二面角大小的求法的歸類(lèi)分析

1、二面角大小的求法的歸類(lèi)分析衡陽(yáng)縣三中 歐陽(yáng)志輝湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600二面角大小的求法中知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小，在其求解過(guò)程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識(shí)。求二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問(wèn)題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式求出二面角的大小?，F(xiàn)將二面角大小的求法歸類(lèi)分析如下：一、 定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；例1 在四棱錐P-AB

2、CD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。解（定義法）如圖。AB=AD=a，過(guò)B作BHPC于H，連結(jié)DHDHPC故BHD為二面角B-PC-D的平面角因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH則BH=DH又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 則BHD=因此，二面角B-PC-D的大小是。二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30°，

3、求二面角P-BC-A的大小。解：（三垂線法）如圖PA平面BD過(guò)A作AHBC于H，連結(jié)PH則PHBC又AHBC故PHA是二面角P-BC-A的平面角，在RtABH中，AH=ABsinABC=aSin30°=在RtPHA中，tanPHA=PA/AH=則PHA=arctan2.因此，二面角p-BC-A的大小是arctan2。三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。解（垂面法）如圖PA

4、平面BDBDAC BDBC過(guò)BD作平面BDHPC于HPCDH、BHBHD為二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH則BH=DH又BD=在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD 則BHD=因此，二面角B-PC-D的大小是。四、射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫(huà)出平面角；例3 在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解（面積法）如圖同時(shí)，BC平面BPA于B故PBA是PCD在平面PBA上的射影設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為則cos=45°即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。五、:對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解（補(bǔ)形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD-PQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD