動量與角動量w

1、11.3 1.3 動量動量（momentum)1.3.1 1.3.1 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理1.3.2 1.3.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理1.3.3 1.3.3 動量守恒定律動量守恒定律1.3.4 1.3.4 質(zhì)心質(zhì)心2 1.3.1 1.3.1 沖量與動量定理沖量與動量定理(impulse and theorem of momentum)1) 力的時間累積效應(yīng)，如：沖量力的時間累積效應(yīng)，如：沖量 ，沖量矩，沖量矩 2) 力的空間力的空間累積效應(yīng)，如：功累積效應(yīng)，如：功 A= F dr牛頓第二定律牛頓第二定律 F = ma 給出物體所受合外力與加速給出物體所受合外力與加速度之間的

2、度之間的瞬時關(guān)系瞬時關(guān)系。物體在力的物體在力的持續(xù)作用持續(xù)作用下，力對物體將產(chǎn)生下，力對物體將產(chǎn)生累積效應(yīng)累積效應(yīng)。一一. 動量（動量（ momentum ） 動量性質(zhì)：矢量性，瞬時性動量性質(zhì)：矢量性，瞬時性, 相對性相對性。這種累積效應(yīng)有兩種：這種累積效應(yīng)有兩種：vmP 動量由物體的動量由物體的m和和 兩個因素決定，兩個因素決定，v3二二 . 沖量（沖量（impulse）力在一段時間內(nèi)持續(xù)作用的效果，是由力力在一段時間內(nèi)持續(xù)作用的效果，是由力 F 和力和力的作用時間的作用時間 t 兩個因素決定的。兩個因素決定的。為為恒恒力力）（沖沖量量定定義義FtFI :為為變變力力）（FtFItt 21d

3、三三 . 動量定理動量定理 （theorem of momentum ）PddtFdtPdF 由由122121PPPddtFtt 過過程程： 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理 不不變變mvmvmdtFtt1221 不不變變FvmvmttF1212 41221ttdtFFtt 平平均均沖沖力力： 不不變變mvmvmdtFtt1221 1）直角坐標系中的分量式）直角坐標系中的分量式( 二維二維 ):yyttyyxxttxxPPdtFIPPdtFI12122121 碰撞過程中作用時間極短，作用力（沖力）卻很大碰撞過程中作用時間極短，作用力（沖力）卻很大,且隨時間變化很難測定，但可借助始末動量變化且隨時間

4、變化很難測定，但可借助始末動量變化和作用時間來計算平均沖力。和作用時間來計算平均沖力。2） 動量定理對碰撞問題具有重要意義動量定理對碰撞問題具有重要意義討論討論1212ttvmvm 5 例例 已知：已知：m 在水平面內(nèi)作半徑為在水平面內(nèi)作半徑為R 的勻速圓周運動的勻速圓周運動 (R, v) 已知，已知， 求：求：(1)(1) A 到到 B 時動量的改變，時動量的改變， (2) (2) 向心力平均值及方向。向心力平均值及方向。xOyAB解：解：(1) ABvmvmp AvBv (2) jRmv 22 jmvjmv jmv2 v/Rjmv 2 tpttppF 1212RmvjF 22，大大小小為為

5、方方向向沿沿 6 例例 已知：子彈在槍筒內(nèi)受到推進力已知：子彈在槍筒內(nèi)受到推進力 解：解： m 在槍內(nèi)水平只受力在槍內(nèi)水平只受力 F(t)ttF51034400)( 水平方向水平方向動量狀態(tài)：動量狀態(tài)： t 時刻，時刻， v = 300 m/s，p = mvt = 0 時，時，x = 0，v0 = 0，p = 0( (N) )子彈在槍筒內(nèi)加速時間子彈在槍筒內(nèi)加速時間 0 t 0t 其加速過程其加速過程 v0 = 0 到到 v = 300 m/s 求：子彈質(zhì)量求：子彈質(zhì)量 m = ? = ?x xO7 01034400)( 5時時 ttF(sec)1033 tdttm10344003001510

6、303 (g) 2 (kg) 002. 0 6 . 02 . 1 3001 tdttFm0)(3001 tmmvdttF0300)(動動量量定定理理：當當子彈在槍筒內(nèi)加速時間子彈在槍筒內(nèi)加速時間 t = ? 0 tOx8 1. 3.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 （theorem of momentum for system of particles)一一. . 質(zhì)點系質(zhì)點系把相互作用的若干個質(zhì)點看作為一個整體把相互作用的若干個質(zhì)點看作為一個整體, 這組質(zhì)這組質(zhì)點就稱為質(zhì)點系點就稱為質(zhì)點系.二二. 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理m1 , m2 系統(tǒng)系統(tǒng) : ,1f2f內(nèi)力內(nèi)力:,1F2

7、F外力外力:1f2f1F2Fm1m2分別運用牛頓第二定律分別運用牛頓第二定律:m1:m2:dtPdfF111 二式相加二式相加,21ff 由于由于 2121PPdtdFF dtPdfF222 9對對N個質(zhì)點系統(tǒng)，外力用個質(zhì)點系統(tǒng)，外力用 F ，內(nèi)力（即質(zhì)點之間的，內(nèi)力（即質(zhì)點之間的相互作用）用相互作用）用 f ，則第，則第 i 及第及第 j 質(zhì)點的牛頓方程質(zhì)點的牛頓方程dtpdfFijiiji 對所有質(zhì)點求和對所有質(zhì)點求和 NiiNijiijNiipdtdfF111dtpdfFjjijij i jFiPi fi j fj iFjpj01 Nijiijf內(nèi)力和內(nèi)力和10 NiipP1總總動動量量

8、： NiiFF1合合外外力力：質(zhì)點系的動量定理表明，一個系統(tǒng)總動量的變化僅質(zhì)點系的動量定理表明，一個系統(tǒng)總動量的變化僅決定于系統(tǒng)所受的外力，與系統(tǒng)的內(nèi)力無關(guān)。決定于系統(tǒng)所受的外力，與系統(tǒng)的內(nèi)力無關(guān)。dtPdF 122121PPPddtFtt 質(zhì)點系的動量定理與質(zhì)點動量定理形式一樣，質(zhì)點系的動量定理與質(zhì)點動量定理形式一樣，但各量的含義卻不同。但各量的含義卻不同。 NiiNiipdtdF1111 1. 3.3 動量守恒定律動量守恒定律 （law of conservation of momentum) 一、質(zhì)點動量守恒定律一、質(zhì)點動量守恒定律由質(zhì)點的動量定理由質(zhì)點的動量定理1221PPdtFtt

9、常常矢矢量量時時當當合合外外力力 PF0質(zhì)點動量守恒定律：質(zhì)點動量守恒定律：若質(zhì)點所受合外力為零，若質(zhì)點所受合外力為零， 則質(zhì)點的總動量不隨時間改變則質(zhì)點的總動量不隨時間改變二、質(zhì)點系動量守恒定律二、質(zhì)點系動量守恒定律由質(zhì)點系的動量定理由質(zhì)點系的動量定理1221PPdtFtt 210PPPF 常常矢矢量量，即即：時時當當合合外外力力12當合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多（如爆炸當合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多（如爆炸過程），這時可忽略外力，仍可應(yīng)用動量守恒。過程），這時可忽略外力，仍可應(yīng)用動量守恒。2. 合外力沿某一方向為零，則該方向動量守恒合外力沿某一方向為零，則該方向動量守恒3. 只

10、適用于慣性系只適用于慣性系常常數(shù)數(shù)當當如如 iixxPF0:討論：討論：其中其中222iiiiivmpp 111iiiiivmpp 動量守恒定律：若動量守恒定律：若系統(tǒng)系統(tǒng)所受合外力為零所受合外力為零, ,則則系統(tǒng)系統(tǒng) 的總動量保持不變。的總動量保持不變。4. . 比牛頓定律更普遍的最基本的定律比牛頓定律更普遍的最基本的定律，它在宏觀和微它在宏觀和微 觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用。觀領(lǐng)域、低速和高速范圍均適用。13例：水平光滑平面上有一小車，長度為例：水平光滑平面上有一小車，長度為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M。車。車上站有一人，質(zhì)量為上站有一人，質(zhì)量為 m，人、車原來都靜止。若人從車，人、車原來都靜

11、止。若人從車的一端走到另外一端，問人和車各移動了多少距離？的一端走到另外一端，問人和車各移動了多少距離？解：解：SsvV人車系統(tǒng)在水平方向受外力為零，人車系統(tǒng)在水平方向受外力為零，水平方向動量守恒水平方向動量守恒VMvm vMmV VvVvv 車車地地人人地地人人對對車車vMmMvMmv dtvlt 0人人對對車車dtvMmMt 0dtvst 0lmMM lmMmslS 14例：火箭在遠離星球引力的星際空間加速飛行，因而不例：火箭在遠離星球引力的星際空間加速飛行，因而不受任何外力的作用，設(shè)火箭某一時刻（攜帶燃料）的質(zhì)受任何外力的作用，設(shè)火箭某一時刻（攜帶燃料）的質(zhì)量為量為 M，噴出的氣體相對火

12、箭的速率為，噴出的氣體相對火箭的速率為 u，且保持不變，且保持不變，求：火箭在任一時刻的速度。求：火箭在任一時刻的速度。vdvdmM ,ut + dtvM,utdm解：解：初態(tài)動量初態(tài)動量xP0 = Mv末態(tài)動量末態(tài)動量火箭火箭P1 = （Mdm）(v+dv)氣體氣體 P2 = dm(v+dv u)箭地箭地氣箭氣箭氣地氣地VVV P0 = P1 + P2Mv= （Mdm）(v+dv)+ dm(v+dv u)Mv= Mvdm + Mdv dmdv+vdm +dmdv udm Mdv= udmdm = dM Mdv= udM15 Mdv= udMdMMuvd MMvv00dMM1uvd設(shè)設(shè) t =

13、 0 時，火箭速度為時，火箭速度為v0, 質(zhì)量為質(zhì)量為 M0MMlnuvv00 火箭獲得的推力為火箭獲得的推力為dtvdMF dtdMu 161.3.4 質(zhì)心質(zhì)心 (center of mass)mrmmrmrNiiiNiiNiiic 111mxmxNiiic 1同理可寫出同理可寫出 y 和和 z 分量分量 zxy0r1r2crc質(zhì)心位矢與坐標系的選取有關(guān)。質(zhì)心位矢與坐標系的選取有關(guān)。 但質(zhì)心相對于各質(zhì)點的相對位置但質(zhì)心相對于各質(zhì)點的相對位置是不會隨坐標系的選擇而變化的是不會隨坐標系的選擇而變化的設(shè)質(zhì)點系共有設(shè)質(zhì)點系共有N個質(zhì)點組成個質(zhì)點組成,各質(zhì)點的質(zhì)量分別為：各質(zhì)點的質(zhì)量分別為：m1,m2

14、,mN ,矢徑分別為：矢徑分別為： 則質(zhì)心的矢徑定則質(zhì)心的矢徑定義為義為: Nrrr21,m2m1m imj一、質(zhì)心的定義一、質(zhì)心的定義:17對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為對連續(xù)分布的物質(zhì)，可以將其分為N個小質(zhì)元個小質(zhì)元mxdmmmxxNiiic 1 例例1：任意三角形的每個頂點有一質(zhì)點：任意三角形的每個頂點有一質(zhì)點 m，求質(zhì)心。，求質(zhì)心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc mxmxNiiic 1由由同理可寫出同理可寫出 y 和和 z 分量分量18例例2: 求均勻半圓鐵環(huán)的質(zhì)心（半徑為求均勻半圓鐵環(huán)的質(zhì)心（半徑為R）. dld 解：取長度為解：取長度為

15、 dl 的一段鐵絲的一段鐵絲, 以以 l 表示線密度表示線密度dm = l dl . l = m / ( R) mydmyC mdlyl RRRdRll 2sin0 Royx由對稱性可知由對稱性可知, 質(zhì)心質(zhì)心C一定在一定在 y 軸上軸上, 即：即：xC=0 , C19二、二、 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 (theorem of the motion of center of mass)質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量dtpdF 由由質(zhì)質(zhì)點點系系動動量量定定理理： Niiidtrdm1cccvmdtrdmdtrmd )(質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。質(zhì)點系的動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘

16、積。cam 質(zhì)點系所受合外力等于其總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積質(zhì)點系所受合外力等于其總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積. 這就是質(zhì)心運動定理這就是質(zhì)心運動定理.cvmdtd NiiivmP1dtrmdNiii 120在有些情況下，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點由于內(nèi)力和外力的作在有些情況下，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點由于內(nèi)力和外力的作用，運動情況可能很復(fù)雜，但質(zhì)心的運動可能很簡單，用，運動情況可能很復(fù)雜，但質(zhì)心的運動可能很簡單，由質(zhì)點系所受合外力決定。由質(zhì)點系所受合外力決定。這樣質(zhì)點系的運動可看成是把質(zhì)量和力都集中在質(zhì)心這樣質(zhì)點系的運動可看成是把質(zhì)量和力都集中在質(zhì)心的一個質(zhì)點的運動。的一個質(zhì)點的運動。21例：水平桌面上拉動紙，紙張上有

17、一均勻球，球的質(zhì)例：水平桌面上拉動紙，紙張上有一均勻球，球的質(zhì)量量M， 紙被拉動時與球的摩擦力為紙被拉動時與球的摩擦力為 F，求：，求：t 秒后秒后球相對桌面移動多少距離？球相對桌面移動多少距離？xyo解：球移動的距離即為質(zhì)心移動的距離解：球移動的距離即為質(zhì)心移動的距離caMF MFac 221tMFxc 兩次積分得兩次積分得答：沿拉動紙的方向移動答：沿拉動紙的方向移動221tMF221.4 角動量角動量（ angular momentum)prL sinmvrL 大?。捍笮。寒斮|(zhì)點作圓周運動時當質(zhì)點作圓周運動時 L= m v r一一. 角動量矢量定義角動量矢量定義動量為動量為P的質(zhì)點的質(zhì)點,

18、 對慣性系中一固定點對慣性系中一固定點o的角動量的角動量定義為下述矢量積定義為下述矢量積:方向：方向：2. 的順序不能顛倒。的順序不能顛倒。pr 右手螺旋法右手螺旋法L1. 的方向垂直于的方向垂直于 r 和和 p 所決定的平面。所決定的平面。注意：注意： ormL p23角動量的性質(zhì)角動量的性質(zhì)1. 矢量性矢量性prL 2. 瞬時性瞬時性vmrL 二二. 力矩力矩FrM 為為力力臂臂）（ rrFFrFrFrMM sinsinMrF o方向方向: 右手螺旋法右手螺旋法.矢量性，瞬時性，相對性矢量性，瞬時性，相對性3. 相對性。相對性。 為質(zhì)點到固定點為質(zhì)點到固定點O的位矢，相對的位矢，相對 不同

19、點不同點 值不同值不同, ,則則 也不同。也不同。 rLr ormL p24三、三、 角動量定理角動量定理prL dtLdM 質(zhì)點角動量定理質(zhì)點角動量定理質(zhì)點對某一點的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點所質(zhì)點對某一點的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點所受合外力對同一點的力矩。受合外力對同一點的力矩。122121LLLddtMLLtt 有有限限長長時時間間沖沖量量矩矩上式表明在力矩的持續(xù)作用下質(zhì)點角動量的變化。上式表明在力矩的持續(xù)作用下質(zhì)點角動量的變化。反映的是力矩在反映的是力矩在 t 時間內(nèi)的累積效應(yīng)。時間內(nèi)的累積效應(yīng)。 pdtrddtpdrprdtddtLd vmvdtpdr MFr 25 1.4.3

20、 角動量守恒定律角動量守恒定律(law of conservation of angular momentum)常常矢矢量量 L 即：即： 如果對于某一固定點如果對于某一固定點, 質(zhì)點所受合外力矩為零質(zhì)點所受合外力矩為零, 則此質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變則此質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變.關(guān)于合外力矩為零關(guān)于合外力矩為零, 有二種情況有二種情況:00 FrMFFii0 dtLd0 M當當0FrMr/F0F但但或或vONgmTr)( /rT 0 M21LL mvrrmv 00動量守恒？動量守恒？一、質(zhì)點的角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量守恒定律26例：衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運行，地球的中

21、心位于橢例：衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運行，地球的中心位于橢圓的一個焦點上，地球圓的一個焦點上，地球R=6378km，衛(wèi)星距地面的最近，衛(wèi)星距地面的最近距離距離h1=439km, 最遠距離最遠距離h2=2384km,衛(wèi)星在近地點衛(wèi)星在近地點 A1的速度的速度v1=8.10km/s，求：衛(wèi)星在遠地點，求：衛(wèi)星在遠地點A2的速度的速度 v2. h2A1v1v2A2衛(wèi)星衛(wèi)星h1解：衛(wèi)星在運動過程中解：衛(wèi)星在運動過程中受地球引力，力矩為零，受地球引力，力矩為零，因此角動量守恒。因此角動量守恒。21AALL 11A1mvhRrmvL2211hRmvhRmv21A2A1AALLL 方方向向相相同同兩兩點點和和在在22A2mvhRrmvL1212vhRhRv27 二、質(zhì)點系角動量定理及角動量守恒定律二、質(zhì)點系角動量定理及角動量守恒定律dtLd)fF(rMijiijiii 內(nèi)力矩內(nèi)力矩 iijjiifr0ijjijijijif)rr(frfr dtLd)L(dtdFrMiiiii dtLd)fF(rMjijjijjj i jFi