2015挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題

1、目錄第一部分函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1例 1例 2例 3例 4例 5例 6因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題2013 年上海市中考第 24 題2012 年蘇州市中考第 29 題2012 年黃岡市中考第 25 題2010 年義烏市中考第 24 題2009 年臨沂市中考第 26 題2008 年蘇州市中考第 29 題1.2例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題2013 年上海市虹口區(qū)中考模擬第 25 題2012 年揚(yáng)州市中考第 27 題2012 年臨沂市中考第 26 題2011 年湖州市中考第 24 題2011 年鹽城市中考第 28 題2010 年南通市中考第 27 題20

2、09 年江西省中考第 25 題1.3例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題2013 年山西省中考第 26 題2012 年廣州市中考第 24 題2012 年杭州市中考第 22 題2011 年浙江省中考第 23 題2010 年北京市中考第 24 題2009 年嘉興市中考第 24 題2008 年河南省中考第 23 題1.4例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 71.5例 1例 2例 4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題2013 年上海市松江區(qū)中考模擬第 24 題2012 年福州市中考第 21 題2012 年煙臺市中考第 26 題2011 年上海市中考第 24 題2011 年江

3、西省中考第 24 題2010 年山西省中考第 26 題2009 年江西省中考第 24 題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問題2012 年上海市松江中考模擬第 24 題2012 年衢州市中考第 24 題2011 年義烏市中考第 24 題例 5例 71.6例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 71.7例 1例 2例 31.8例 1例 2例 32010 年杭州市中考第 24 題2009 年廣州市中考第 25 題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題2013 年蘇州市中考第 29 題2012 年菏澤市中考第 21 題2012 年河南省中考第 23 題2011 年南通市中考第 28 題2010 年廣州市中考第 25 題2010 年揚(yáng)州

4、市中考第 28 題2009 年蘭州市中考第 29 題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題2013 年上海市楊浦區(qū)中考模擬第 25 題2012 年河北省中考第 25 題2012 年無錫市中考第 28 題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題2013 年市中考第 25 題2012 年濱州市中考第 24 題2012 年山西省中考第 26 題第二部分圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題2.1例 1例 2例 3例 4由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題2013 年寧波市中考第 26 題2012 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第 25 題2012 年連云港市中考第 26 題2010 年上海市中考第 25 題2.2例 1例 2例 3例 4例 5例 6由面積公式產(chǎn)生

5、的函數(shù)關(guān)系問題2013 年菏澤市中考第 21 題2012 年省中考第 22 題2012 年河北省中考第 26 題2011 年市中考第 28 題2011 年山西省中考第 26 題2011 年重慶市中考第 26 題第三部分圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說理問題3.1例 1例 2代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題2013 年南京市中考第 26 題2013 年南昌市中考第 25 題3.2 幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題例 12013 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第 24 題例 22013 年江西省中考第 24 題選自東師范大學(xué)的中考數(shù)學(xué)壓軸題（含光盤）一書。該書收錄當(dāng)年各地具有代表性的中考數(shù)學(xué)壓軸題， 并把它們分為

6、4 部分、24 小類。該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件，并為每一題錄制了講解，讓你在動(dòng)態(tài)中體驗(yàn)壓軸題的變與不變，獲得清晰的解題思路，完成滿分解答，拓展思維訓(xùn)練。中考數(shù)學(xué)壓軸題自以來廣受讀者歡迎，被評為優(yōu)秀暢銷圖書,成為“中考壓軸題”類第一暢銷。在上海、北京、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業(yè)班學(xué)生中，幾乎人手一本，成為沖刺名牌高中必備。由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和文件在此無法一并附上，敬請?jiān)?。第一部分函?shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例 12013 年上海市中考第 24 題如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，頂點(diǎn)為 M 的拋物線 yax2bx

7、（a0）經(jīng)過點(diǎn) A和 x 軸正半軸上的點(diǎn) B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的表；（2） 連結(jié) OM，求AOM 的大?。唬?） 如果點(diǎn) C 在 x 軸上，且ABC 與AOM 相似，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“13 上海 24”，拖動(dòng)點(diǎn) C 在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的右側(cè)，有兩種情況，ABC 與AOM 相似請打開超級畫板文件名“13 上海 24”，拖動(dòng)點(diǎn) C 在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的右側(cè)，有兩種情況，ABC 與AOM 相似點(diǎn)擊按鈕的 和中部，可到達(dá)相似的準(zhǔn)確位置。思路點(diǎn)撥1. 第（2）題把求AOM

8、的大小，轉(zhuǎn)化為求BOM 的大小2. 因?yàn)锽OMABO30°，因此點(diǎn) C 在點(diǎn) B 的右側(cè)時(shí)，恰好有ABCAOM3根據(jù)夾角相等對應(yīng)邊滿分解答例，分兩種情況討論ABC 與AOM 相似（1）如圖 2，過點(diǎn) A 作 AHy 軸，垂足為 H 在 RtAOH 中，AO2，AOH30°，3 所以 A (-1, 3) 所以 AH1，OH因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 O、B(2,0)兩點(diǎn)，(-1,3)設(shè) y ax(x 2) ， 代 入 點(diǎn)A，可得 3 3a =圖 2332 - 23 ，3 x 為 y =所以拋物線的表333 x2 - 23 x =3 (x -1)2 -（2）由 y3333得拋物線

9、的頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1, - 3 ) 所以tan ÐBOM =3 33所以BOM30°所以AOM150°3) 、B(2,0)、M (1, - 3 ) ，（3）由 A (-1,33 ， AB = 23= 2 3 得tan ÐABO =3 ， OM3OA= 3 所以ABO30°，OM因此當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) B 右側(cè)時(shí)，ABCAOM150°ABC 與AOM 相似，存在兩種情況：如圖 3，當(dāng) BA =OA= 3 時(shí)， BC = BA = 2 3 = 2 此時(shí) C(4,0)BCOM333BA = 3 ´ 2 3 = 6 此時(shí) C(8,0

10、)如圖 4，當(dāng) BC =OA= 3 時(shí)， BC =BAOM圖 3圖 4考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果ABC 與BOM 相似，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)如圖 5，因?yàn)锽OM 是 30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC 也是底角為 30°的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對稱性，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(4,0)圖 5例 22012 年蘇州市中考第 29 題如圖 1，已知拋物線 y = 1 x2 - 1 (b +1)x + b （b 是實(shí)數(shù)且 b2）與 x 軸的正半軸分別交444A、B（點(diǎn) A 位B 是左側(cè)），與 y 軸的正半軸交C（1） 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 （用含

11、b 的代數(shù)式表示）；（2） 請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) P，使得四邊形 PCOB 的面積等于 2b，且PBC是以點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3） 請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； 如果不存在，請說明理由圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12 蘇州 29”，拖動(dòng)點(diǎn) B 在 x 軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn) P 到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形 PCOB 的面積等于 2b 的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3） 題”

12、，拖動(dòng)點(diǎn) B，可以體驗(yàn)到，存在OQAB 的時(shí)刻，也存在OQAB 的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1. 第（2）題中，等腰直角三角形 PBC 暗示了點(diǎn) P 到兩坐標(biāo)軸的距離相等2. 聯(lián)結(jié) OP，把四邊形 PCOB 重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含 b 的式子表示3. 第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn) Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn) A 與 x 軸垂直的直線上滿分解答（1）B 的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0, b )4（2）如圖 2，過點(diǎn) P 作 PDx 軸，PEy 軸，垂足分別為 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x, x)如圖 3，聯(lián)結(jié)

13、 OP所以 S 四邊形 PCOBSPCOSPBO 1 ´ b × x + 1 ´ b × x = 5 bx 2b242x = 16 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 16 ,16 )8555圖 2圖 3（3）由 y = 1 x2 - 1 (b +1)- b) ，得 A(1, 0)，OA14444如圖 4，以 OA、OC 為鄰邊構(gòu)造矩形 OAQC，那么OQCQOA當(dāng) BA = QA ，即QA2 = BA × OA 時(shí)，BQAQOAQAOA所以(b )2 = b -1b = 8 ± 4 3 所以符合題意的點(diǎn) Q 為(1, 2 + 3 )4如圖 5，

14、以 OC 為直徑的圓與直線 x1 交因此OCQQOAQ，那么OQC90°。當(dāng) BA = QA 時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90°QAOA所以 C、Q、B 三點(diǎn)共線因此 BO = QA ，即 b= QA 1QA = 4 此時(shí) Q(1,4)b4COOA圖 4圖 5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O 三點(diǎn)是確定的，B 是 x 軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA 與QOC 是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA 與QOC 相似把點(diǎn) Q 的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)例確定點(diǎn) B 的位置如圖中，圓與直線 x1 的另一個(gè)交點(diǎn)會是符合題意的點(diǎn) Q 呢？

15、如果符合題意的話，那么點(diǎn) B 的位置距離點(diǎn) A 很近，這與 OB4OC例 32012 年黃岡市中考模擬第 25 題如圖 1，已知拋物線的方程 C1： y = - 1 (x + 2)(x - m) (m0)與 x 軸交mB、C，與y 軸交E，且點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)（1） 若拋物線 C1 過點(diǎn) M(2, 2)，求實(shí)數(shù) m 的值；（2） 在（1）的條件下，求BCE 的面積；（3） 在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn) H，使得 BHEH 最小，求出點(diǎn) H的坐標(biāo)；（4） 在第四象限內(nèi)，拋物線 C1 上是否存在點(diǎn) F，使得以點(diǎn) B、C、F 為頂點(diǎn)的三角形與BCE 相似？若存在，求 m 的值；若

16、不存在，請說明理由圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12 黃岡 25”，拖動(dòng)點(diǎn) C 在 x 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，EC 與 BF 保持平行，但是BFC 在無限遠(yuǎn)處也不等于 45°觀察右圖，可以體驗(yàn)到，CBF 保持 45°，存在BFCBCE 的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1. 第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng) H 落段 EC 上時(shí)，BHEH 最小2. 第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線 BF，作CBFEBC45°，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示點(diǎn) F 的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)于 m 的方程滿分解答例列關(guān)（1）將 M(2, 2)代入 y

17、 = - 1 (x + 2)(x - m) ，得2 = - 1 ´ 4(2 - m) m4m（2）當(dāng) m4 時(shí)， y = - 1 (4所以 SBCE 1 BC ×OE = 1 ´ 6´ 2 = 6 m2 + 1 x + 2 所以 C(4, 0)，E(0, 2)4222（3）如圖 2，拋物線的對稱軸是直線 x1，當(dāng) H 落段 EC 上時(shí)，BHEH 最小設(shè)對稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 P，那么 HP = EO CPCO因此 HP = 2 HP = 3 所以點(diǎn) H 的坐標(biāo)為3(1, )3422（4）如圖 3，過點(diǎn) B 作 EC 的平行線交拋物線于 F，過點(diǎn) F 作

18、 FFx 軸于 F由于BCEFBC，所以當(dāng) CE = BC ，即 BC2 = CE × BF 時(shí)，BCEFBCCBBF1 (x + 2)(x - m)- m) ，由 FF ' = EO ，得 m2 m設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(=x + 2mBF 'COxm2所以 F(m2, 0)m + 4(m + 4) m2 + 4COBF 'm=，得=所以 BF =由CEBFBFmm2 + 4(m + 4) m2 + 42= CE × BF ，得(m + 2) =由 BC2m + 4 ´2m整理，得 016此方程無解圖 2圖 3圖 4如圖 4，作CBF45&#

19、176;交拋物線于 F，過點(diǎn) F 作 FFx 軸于 F，由于EBCCBF，所以 BE = BC ，即 BC2 = BE × BF 時(shí)，BCEBFCBCBF在 RtBFF中，由 FFBF，得 1 (x + 2)(x - m) = x + 2 mx2m所以 F (2m, 0) 所以 BF2m2， BF = 2(2m + 2) 由 BC2 = BE × BF ，得(m + 2)2 = 2 2 ´ 2(2m + 2) m = 2 ± 2 2 綜合、，符合題意的 m 為2 + 2 2 考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求 BF 的長：在求得點(diǎn) F、F 的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)

20、間的距離公式求 BF 的長例 42010 年義烏市中考第 24 題如圖 1，已知梯形 OABC，拋物線分別過點(diǎn) O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、式及頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)；（2）將圖 1 中梯形 OABC 的上下底邊所在的直線 OA、CB 以相同的速度同時(shí)平移，分別交拋物線 O1、A1、C1、B1，得到如圖 2 的梯形 O1A1B1C1設(shè)梯形 O1A1B1C1 的面積為 S，A1、 B1 的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代數(shù)式表示 x2x1，并求出當(dāng) S=36 時(shí)點(diǎn) A1 的坐標(biāo)；（3）在圖 1 中，設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn) P

21、 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)長度的速度沿著線段 BC 運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，以與點(diǎn) P 相同的速度沿著線段 DM 運(yùn)動(dòng)P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 到達(dá)點(diǎn) M 時(shí)，P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè) P、Q 兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，是否存在某一時(shí)刻 t，使得直線 PQ、直線 AB、x 軸圍成的三角形與直線 PQ、直線 AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出 t 的值；若不存在，請說明理由圖 1圖 2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10 義烏 24”，拖動(dòng)點(diǎn) I 上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1 隨 S 的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn) Q 在 DM 上

22、運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果GAFGQE，那么GAF 與GQE 相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含 S 的代數(shù)式表示 x2x1，我們反其道而行之，用 x1，x2 表示 S再注意平移過梯形的高保持不變，即 y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線 AB 與 x 軸的夾角不變，直線 AB 與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線 PQ 的斜率，因此假設(shè)直線 PQ 與 AB 的交點(diǎn) G 在 x 軸者假設(shè)交點(diǎn) G 在 x 軸的上方的下滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線

23、 x = 1 ，式為 y = 1 x2 - 1 x ，頂點(diǎn)為 M（1， - 1 ）84的面積 S = 2(x1 -1+ x2 -1) ´3 = 3(x8+ x ) - 6 ， 由此得到（ 2 ） 梯形 O1A1B1C1122= 18= 72 Sx + x = s + 2 由于 y2 + 1 x = 3 整理，得- y = 3 ，所以 y - y1221211134841 ù+ x ) -= 3 因此得到 x - x(4 úû2121ë8ìx2 + x1 = 14,ìx1 = 6,當(dāng) S=36 時(shí)，ííx此

24、時(shí)點(diǎn) A1 的坐標(biāo)為（6，3）x - x = 2.= 8.î 21î 2（3）設(shè)直線 AB 與 PQ 交G，直線 AB 與拋物線的對稱軸交E，直線 PQ 與 x軸交F，那么要探求相似的GAF 與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ 中，GEQ 是直線 AB 與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF 中，GAF 是直線 AB 與 x 軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD3DQt3t20由于tan ÐGAF =， tan ÐPQD =4=，所以 =t =7QP5 - t45 - t圖 3圖 4考點(diǎn)伸展第

25、（3）題是否存在點(diǎn) G 在 x 軸上方的情況？如圖 4，假如存在，說理過程相同，求得的 t 的值也是相同的事實(shí)上，圖 3 和圖 4 都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖 3例 52009 年臨沂市中考第 26 題如圖 1，拋物線經(jīng)過點(diǎn) A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的式；（2）P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P 作 PMx 軸，垂足為 M，是否存在點(diǎn) P，使得以A、P、M 為頂點(diǎn)的三角形與OAC 相似？若存在，請求出符合條件的 點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線 AC 上方的拋物線是有一點(diǎn) D，使得DCA 的面積最大，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo),圖 1動(dòng)

26、感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“09 臨沂 26”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P 在 B 左側(cè)”、“ P 在 x 軸上方”和“P 在 A 右側(cè)”，可以顯示PAM 與OAC 相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn) D 在 x 軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA 的形狀和面積隨 D 變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E 是 AC 的中點(diǎn)時(shí)，DCA 的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便2結(jié)合，用式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對應(yīng)例，分兩種情況列方程4把DCA 可以分割為共底的兩個(gè)

27、三角形，高的和等于 OA滿分解答（ 1 ） 因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 A(4 ， 0)、B （ 1 ， 0) 兩點(diǎn)， 設(shè)拋物線的y = a(x -1)(x - 4) ，代入點(diǎn) C 的 坐標(biāo)（0，2），a = - 1 所以拋物線的2式為式為1y = -(x -1)( 2- 2 22- 4) （2）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(21如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 在 x 軸上方時(shí)，1x4， PM = -(x -1)(x - 4) ， AM = 4 - x 2- 1 (x - 1)(x - 4)AM如果= AO = 2 ，那么CO2= 2 x = 5 不合題意4 - xPM- 1 (x - 1)(x - 4)AM如果=

28、AO = 1 ，那么= 1 22x = 2 4 - xPMCO2此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，1）1如圖 3，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) A 的右側(cè)時(shí)，x4， PM =(x -1)(x - 4) ， AM = x - 4 21 (x -1)(x - 4)解方程 2= 2 ，得 x = 5 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(5,-2) x - 41 (x - 1)( x - 4)解方程 2= 1 ，得 x = 2 不合題意x - 421如圖 4，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) B 的左側(cè)時(shí)，x1， PM =(x -1)(x - 4) ， AM = 4 - x 21 (x - 1)(x - 4)解方程 2= 2 ，得 x = -3 此時(shí)點(diǎn)

29、P 的坐標(biāo)為(-3,-14) 4 - x1 (x - 1)( x - 4)解方程 2= 1 ，得 x = 0 此時(shí)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合，不合題意4 - x2綜上所述，符合條件的 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，1）或(-3,-14) 或(5,-2) 圖 2圖 3圖 41式為 y =x - 2 （3）如圖 5，過點(diǎn) D 作 x 軸的垂線交 AC 于 E直線 AC 的2設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m (1 < m < 4) ，那么點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(m,- 1 m2 + 5 m - 2) ，點(diǎn) E 的22坐標(biāo)為(m, 1 m - 2) 所以 DE = (- 1 m2 + 5 m - 2) - (1 m

30、 - 2) = - 1 m2 + 2m 22222因此 S= 1 (- 1 m2 + 2m) ´ 4 = -m2 + 4m = -(m - 2)2 + 4 DDAC22當(dāng) m = 2 時(shí)，DCA 的面積最大，此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（2，1）圖 5圖 6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖 6，過 D 點(diǎn)構(gòu)造矩形 OAMN，那么DCA 的面積等于直角梯形 CAMN 的面積減去CDN 和ADM 的面積設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為（m，n） (1 < m < 4) ，那么S =(2n + 2) ´ 4 -m(n + 2) -n(4 - m) = -m + 2n + 4 1112

31、22由于 n = - 1 m2 + 5 m - 2 ，所以 S = -m2 + 4m 22例 62008 年蘇州市中考第 29 題圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“08 蘇州 29”，拖動(dòng)表示 a 的點(diǎn)在 y 軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn) E1 和 E3 時(shí)，直線NE1、NE3 和直線 AB 交于同一個(gè)點(diǎn) G，此時(shí)POBPGN當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn) E2 和 E4 時(shí)，直線 NE2、NE4 和直線 AB 交于同一個(gè)點(diǎn) G，可以體驗(yàn)到，這個(gè)點(diǎn)G 在點(diǎn) N 右側(cè)較遠(yuǎn)處思路點(diǎn)撥1. 求等腰直角三角形 OAB 斜邊上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值2. 以 DN 為邊畫正方形及對角

32、線，可以體驗(yàn)到，正方形的頂點(diǎn)和對角線的交點(diǎn)中，有符合題意的點(diǎn) E，寫出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，代入拋物線的式就可以求出 a3 當(dāng) E 在 x 軸上方時(shí)， GNP 45 °， POB PGN ，把 PB × PG 轉(zhuǎn)化為PO × PN = 14 4當(dāng) E 在 x 軸下方時(shí)，通過估算得到 PB × PG 大于 10 2 滿分解答（1） OH = 1， k =3 ， b = 2333（2）由拋物線的式 y = a(x +1)(x - 5) ，得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(-1, 0) ，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(5, 0) 因此 MN 的中點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（2，0），DN3因?yàn)锳OB

33、是等腰直角三角形，如果DNE 與AOB 相似，那么DNE 也是等腰直角三角形如圖 2，如果 DN 為直角邊，那么點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 E1（2，3）或 E2（2，3）將 E1（2，3）代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =- 1 3此時(shí)拋物線的式為 y1 (x +1)(x - 5) = - 1 x2 + 4 x + 5 33331將 E2（2，3）代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =315此時(shí)拋物線的式為 y =(x + 1)(3-3331111,-1 ) 如果 DN 為斜邊，那么點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 E3 (3 ,1) 或 E4 (32222將 E3 (3 1

34、,11) 代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =- 2 22此時(shí)拋物線的式為 y92 (x +1)(x - 5) = - 2 x2 + 8 x + 10 9999111 ) 代入 y = a(x +1)(x - 5) ，求得 a = 2 將 E (3,-4229210此時(shí)拋物線的式為 y =(x + 1)(9-999圖 2圖 311對E 為 E1（2，3）和 E3 (3 ,1 ) ，直線 NE 是相同的，ENP45°22又OBP45°，PP，所以POBPGN 因此 PB × PG = PO × PN = 2 ´ 7 = 14

35、< 10 2 對E 為 E2（2，3）和 E4 (3,-1 ) ，直線 NE 是相同的221411此時(shí)點(diǎn) G 在直線 x = 5 的右側(cè)， PG >3 341444又 PB >3 ，所以 PB × PG >3 ´3 = 14´> 10 2 3333考點(diǎn)伸展在本題情景下，怎樣計(jì)算 PB 的長？22如圖 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么OBCOAF，OFOC3 ，PF 2 -3 ，33332PAPF =(2 -3) =3 -1，所以 PB =3 +1 2231.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例 12013 年上海市虹口區(qū)中考模擬第

36、25 題如圖 1，在 RtABC 中，A90°，AB6，AC8，點(diǎn) D 為邊 BC 的中點(diǎn)，DEBC交邊 ACE，點(diǎn) P 為射線 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 為邊 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ90°（1） 求 ED、EC 的長；（2） 若 BP2，求 CQ 的長；（3） 記線段 PQ 與線段 DE 的交點(diǎn)為 F，若PDF 為等腰三角形，求 BP 的長圖 1備用圖動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“13 虹口 25”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN 保持相似觀察PDF，可以看到，P、F 可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP 的情況請打開超級畫板文件名

37、“13 虹口 25”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN 保持相似觀察PDF，可以看到，P、F 可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DFDP 的情況思路點(diǎn)撥1. 第（2）題 BP2 分兩種情況2. 解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3. 第（3）題探求等腰三角形 PDF 時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形 CDQ滿分解答（1）在 RtABC 中， AB6，AC8，所以 BC10在 RtCDE 中，CD5，所以 ED = CD × tan ÐC = 5´ 3 = 15 ， EC = 25 444

38、（2）如圖 2，過點(diǎn) D 作 DMAB，DNAC，垂足分別為 M、N，那么 DM、DN 是ABC 的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN 因此PDMQDN= 4 所以QN = 3 PM ， PM= 4 QN 3所以 PM = DMQNDN34圖 2圖 3圖 4如圖 3，當(dāng) BP2，P 在 BM 上時(shí)，PM1此時(shí)QN = 3 PM = 3 所以CQ = CN + QN = 4 + 3 = 19 4444如圖 4，當(dāng) BP2，P 在 MB 的延長線上時(shí)，PM5此時(shí)QN = 3 PM = 15 所以CQ = CN + QN = 4 + 15 =

39、 31 4444（3）如圖 5，如圖 2，在 RtPDQ 中， tan ÐQPD = QD =DN= 3 PDDM4在 RtABC 中， tan ÐC = BA = 3 所以QPDCCA4由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ 因此PDFCDQ當(dāng)PDF 是等腰三角形時(shí)，CDQ 也是等腰三角形如圖 5，當(dāng) CQCD5 時(shí)，QNCQCN541（如圖 3 所示）此時(shí) PM = 4 QN = 4 所以 BP = BM - PM = 3 - 4 = 5 3333如圖 6，當(dāng) QCQD 時(shí)，由cos C = CH ，可得CQ = 5 ¸ 4 = 2

40、5 CQ所以 QNCNCQ 4 - 25 = 7 （如圖 2 所示）25888此時(shí) PM = 4 QN = 7 所以 BP = BM + PM = 3 + 7 = 25 3666不存在 DPDF 的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ（如圖 5，圖 6 所示）圖 5圖 6考點(diǎn)伸展如圖 6，當(dāng)CDQ 是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的三角形，PBPD在BDP 中可以直接求解 BP = 25 6相等，可以得到BDP 也是等腰例 22012 年揚(yáng)州市中考第 27 題如圖 1，拋物線 yax2bxc 經(jīng)過 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線 l 是拋物線的對稱軸（1） 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2

41、） 設(shè)點(diǎn) P 是直線 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC 的周長最小時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（3） 在直線 l 上是否存在點(diǎn) M，使MAC 為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12 揚(yáng)州 27”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn) P 落段 BC 上時(shí)，PAPC 最小，PAC 的周長最小拖動(dòng)點(diǎn) M 在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，觀察MAC 的三個(gè)頂點(diǎn)與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點(diǎn) M 有1 次機(jī)會落在 AC 的垂直平分線上；點(diǎn) A 有 2 次機(jī)會落在 MC 的垂直平分線上；點(diǎn) C 有 2 次機(jī)會落在

42、MA 的垂直平分線上，但是有 1 次 M、A、C 三點(diǎn)共線思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn) P段 BC 上時(shí)PAC 的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè) ya(x1)(x3)，代入點(diǎn) C(0 ,3)，得3a3a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是 y(x1)(x3)x22x3（2）如圖 2，拋物線的對稱軸是直線 x1當(dāng)點(diǎn) P 落段 BC 上時(shí)，PAPC 最小，PAC 的周長最小設(shè)拋物線的對稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 H由 BH= PH ，BOCO，得 PHBH2BOCO所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1,

43、 2)圖 2（3）點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1, 1)、(1, 6 )、(1, - 6 )或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的： 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1,m)在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖 3，當(dāng) MAMC 時(shí)，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1, 1)如圖 4，當(dāng) AMAC 時(shí)，AM2AC2解方程 4m210，得m =± 6 此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1, 6 )或(1, - 6 )如圖 5，當(dāng) CMCA 時(shí)，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6當(dāng) M(1, 6)時(shí)，M、A、C 三點(diǎn)共線，所以

44、此時(shí)符合條件的點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1,0)圖 3圖 4圖 5例 32012 年臨沂市中考第 26 題如圖 1，點(diǎn) A 在 x 軸上，OA4，將線段 OA 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°至 OB 的位置（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過 A、O、B 的拋物線的式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、O、B 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12 臨沂 26”，拖動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，O 和B 以及 OB 的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到

45、O 與對稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P 三點(diǎn)共線請打開超級畫板文件名“12 臨沂 26”，拖動(dòng)點(diǎn) P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1. 用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)2. 本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn) P 重合在一起滿分解答（1）如圖 2，過點(diǎn) B 作 BCy 軸，垂足為 C在 RtOBC 中，BOC30°，OB4，所以 BC2， OC = 2 3 所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(-2, -2 3) （2）因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的式為

46、yax(x4)，a =- 3 代入點(diǎn) B (-2, -2 3) ， -2 3 = -2a ´(-6) 63 x(x - 4) = -3 x2 + 2 3 x 所以拋物線的式為 y663（3）拋物線的對稱軸是直線 x2，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng) OPOB4 時(shí)，OP216所以 4+y216當(dāng) P 在(2, 2 3) 時(shí)，B、O、P 三點(diǎn)共線（如圖 2）y = ±23 當(dāng) BPBO4 時(shí)，BP216所以42 + ( y + 2 3)2 = 16 當(dāng) PBPO 時(shí)，PB2PO2所以42 + ( y + 2 3)2 = 22 + y2 綜合、，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, -2

47、3) ，如圖 2 所示y = y = -2 3 12y = -2 3 圖 2圖 3考點(diǎn)伸展如圖 3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D，那么DOA 與OAB 是兩個(gè)相似的等腰三角形36- 2)2 + 23 ，得拋物線的頂點(diǎn)為 D(2, 23 ) 由 y = -633因此tan ÐDOA = 2 3 所以DOA30°，ODA120°3例 42011 年鹽城市中考第 28 題如圖 1，已知一次函數(shù) yx7 與正比例函數(shù) y = 4 x 的圖象交3點(diǎn) B（1） 求點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2） 過點(diǎn) A 作 ACy 軸C，過點(diǎn) B 作直線 l/y 軸動(dòng)A，且與 x 軸交于

48、點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)長的速度，沿 OCA的路線A 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線 l 從點(diǎn) B 出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過，直線 l 交 x 軸R，交線段 BA或線段 AOQ當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時(shí)，點(diǎn) P 和直線 l 都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒當(dāng) t 為為 8？，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積是否存在以 A、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？ 若存在，求 t 的值；若不存在，請說明理由圖 1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11 鹽城 28”，拖動(dòng)點(diǎn) R 由 B 向 O 運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，APR 的面積有一個(gè)時(shí)刻等于 8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P

49、 在 OC 上時(shí)，只存在 AP AQ 的情況；P 在 CA 上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ 是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖 1若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題2求APR 的面積等于 8，按照點(diǎn) P 的位置分兩種情況討論事實(shí)上，P 在 CA 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，定值 4，最大面積為 6，因此不存在面積為 8 的可能3討論等腰三角形 APQ，按照點(diǎn) P 的位置分兩種情況討論，點(diǎn) P 的每一種位置又要討論三種情況滿分解答ì y = -x + 7,ìx = 3,（1）解方程組ï所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(3，4)得íí y =x,4î y = 4.ï

50、38;3令 y = -x + 7 = 0 ，得 x = 7 所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖 2，當(dāng) P 在 OC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由SAPR = S梯形CORA - SACP - SPOR = 8 ，得 111t - 8t +12 = 023+7 - t) ´ 4 - ´ 4´(4 - t) - ´ t(7 - t) = 8整理，得t2 或 t6（222（舍去）如圖 3，當(dāng) P 在 CA 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR 的最大面積為 6因此，當(dāng) t2 時(shí)，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積為 8圖 2圖 3圖 4我們先討論 P 在 OC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖 1，在AOB 中，B45°，AOB45°，OB7，AB = 4 2 ，所以 OBAB因此OABAOBB如圖 4，點(diǎn) P 由 O 向 C 運(yùn)動(dòng)的過，OPBRRQ，所以 PQ/x 軸