整體數(shù)學(xué)教學(xué)

1、整體數(shù)學(xué)教學(xué)- “三角形相似判定理 ”教學(xué)課例一、整體教學(xué)設(shè)計(jì)的背景1. 人為割裂 , 忽視知識(shí)聯(lián)系教師常規(guī)的教學(xué)往往是按部就班，依據(jù)教材的課時(shí)劃分時(shí)，很少考慮知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系 , 及保持知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性。如教學(xué)某性質(zhì)判定理進(jìn) , 今天教“判定定理1”，明天教“判定定理 2”，后天教“判定定理 3”每個(gè)判定定理都是以固定的模式展開：“已知”、“求證”、“證明”，而且只是注重定理的本身展開，而不思考與其他相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。證明后用較多的時(shí)間直接操練該定理的“應(yīng)用” 。這樣教學(xué)的弊端是十分明顯的。首先，學(xué)生對(duì)判定定理整體性認(rèn)識(shí)一開始就被人為地割裂，缺乏對(duì)這類知識(shí)的整體性認(rèn)識(shí)，不能從大局觀上與原有知

2、識(shí)建立有效的聯(lián)系。也許從當(dāng)堂課操練效果不錯(cuò)，對(duì)練習(xí)中單一使用本定理顯示出“能掌握、能理解” 。但當(dāng)幾條定理全部呈現(xiàn)后操練時(shí)，不少學(xué)生對(duì)定理運(yùn)用的選擇上存在障礙。這是這種“單一對(duì)象”的教學(xué)無法克服的弊病。其次，這種“單一對(duì)象”的教學(xué)不尊重學(xué)生和低估學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)。明明學(xué)生對(duì)這一類相似型知識(shí)有一種 “似曾相識(shí)” 的感覺，有一種內(nèi)在的對(duì)兩類 “相似型”知識(shí)主動(dòng)的認(rèn)知欲望或沖動(dòng)，但這種主動(dòng)的欲望和沖動(dòng)總是被拒絕的。因此學(xué)生往往處于被動(dòng)地位。2. 強(qiáng)調(diào)認(rèn)知準(zhǔn)備 , 整體把握整體數(shù)學(xué)教學(xué)就是 “需要從整體上把握， 至少把一個(gè)單元的數(shù)學(xué)思想， 核心意識(shí)，象一個(gè)胚胎那樣置于中心地位，然后，教師和學(xué)生則向這

3、個(gè)“數(shù)學(xué)胚胎”輸送營(yíng)養(yǎng)和活力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)健康進(jìn)行 ?”1 。因此，基于知識(shí)整體結(jié)構(gòu)相似性考慮，運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)的認(rèn)知準(zhǔn)備，主動(dòng)構(gòu)建主要的知識(shí)， 這是有利于結(jié)構(gòu)化知識(shí)的構(gòu)建及培養(yǎng)元認(rèn)知 “調(diào)控”的能力。根據(jù)對(duì)“三角形相似的判定定理”知識(shí)的結(jié)構(gòu)分析 ( 如圖 1), 我們探究整體教學(xué)策略的設(shè)計(jì)。 我們把相似三角形的三條判定定理作為一般三角形相似的判定方法整體學(xué)習(xí)的，使學(xué)生對(duì)相似三角形判定方法在較短時(shí)間內(nèi)形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生面對(duì)選擇時(shí)，作出正確、有效的判斷，有利于領(lǐng)悟?qū)W習(xí)知識(shí)時(shí)所應(yīng)考慮的方式與策略等默會(huì)知識(shí)。3充分尊重學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，找準(zhǔn)新知識(shí)的固著點(diǎn)?，F(xiàn)代建構(gòu)主義的理論告訴我們，只有充分調(diào)動(dòng)學(xué)

4、生的認(rèn)知準(zhǔn)備，使學(xué)生將新知識(shí)與原有知識(shí)建立有效的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，以學(xué)生的親身體驗(yàn)主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)，這種學(xué)習(xí)才是有效的。我們?cè)谠O(shè)計(jì)中始終以“全等三角形的判定”，“相似三角形的預(yù)備定理”作為固著點(diǎn)，以類比、化歸為方法來構(gòu)建相似三角形判定的新知識(shí)。同時(shí)，當(dāng)我們構(gòu)建起相似三角形判定的新知識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)，反過來對(duì)原來全等三角形判定的知識(shí)作出適當(dāng)?shù)母淖?，使它納入到新的相似三角形判定這一新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。在這課例中，知識(shí)的同化與順應(yīng)是非常清晰的。4凸現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，注重思想方法的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生已有一定的領(lǐng)悟。從某種意義上講，數(shù)學(xué)就是一門化歸的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是化歸。在“相似三角形判

5、定定理”的學(xué)習(xí)過程學(xué)生將看到三條判定定理的得出都是通過將其化歸為預(yù)備定理得以實(shí)現(xiàn)的，這將勢(shì)必感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是化歸?；瘹w的思想不僅是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想，而且是人們認(rèn)識(shí)世界、分析問題、解決問題不可或缺的思想方法。同時(shí)，在具體構(gòu)建新知識(shí)時(shí)， 又用了類比推理的數(shù)學(xué)思想， 這些數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題目標(biāo)之一。5創(chuàng)設(shè)問題情境，使問題情境化、過程化、延伸化。激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力的一種很有效的方法，就是創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生引起認(rèn)知沖突或置身于渴望求得新知解決問題的情境中，這時(shí)的學(xué)習(xí)是最為有效的。為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了“網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形是否相似”的問題情境，學(xué)生用定義或預(yù)備定理難解決，激起新的判定方法

6、的學(xué)習(xí)欲望。當(dāng)學(xué)了三條判定定理后，就較容易地解決了問題，使他們體會(huì)到一種學(xué)習(xí)成功的愉悅。已有知識(shí)探究新知圖 1二、“相似三角形的判定”的教學(xué)研究（一）教學(xué)設(shè)計(jì)相似三角型的概全等三角形的已教學(xué)目標(biāo)：學(xué)1、掌握相似三角形的判定定理，并能初步運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題。過的2、經(jīng)歷“觀察探索猜測(cè)證明”的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律，最基本的性同時(shí)提高幾何的圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文最字基語(yǔ)本言的表性達(dá)能力。知3、通過相似三角形的判定定理的探索過程，滲透類比、化歸等數(shù)學(xué)思想。識(shí)4、通過合作交流、自主評(píng)價(jià)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，逐步形成正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀。（固著點(diǎn)1）預(yù)備教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)教師活動(dòng)

7、學(xué)生活動(dòng)板書節(jié)復(fù) 習(xí) 提你知道的有關(guān)相似三角（1）相似三角在 ABC和 A1B1C1 中：?jiǎn)栃蔚闹R(shí)有哪些？形的定義及預(yù)A=AB BC1，1 、，備定理。今天C1學(xué)什 么 ？（2）全等三角全等三角形的判定形與相似三角A.S.A ；A.A.S ； S.A.S;形的關(guān)系以及S.S.S ；H.L全等三角形的化歸判定。創(chuàng) 設(shè) 情利用已有知識(shí)，能否解當(dāng)運(yùn)用已知知課題：相似三角形的判定景此題？如圖，在邊長(zhǎng)為識(shí)（預(yù)備定理全等三角形判定（固著同化相似三角形和定義）來證1 個(gè)單位的方格紙上有ABC和 BDE，猜測(cè)明這兩個(gè)三角點(diǎn) 2）定理ABC與 BDE是否相似。 形相似面臨困順應(yīng)符若相似，能證明嗎？難時(shí)，產(chǎn)生尋

8、簡(jiǎn)號(hào)（放到課的最后）記求更為有效表的、簡(jiǎn)便的判類比定方法需求？SAS根據(jù)全等三角形的判定AB/A1B1 = AC/A1 C1， 探 求 新小組討論板書類比即將學(xué)習(xí)的知識(shí)ASA類比（部分學(xué)生存有的“？” ）AAS類比，知（條件），利用相似三角大膽猜測(cè)全等相似1猜測(cè)形定義條件，選擇盡可ASA兩角對(duì)應(yīng)相等能少的條件判定兩個(gè)三AAA角形相似。SAS兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等SSS三邊對(duì)應(yīng)成比例HL2證明以上猜想是否正確，必小組討論后，第一個(gè)判定定理證明全過須證明，請(qǐng)學(xué)生選擇他全班交流。程們希望首先證明的命（第一個(gè)命題題，逐一證明。的證明學(xué)生口述，教師板演，強(qiáng)調(diào)證明思路；第二、第三個(gè)命題證明學(xué)生口述）簡(jiǎn)

9、單 應(yīng)運(yùn)用相似三角形的判定獨(dú)立思考，完比較學(xué)生的不同證法用定理解“情境問題”成后全班交流小 結(jié) 與提問：反思和發(fā)表對(duì)自 主 評(píng)全等三角形是相似三角本堂課的體驗(yàn)價(jià)形的特例，那么，全等和收獲三角形的判定一定也是相似三角形判定的特例，若將全等三角形的判定納入到相似三角形的判定中，全等三角形的判定用相似三角形的判定如何描述？布 置 作必做題：練習(xí)冊(cè) 28.4 （1）業(yè)選做題：將課堂中的例題引申；（1） ABE為幾度；（2）連結(jié) AE， ABE是什么三角形？（3）將 BED沿 BD翻折，再沿 BC平移后，均 1 2 3 為幾度？（運(yùn)動(dòng)過程，多媒體展示）（二）課堂教學(xué)行為的變化在課堂教學(xué)實(shí)施過程中，我們特

10、別關(guān)注以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。1、基于已有認(rèn)知準(zhǔn)備，學(xué)生通過類比猜測(cè)判定兩三角形相似的條件。在學(xué)生已回顧了全等三角形的判定以及相似三角形的定義后教師鼓勵(lì)學(xué)生利用已有的知識(shí)，大膽猜測(cè)判定兩三角形相似的可能條件。請(qǐng)看以下片斷。師：剛才同學(xué)們已經(jīng)回顧了相似三角形的一些性質(zhì)， 以及全等三角形的判定方法，結(jié)合這些知識(shí)，請(qǐng)你思考一下，在這些條件中，選擇盡可能少的條件來判斷兩個(gè)三角形的相似，討論后回答。（學(xué)生討論，教師巡視并參與組內(nèi)討論） 生： A=A1， B B1（學(xué)生口述，教師板書） 師：還有嗎？ 生： AB/A1B1=AC/A1C1, 且 A=A1。（學(xué)生口述，教師板書） 師：還有嗎？ 生： AB/A1B1=A

11、C/A1C1BC/B1C1；（板書）還有比較復(fù)雜的。 師：噢，沒關(guān)系，你說說看。 生： A=A1， B B1， AB/A1B1= BC/B1C1 （板書） 師：好，請(qǐng)坐。他們小組得到了四種，其他小組看一看。有什么意見嗎 生：前面三種我們小組同意，最后一種我們不同意，前面已有兩個(gè)角相等了，只要這兩個(gè)角相等，就能判定這兩個(gè)三角形相似的話，后面的例式 AB/A1B1= BC/B1C1 是多余的 .在上述師生互動(dòng)中，教學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)及認(rèn)識(shí)策略，通過學(xué)生的合作與討論猜測(cè)三角形相似的判定條件（） ，進(jìn)一步在同伴的幫助下，明晰判定條件（），經(jīng)歷構(gòu)建知識(shí)的活動(dòng)體驗(yàn)。2、學(xué)生自主探究，驗(yàn)證命題。學(xué)生意

12、識(shí)到通過類比猜測(cè)所得到的命題不一定都成立 , 因此學(xué)生有強(qiáng)烈地愿望去證明這些他們親自構(gòu)建的命題是否正確。于是 , 組織小組討論 , 不探究命題的證明。在這一過程中，充分體現(xiàn)學(xué)生的自主合作與交流，傾聽與評(píng)價(jià)。下面這一片段展示了同學(xué)之間的互幫互學(xué)：請(qǐng)你說說你們的想法。生：已知：在 ABC與 A1B1 C1，AB/A1 B1=AC/A1C1 BC/B1 C1 師：他要證的是“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”生：在 ABC中取 AD A1 B1師：在哪條邊上??？生：在 AB 上截取 AD A1 B1，在 AC上截取 AEAC/A1C1，連結(jié) DE，可以證出 ADE A1B1C1師：很好，怎么證明這兩個(gè)三

13、角形全等？生： AD A1 B1，AE A1 C1，然后 （學(xué)生證不下去了）師：他的想法很好，但在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，遇到了困難誰(shuí)能幫助他，好你來說說。生：因?yàn)?AD A1B1 ，AE A1C1 ，且 A1B1/AB A1 C1 /AC，所以 AD/ABAE/AC，所以 DE BC，所以 AD/ABDE/BC，又因?yàn)?A1B1 /ABB1C1 /BC，所以 DEB1C1，所以 ADE A1 B1C1，又因?yàn)?DE BC，所以 ADE ABC，所以 ABC A1 B1C1 。在上述片段中，先是一位同學(xué)上黑板報(bào)告他們小組討論的結(jié)果：證明“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似” ，可是講到一半，這位學(xué)生“

14、卡”住了（ - ）。此時(shí)，老師并沒有急著將正確的證明教給學(xué)生， 而是鼓勵(lì)其他同學(xué)幫助這個(gè)同學(xué)修正和發(fā)展這一證明（ , ）。這樣，教師僅作為問題的提供者，而將發(fā)言權(quán)交給學(xué)生，教學(xué)任務(wù)是在學(xué)生自主學(xué)習(xí)中完成的，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。3、反思交流，逐漸明晰化學(xué)生對(duì)概念或性質(zhì)的理解通常經(jīng)歷一個(gè)從蒙朧（也許包含一些錯(cuò)誤的理解）到明晰，直到靈活應(yīng)用的過程，而這一過程需要學(xué)生通過不斷的實(shí)踐、交流和反思來完成的。自我的反思在這一過程中起著關(guān)鍵的作用。在這節(jié)課中，一開始，史瑩璐同學(xué)提出“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中” ，而且在教師的追問下，她一再堅(jiān)持這個(gè)說法是正確的，考慮學(xué)生說法內(nèi)含一定的合理

15、成分，但僅學(xué)生的當(dāng)時(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，老師說“這個(gè)問題留著，新課上完后我們?cè)賮碛懻摗?。這樣很自然地為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)反思的問題。等到介紹完了三個(gè)判定定理，把學(xué)生引向到討論是否“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中” 。師：我們?cè)倩氐绞番撹刺岢龅倪@個(gè)問題。 “全等三角形的判定方法都可以用在相似三角形的判定上” 。剛才，史瑩璐同學(xué)還是認(rèn)為她的觀點(diǎn)是對(duì)的。噢，你說說。史瑩璐：我現(xiàn)在認(rèn)為，比如，全等中的S、S、S邊、邊、邊只要把它的對(duì)應(yīng)“相等”改為對(duì)應(yīng)“成比例”，就可以用在相似三角形的判定中了。師：對(duì)，這樣就對(duì)了 。通過上述對(duì)話，學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)與反思，把自己的觀點(diǎn)明晰化，把原先原始的直覺觀點(diǎn)

16、，精致成為科學(xué)的論斷。這種過程的呈現(xiàn)，不僅對(duì)這位同學(xué)是一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)與內(nèi)化的過程，也促進(jìn)了學(xué)生之間互相啟發(fā)、取長(zhǎng)補(bǔ)短的學(xué)習(xí)共同體的形成。三、實(shí)踐反思（1） 重視現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)產(chǎn)生了重大的影響，現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用對(duì)于改善數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程， 幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、改進(jìn)學(xué)習(xí)方式起到重要作用。在第一次教學(xué)設(shè)計(jì)中，多媒體僅僅用作呈現(xiàn)教學(xué)材料的目的，而在第二次教學(xué)設(shè)計(jì)中，充分考慮如何用多媒技術(shù)來展示證明的思想方法及過程，以及通過圖形的變換來揭示問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣較好地把技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)起來。正如在課后訪談中，同學(xué)在回答“

17、今天這堂課留給你最好印象是什么？”時(shí)，有的說“充分利用學(xué)校的硬件設(shè)備，使課堂變得生動(dòng)、形象，我很喜歡”；也有的答道：多媒體教室里設(shè)備齊全，可以使老師做好充分準(zhǔn)備，以致于不會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，畢竟四十分鐘很有限” 。的確，現(xiàn)代技術(shù)與課程內(nèi)容整合，可將數(shù)學(xué)中抽象的東西直觀化，展示思維的過程，對(duì)于改進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量有著積極作用。（2） 任務(wù)的創(chuàng)設(shè)與使用課堂總是圍繞某些任務(wù)（或問題）而展開的。 一個(gè)精心設(shè)計(jì)的問題，不僅可以用來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的動(dòng)機(jī)， 也可用來作為應(yīng)用學(xué)習(xí)新知識(shí)的載體， 更可通過適當(dāng)?shù)淖兪绞箚栴}解決延伸到課堂以外，拓展學(xué)生探究的空間 。在這節(jié)課中貫穿始終的只有一個(gè)任務(wù)（即判定方格紙中兩個(gè)

18、三角形的相似性） ，在課的開頭，它作為激發(fā)學(xué)生探究“三角形相似判定”的問題情境。在學(xué)習(xí)了新知識(shí)后，它成為學(xué)生運(yùn)用新知來解決此問題自然平臺(tái)，使學(xué)生有學(xué)以致用的成就感。此外，當(dāng)學(xué)生解決了這個(gè)問題時(shí)，教師再將此題引申形成新的具有挑戰(zhàn)性的問題，并將問題延伸到課后。這樣不僅使這節(jié)課前后呼應(yīng)，內(nèi)在一致，而且為學(xué)生的主動(dòng)探究，從情感與認(rèn)知兩方面都提供了合理的載體。這樣的教學(xué)往往給人新鮮的感覺，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力。然而，第一次教學(xué)設(shè)計(jì)中，任務(wù)的創(chuàng)設(shè)主要是為激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的情境服務(wù)。而在第二次教學(xué)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)設(shè)的任務(wù)貫穿于整個(gè)課堂：激發(fā)動(dòng)機(jī)，知識(shí)應(yīng)用，課后探究。（3）關(guān)注學(xué)習(xí)方式的改

19、變?cè)谝酝慕虒W(xué)中，我們往往關(guān)注知識(shí)的傳授與獲得。例如，在本節(jié)課的教學(xué)中，會(huì)把學(xué)生是否掌握相似三角形的判定定理作為教學(xué)成功與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)。 而在這節(jié)課的處理時(shí)，教師更關(guān)注對(duì)思想方法的理解。本課由類比全等三角形的判定猜想得到相似三角形的判定，企盼在這一過程中，學(xué)生能了解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，理解蘊(yùn)含在其中的辯證唯物主義思想。在證明相似三角形判定定理的過程中，始終貫徹“化歸”的思想，從而達(dá)到突破教學(xué)難點(diǎn)的目的。此外，我們更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。從形式上，將課堂教學(xué)的空間形式由原來的“秧田式”座位排列改為T 型排列，縮短了學(xué)生與學(xué)生之間的距離，增強(qiáng)了學(xué)生間的相互交流的機(jī)會(huì)，形成合作學(xué)習(xí)的課堂氛圍。從本質(zhì)上說，

20、這節(jié)課的教學(xué)試圖體現(xiàn)對(duì)“相似型”知識(shí)”的學(xué)習(xí)方式：利用已有知識(shí)，通過類比與化歸來構(gòu)建新知。（4）、關(guān)注學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)在課的最后，留出 5 分鐘的時(shí)間，讓學(xué)生交流本堂課中的體驗(yàn)及收獲。這種交流是開放式的。它包括知識(shí)上的收獲，能力上的提高，數(shù)學(xué)思想、方法的領(lǐng)悟，過程的體驗(yàn)與感受，以及對(duì)老師、同伴、自身教學(xué)行為的反思、評(píng)價(jià)。同時(shí)，學(xué)生也可以對(duì)本堂課進(jìn)行質(zhì)疑，說出心中的疑惑，談?wù)勛约翰煌囊娊?。在本?jié)課中，學(xué)生自主評(píng)價(jià)提到如下幾個(gè)方面（1）數(shù)學(xué)思想方法：類比、化歸。生 1：我們學(xué)習(xí)相似三角形的判定是結(jié)合全等三角形的判定得到的。生 2：相似三角形的判定定理的證明都是用預(yù)備定理來解決的。（2）同伴互助。生 3：我第一次站起來講錯(cuò)了，但經(jīng)同學(xué)的幫助，我現(xiàn)在學(xué)會(huì)了。（3）自主發(fā)現(xiàn)。生 4：我認(rèn)為今天我們學(xué)到的三個(gè)判定定理比預(yù)備定理更加有用、實(shí)用。（4）學(xué)生質(zhì)疑?！皟山菍?duì)應(yīng)相等”。此外，全等三角形與相似三角形的特殊關(guān)系在