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文檔簡介
1、圓中的比例線段圓中的比例線段是由直線和圓的位置關(guān)系反映出線段間的數(shù)量關(guān)系所形成的一類幾何問題,由于直線和圓的多種不同位置關(guān)系,因此就導(dǎo)致了形式多樣的線段間數(shù)量關(guān)系。盡管如此,圓中比例線段的證明問題仍是有規(guī)律可循的,只要掌握正確的解題方法,就可以化難為易,使問題迎刃而解。一、 利用相似三角形當(dāng)成比例的四條線段分別位于兩個(gè)三角形中時(shí),可以從求證的比例式中去尋找相似三角形。利用相似三角形證明線段成比例是解決這類問題的最基本的方法。例1、 已知如圖,ABC內(nèi)接于O,AD是直徑,CFAD于E,交AB于F。求證:AC2ABAF例2、 已知如圖,ABAC,AB是O的直徑,DM是O的切線,M是DM與AC的交點(diǎn)
2、。求證:DC:ACCM:DC例3、 已知如圖, AB、CD是O的直徑,且ABCD于O,過C點(diǎn)作弦CF交AB于E。求證:2CO2CECF二、 利用等積或等量代換當(dāng)不能從所求證的比例式中找到兩個(gè)相似三角形,可以根據(jù)已知條件或圖形性質(zhì),尋求相等線段,替換比例式中線段,也可以尋找等積線段替換乘積中的相應(yīng)線段,再利用相似三角形來證明。例4、 已知如圖, AB是O的直徑,CDAB于G,P是CD延長線上一點(diǎn),PE切O于E,EB交CD于F。求證:PF2PDPC例5、 已知如圖, O的弦ABCD,P是上一點(diǎn),PA、PB交CD于E、F兩點(diǎn),O的切線AG交DC延長線于G。求證:例6、 已知如圖, AB是O的直徑,C
3、切O于F,切AB于D,DC交O于E。求證:ED2ABCD例7、 已知如圖, 點(diǎn)A在O上,A交O于E、F兩點(diǎn),O的弦AB交A于C,交EF于D。求證:AC2ABAD三、 利用恒等變形有的等積式形式比較復(fù)雜,式子中出現(xiàn)和差問題,我們可以將等積式變形,再通過等量代換證明。例8、 已知如圖,O1與O2外切于點(diǎn)P,CD是O1的直徑,CP、DP的延長線分別交O2于F、E,過C作O1的切線CH,交O2于A、H,交PE于B,交EF于G。求證:(1)AC2ABAD(2)BGBCAG2BG2例9、 已知如圖,ABC內(nèi)接于O,BAC的平分線交BC于D,交O于E。求證:AD2ABACBDCD例10、 已知如圖,AB是O
4、的直徑,P為O外一點(diǎn),PMAB,M為垂足,PM交O于N,PCD為O的割線,分別交O于C、D兩點(diǎn)。求證:PCPD+ MAMBPM2例11、 已知如圖,O1與O2相關(guān)于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作O2的切線CM,交O1于C,直線CB交O2于D,DA的延長線交O1于E,連結(jié)CE。求證:(1)CAE是等腰三角形(2)DADECD2 CE2例12、 已知如圖,過O上一點(diǎn)A作A交O于B、C,過點(diǎn)A的直線交O于E、A,交A于D、G,交BC于F。求證:EFAFAD2 AF2四、 尋求隱含關(guān)系有些題目中所求證的比例線段(或等積線段)左右兩邊的方次不同,這往往是由于約去了相同的線段所造成的,因此,應(yīng)該正確地尋找所約去的線段,才能進(jìn)一步解決問題。例13、 已知如圖,PA為O的切線,A為切點(diǎn),PCBO的割線,與O交于B、C,M為AC的中點(diǎn),PM的延長線交AB于D。求證:例14、 已知如圖,AB、CD為O的兩條平行弦,過點(diǎn)A作O的切線交DC延長線于E。求證:例15、 已知如圖,ABC內(nèi)接于O,過點(diǎn)A作O的切
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