信號與系統(tǒng)：第13講 第5章 離散時間傅里葉變換3

1、第第5 5章章 離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換 5.35.3離散時間傅里葉變換性質；離散時間傅里葉變換性質； 卷積性質卷積性質2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講2n離散時間非周期信號的傅里葉變換離散時間非周期信號的傅里葉變換n離散時間傅里葉變換的導出離散時間傅里葉變換的導出n考慮離散時間周期信號的傅里葉級數考慮離散時間周期信號的傅里葉級數n周期無限大，第一周期的信號稱為非周期信號周期無限大，第一周期的信號稱為非周期信號n有此得到離散傅里葉變換表達式有此得到離散傅里葉變換表達式n離散時間傅里葉變換的特點離散時間傅里葉變換的特點n分析公式（正變換）的周期性分析公式（正變換）的周期性n低頻在

2、低頻在 偶數倍，高頻在偶數倍，高頻在 奇數倍位置奇數倍位置n綜合公式（反變換）積分區(qū)間的有限綜合公式（反變換）積分區(qū)間的有限n滿足能量有限、絕對可和的序列都有變換存在滿足能量有限、絕對可和的序列都有變換存在n離散時間周期信號的傅里葉變換離散時間周期信號的傅里葉變換n也是在諧波位置的沖激，加權值為相應級數系數的也是在諧波位置的沖激，加權值為相應級數系數的2 倍倍2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講3n為進一步了解離散傅里葉變換的本質為進一步了解離散傅里葉變換的本質n簡化離散傅里葉變換的計算簡化離散傅里葉變換的計算n討論離散傅里葉變換的性質討論離散傅里葉變換的性質n結合連續(xù)時間傅里葉變換性質學習、

3、比較結合連續(xù)時間傅里葉變換性質學習、比較n離散傅里葉變換性質應用于傅里葉級數分析離散傅里葉變換性質應用于傅里葉級數分析n符號定義符號定義-1() () ()jjjX ex nx nX ex nX eFFF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講4n1.離散時間傅里葉變換的周期性離散時間傅里葉變換的周期性n離散時間傅里葉變換是以離散時間傅里葉變換是以2 為周期的為周期的的函數的函數n2.線性線性(2)()()jjX eX e1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 ()()jjax nbx naX ebXeF1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 (

4、)()jjax nbx naX ebXeF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講5n3.時移與頻移性質時移與頻移性質n舉例舉例00()j njx nneX eF00() ()jnjex nX e F()jclpHe一個截止頻率為的低通濾波器的頻率響應為通帶在 的偶數倍位置，()jlpHe （）將它頻移半個周期 ，得到的就是一個高通濾波器通帶在 的奇數倍位置()()jjhplpHeHe （）頻域關系： ( 1) j nnhplplphneh nh n 時域關系： ,nx na u na離散序列逐項變號將頻譜搬移半個周期溫習序列在 分別為正值和負值的情況()jhpHe()jlpHe00()j njx

5、 nneX eF00() ()jnjex nX e F () jx nX e若：F00()j njx nneX eF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講6n4.共軛與共軛對稱性共軛與共軛對稱性 () jx nX e若：F* () jxnXeF* x nx nx n若為實值序列：* ()()jjX eXe () () () ()jjjjX eX eX eX e是的偶函數，是的奇函數是的偶函數，是的奇函數R eI m () ()jjx nX ex nX e序列偶部的傅里葉變換是原序列傅里葉變換的實部序列奇部的傅里葉變換是原序列傅里葉變換的虛部FEvR eFOdI m nx nx na為實偶函數，其

6、傅里葉變換也是實偶函數溫習序列* () jxnXeF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講7n5.差分與累加差分與累加n連續(xù)時間系統(tǒng)傅里葉變換的微分積分性質是頻域求解系統(tǒng)微分方程連續(xù)時間系統(tǒng)傅里葉變換的微分積分性質是頻域求解系統(tǒng)微分方程的重要手段，在離散時間中，求解差分方程也需要了解其差分以及的重要手段，在離散時間中，求解差分方程也需要了解其差分以及累加性質累加性質n差分性質只要用時移性質就可以得到差分性質只要用時移性質就可以得到n累加與差分類似連續(xù)中的積分和微分，它們的性質也有可比性累加與差分類似連續(xù)中的積分和微分，它們的性質也有可比性n舉例：利用累加性質計算單位階躍的傅里葉變換舉例：利用累加

7、性質計算單位階躍的傅里葉變換 () jx nX e若：F 1(1)() jjx nx neX eF , 1 nmnx my ny nx n因為：y01() +()2 (1)njjjmkx mX eX eke F累加過程中出現的直流分量0 ()1, 11()() +()(2) = +(2) (1)1njmjjjjjkkg nnG ex ng mX eG eG ekkee F2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講8n6.時間反轉時間反轉() ()jjnjnnnjmjmY ey n exn ex m eX e () ()jjx nX enxnY e若：考慮：y的傅里葉變換F() jxnX eF2022

8、-3-15信號與系統(tǒng)第13講9n7.時域擴展時域擴展n時域擴展時域擴展-頻域壓縮是連續(xù)時間傅里葉變換的性質頻域壓縮是連續(xù)時間傅里葉變換的性質1()() jx atXaaF11aa縮小功能，擴展功能，1 ,1ay nx ana為大于 的整數時，序列的表現？為小于 的時候，序列擴展怎樣實現？ x anaan但是，對于離散時間情況， 不為整數則沒有定義( ) / 0 kx n knkxnnk當 為 的整數倍定義新序列：當 不為 的整數倍( ) 3kxnk 序列示意（）( ) 1kxna 可以起到擴展序列的作用（類似）( )( )( )( ) 0() kjj nj rkkkknrxnnrkXexn e

9、xrk e只在有值，其他情況為 ，所以()( )( )( ) , () () jj krjkkkkrxrkx rXex r eX exn因：則：F2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講10n時域擴展性質的圖解時域擴展性質的圖解(),2,3()2()2/kjjkx nkxnXeXek一 個 矩 形 脈 沖當時 候 的， 以 及 它 們 的 傅 里 葉 變 換的 周 期 為，的 周 期 為2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講11n舉例舉例n序列如圖，求其傅里葉變換序列如圖，求其傅里葉變換n分析可見，這是兩個寬度一樣，幅度不同的矩形脈沖交錯而成分析可見，這是兩個寬度一樣，幅度不同的矩形脈沖交錯而成1

10、5 22 - 2y ny nNy ng n令為寬度為 的矩形脈沖序列由的門函數右移 得到：(2)(2) 21x nynyn原序列可以表示為：2sin(5/2) - 2sin(/2)jg ne的傅里葉變換為：4(2)sin(5 ) sin( )jyne的傅里葉變換為：5(2)sin(5 )21sin( )jyne的傅里葉變換為：24sin(5 )()(1)sin( )jjjX eee 22022-3-15信號與系統(tǒng)第13講12n8.頻域微分頻域微分 () jx nX e若：F- () jj nnX ex n e 對正變換公式微分-() jj nndX ejnx n ed ()jdnx njX e

11、dF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講13n9.帕薩瓦爾定理帕薩瓦爾定理n綜合練習綜合練習給定序列的傅里葉變換給定序列的傅里葉變換 判斷序列是否周期、實信號、偶信號、能量有限？判斷序列是否周期、實信號、偶信號、能量有限？ () jx nX e若：F222-1 = ()2jnx nX ed () jX ex n不是離散的，不是周期的()()jjX eX e是 的偶函數，是 的奇函數所以，xn是實信號2()()jjjX eX ee不是實函數所以，xn不是偶信號222-1 = () 2jnx nX ed 積分有限所以，xn是能量有限的2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講142022-3-15信號與

12、系統(tǒng)第12講14課堂練習課堂練習-離散傅里葉變換性質復習離散傅里葉變換性質復習01()2(),()()0()0jjjajjjX eX eaeX eX eX ed-。 只有實部。 只有虛部3。 存在實數 使得為實4。 5。 11( ) ( ) () ( )22( ) 13( ) 12( ) 11nnex nu nfx ngx nnnhx nnnix nnn 1 ( )( )2 ( )( ) ( )( )( )( )( )( )0( )( )( )00( )( )( )( )( )x ndfx nb ix na b dfg hb c ixb dg h i。 為偶： 。 為奇： 3。 為偶且時移：

13、4。 直流分量為 ： 5。 ： 2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講15n0.卷積性質卷積性質n1.舉例舉例n（1）Example5.11 () () , * jjx nX eh nH ey nh nx n若：且：FF()()()jjjY eH eX e000-LTI ()j njj nnh nnnH enn ee 一系統(tǒng)，單位脈沖響應為：其頻率響應為：0() ()()()()jj njjjjX ex nY eH eX eeX e對于傅里葉變換為的任意輸入輸出的傅里葉變換為：0 y nx nn對上式反變換可見，這是一個純延時系統(tǒng)0()1() jjH eH en ，的物理意義？2022-3-15

14、信號與系統(tǒng)第13講16n（2）Example5.13 , ,1,1, ?nnLTIh na u nx nb u naby n一系統(tǒng)，單位脈沖響應為輸入為求該系統(tǒng)的輸出響應1()1jjX ebe輸入傅里葉變換：()11jjjABY eaebe1()()()11jjjjjY eH eX eaebe輸出傅里葉變換：1()1jjH eae系統(tǒng)頻率響應：, abABabab nnaby na u nb u nabab2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講17n（2）Example5.13(續(xù)續(xù))ab對于情況21()1jjY eae1()1jjjjdY eeadae利用求導方式改寫：11111njjFdna

15、u njedae（）再用時移性質：（）11 11nnjjFFda u nna u njaedae對于：根據微分性質： 11=1 nny nna u nna u n（）（）2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講18n（3）Example5.14n上半路信號分析上半路信號分析n下半路信號分析下半路信號分析n輸出信號輸出信號n系統(tǒng)頻率響應系統(tǒng)頻率響應 x ny n分析圖示系統(tǒng)在輸入為，輸出為時的頻率響應？()jlpHe是一個截止頻率為 /4的理想低通濾波器，通帶內增益為1()11 ( 1) , ()()njjjw nx ne x nW eX e ()21 ()()()()()jjjjjlplpW eHeW eHeX e ()()(2 )()32 ()()()()()()jjjjjjlplpW eW eHeX eHeX e 4 ()()()