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上卻有相反的單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)：設(shè)都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性是與單調(diào)性相同則是增函數(shù)，單調(diào)性相反則是減函數(shù)。幾個(gè)與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的結(jié)論：（）增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；（）增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)=減函數(shù)。如果在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），那么.在區(qū)間的任意一個(gè)子區(qū)間上也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。（4）常見(jiàn)一些函數(shù)的單調(diào)性：一次函數(shù)，當(dāng)

3、時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在和上都是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和上都是增函數(shù)二次函數(shù)，當(dāng)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，和在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)，和在其定義域內(nèi)為減函數(shù)。二、奇偶性對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱(chēng)為奇函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱(chēng)為偶函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性. 具有奇偶性的函數(shù)，其定義域原點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)（也就是說(shuō)，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）2 經(jīng)典例題剖析：（不帶答案版）單調(diào)性:例1（1）函數(shù)f(x)|x2|

4、x的單調(diào)減區(qū)間是_.（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間_；變式：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 （2）設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_例2：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍_；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍_。變式：（1）已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)（2）函數(shù)y=loga（2ax）在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.例3設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則, 之間的大小關(guān)系是_.例4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x

5、)，x2,2的最大值等于_.例5： （1）用定義證明在上是減函數(shù)。變式：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。例7： 設(shè)函數(shù)，判斷在其定義域上的單調(diào)性。 例8：求（且）的單調(diào)區(qū)間。例9：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，求 的最小值奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數(shù)的奇偶性 例2：已知是偶函數(shù)，時(shí)，求時(shí)的解析式.變式：已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.例3：若是偶函數(shù)，且在上增函數(shù)，又，求的解集。例4：（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，解關(guān)于的不等式：。（2）定義在上的偶函

6、數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍。變式：（1）定義在上的偶函數(shù)，上為增函數(shù)，且成立，求的取值范圍。（2）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且成立，求的取值范圍。例5：已知函數(shù)對(duì)任意都有，并且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若,求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍。變式：（1）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)。試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給予證明。（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調(diào)遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的取值范圍是_.例6：已知函數(shù)f（x）=x+m（p0）是奇函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，求f（x）的最大

7、值和最小值.變式：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值3 經(jīng)典例題剖析：（部分帶答案版）單調(diào)性:例1（1）函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是_.解 由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間_；【分析】對(duì)函數(shù)，是由向右平移1個(gè)單位得到，由反比例函數(shù)性質(zhì)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，特別注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能寫(xiě)成，可舉反例說(shuō)明；【解】上單調(diào)遞增；變式：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 （2）設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_【解析】由題意知g(x)函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)例2：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的

8、范圍_；【分析】關(guān)于二次函數(shù)的單調(diào)性，注意看兩個(gè)方面，即開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖像解題.問(wèn)題（1）中給定了函數(shù)在上單調(diào)遞減，而圖象開(kāi)口向上，因此對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在的右邊，從而；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍_?！痉治觥亢瘮?shù)，由圖象可知函數(shù)在的范圍內(nèi)，當(dāng)遞減，當(dāng)遞增，由題意在上單調(diào)遞增得。變式：（1）已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【解析】 函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線xa，畫(huà)出草圖如圖所示由圖象可知，函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需a1或a2，從而a(，12，)

9、（2）函數(shù)y=loga（2ax）在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.【解析】題中隱含a0，2ax在0，1上是減函數(shù).y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u=2ax在0，1上應(yīng)恒大于零.1a2.例3設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則, 之間的大小關(guān)系是_.【解析】由題設(shè)知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，而x1為對(duì)稱(chēng)軸，例4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.【解析】 f(x)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，所以最大值6。例5：用定義證明在上是減函

10、數(shù)。【證明】 設(shè),，且，則由于，則，即，所以在上是減函數(shù)。變式：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性?！咀C明】設(shè)、，且，則，又，所以，當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。綜上函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。注 由于與0的大小關(guān)系不是明確的，因此要分段討論。討論的方法是令，則，解得。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍【解析】設(shè)，則 ， 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立 ，還要，即恒成立 又，所以的取值范圍是 變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍?！敬鸢浮恳陨侠}都是用定義法判定函數(shù)單調(diào)性，基本方法是作差-化積-定號(hào)。這種方法思路比較清晰，但通常過(guò)程比

11、較繁瑣，有時(shí)也可以利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來(lái)判斷其他函數(shù)的單調(diào)性。例7： 設(shè)函數(shù)，判斷在其定義域上的單調(diào)性。 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?先判斷在內(nèi)的單調(diào)性，由題可把轉(zhuǎn)化為，又故，雖x的增大而減小，所以在上為減函數(shù)；同理可判斷在內(nèi)也是減函數(shù)。故函數(shù)在和內(nèi)是減函數(shù)（本題在內(nèi)也是減函數(shù)）。變式：已知，若，試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價(jià)地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運(yùn)算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡(jiǎn)單單調(diào)函數(shù)四則混合運(yùn)算形式就不能采用這種方法。例8：求（且）的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥坑深}可得函數(shù)是由外函

12、數(shù)和內(nèi)函數(shù)符合而成。由題知函數(shù)的定義域是。內(nèi)函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)。若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。若，外函數(shù)為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是減函數(shù)；函數(shù)在上是增函數(shù)。小結(jié)：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：合理地分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；分別解出兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域；分別確定單調(diào)區(qū)間；若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；求出相應(yīng)區(qū)間的交集，即是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一分二求三定四交 同增異減確定區(qū)間例9：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，求 的最小值【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在

13、上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若，則函數(shù)在上的最小值為，且；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最小值綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)，函數(shù)的最小值是奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數(shù)的奇偶性 例2：已知是偶函數(shù)，時(shí)，求時(shí)的解析式.變式：已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.例3：若是偶函數(shù)，且在上增函數(shù)，又，求的解集?！窘馕觥?。例4：（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，解關(guān)于的不等式：?！窘馕觥坎坏仁娇苫?jiǎn)為由于函數(shù)是奇函數(shù)因此則有, 解得 或， 即 不等式f (1a)f (1a2)<0的解集是a| -1

14、<a<0（2）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮孔兪剑海?）定義在上的偶函數(shù)，上為增函數(shù)，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮炕颍?）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且成立，求的取值范圍。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合應(yīng)用是此類(lèi)習(xí)題的一般解法，但在應(yīng)用時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域。例5：已知函數(shù)對(duì)任意都有，并且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若,求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）設(shè)，。又，故函數(shù)上是增函數(shù)。（2）。由，得。根據(jù)在上是增函數(shù)，可得，解得。變式（1）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)。試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給予證明。（2）已

15、知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調(diào)遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的取值范圍是_.【解析】由x1x2<0不妨設(shè)x1<0，x2>0.x1x2<0，x1<x2<0.由f(x)f(x)0知f(x)為奇函數(shù)又由f(x)在(，0)上單調(diào)遞增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.例6：已知函數(shù)f（x）=x+m（p0）是奇函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.【解析】f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x），x+m=xm，2m=0，m=0.（1）當(dāng)p0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在1，2上為增函數(shù).f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（2）當(dāng)p0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在（0，上是減函數(shù)，在，+）上是增函數(shù).當(dāng)1，即0p1時(shí)，f（x）在1，2上為增函數(shù)，f（x