工程數(shù)學(xué)第六章6習(xí)題課

1、2一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：分式線性變換及其映射特點(diǎn)分式線性變換及其映射特點(diǎn)分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的映射些簡單區(qū)域之間的映射3二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要共形映射共形映射分式線性映射分式線性映射一一對(duì)應(yīng)性一一對(duì)應(yīng)性保角性保角性保圓性保圓性的幾何意義的幾何意義)(zf 幾個(gè)初等幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成函數(shù)構(gòu)成的映射的映射分式線性映射的確定分式線性映射的確定對(duì)確定區(qū)域的映射對(duì)確定區(qū)域的映射保對(duì)稱性保對(duì)稱性 冪函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zew nzw 4 1. 1. 的幾何意義的幾何意義).()(, 0)(.)(,)(0000

2、tzzCtzttztztCzttzz 于點(diǎn)于點(diǎn)相切相切的向量與的向量與那么表示那么表示如果如果為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)增大方向增大方向正方向?yàn)檎较驗(yàn)槔m(xù)曲線續(xù)曲線平面內(nèi)一條有向連平面內(nèi)一條有向連表示表示設(shè)設(shè) 則有則有正向正向處切線的處切線的上點(diǎn)上點(diǎn)為為起點(diǎn)為起點(diǎn)為的方向的方向若規(guī)定若規(guī)定,)()(000zCzzz 正向之間的夾角正向之間的夾角.)(zf 軸軸處的切線的正向與處的切線的正向與上點(diǎn)上點(diǎn)就是就是xzCtz00)( Arg)1( 5);(, )( ttzz的一條有向光滑曲線的一條有向光滑曲線且且,)( ztzfw正向之間正向之間與與相交于一點(diǎn)的兩條曲線相交于一點(diǎn)的兩條曲線11 )2(CC之

3、間的夾角之間的夾角.向向在交點(diǎn)處的兩條切線正在交點(diǎn)處的兩條切線正與與就是就是的夾角的夾角21 ,CC. 0)( , , )( 00 zfDzDzfw且且內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè): , :0參數(shù)方程參數(shù)方程的有向光滑曲線的有向光滑曲線平面內(nèi)過平面內(nèi)過 zzC)( )( 00zfwwCzfw 平面內(nèi)過平面內(nèi)過映射成映射成將將映射映射6 2) 轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向的形狀與方向無關(guān)無關(guān).)()(Arg0)()1000處的轉(zhuǎn)動(dòng)角處的轉(zhuǎn)動(dòng)角映射后在映射后在經(jīng)過經(jīng)過是曲線是曲線的幅角的幅角導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)zzfwCzfzf 3)保角性保角性方向不變的性質(zhì)方向不變的性質(zhì),

4、 此性質(zhì)稱為保角性此性質(zhì)稱為保角性. 的大小和的大小和具有保持兩曲線間夾角具有保持兩曲線間夾角映射映射 )( zfw )(zfw 夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過. 2121之間的夾角之間的夾角與與對(duì)應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的曲線與與映射后跟映射后跟 CC之間的之間的與與的任意兩條曲線的任意兩條曲線相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)210 CCz7.),(lim)(00000的伸縮率的伸縮率在在為曲線為曲線的值稱的值稱之間的弧長之間的弧長與與上對(duì)應(yīng)的上對(duì)應(yīng)的表示表示弧長弧長間的間的與與上點(diǎn)上點(diǎn)表示表示極限極限zCwwzzCsszfzz 4）伸縮率）伸縮率的的后后通通過過點(diǎn)點(diǎn)是是經(jīng)經(jīng)過過映映射

5、射 )( )(00zzfwzf 的形狀及的形狀及它與曲線它與曲線的伸縮率的伸縮率在在的任何曲線的任何曲線CzC , 0方向無關(guān)方向無關(guān). 所以這種映射又具有所以這種映射又具有伸縮率的不變性伸縮率的不變性.82.共形映射（保角映射）共形映射（保角映射）是共形映射是共形映射在在是共形的，或稱是共形的，或稱在在變性，那末變性，那末具有保角性和伸縮率不具有保角性和伸縮率不在在的鄰域內(nèi)是解析的的鄰域內(nèi)是解析的在在設(shè)設(shè)定義定義0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw 也稱為也稱為第一類共形映射第一類共形映射.僅保持夾角的絕對(duì)值不僅保持夾角的絕對(duì)值不變而方向相反的映射變而方向相反的映射, 稱為稱為第

6、二類共形映射第二類共形映射具有兩個(gè)性具有兩個(gè)性在在那末映射那末映射且且0)(,0)(zzfwzf 質(zhì)質(zhì): (1) 保角性保角性; (2) 伸縮率不變性伸縮率不變性. , , )(0內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)為為內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DzDzfw 9.), 0(均為常數(shù)均為常數(shù)定義定義dcbabcaddczbazw 稱為稱為分式線性映射分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復(fù)合而成分式映射復(fù)合而成:;)1(bzw 平移映射平移映射 3.分式線性映射分式線性映射;)2(azw 旋轉(zhuǎn)與相似映射旋轉(zhuǎn)與相似映射.1)3(zw 反演映射反

7、演映射10 分式線性映射的性質(zhì)分式線性映射的性質(zhì)1）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對(duì)應(yīng)）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對(duì)應(yīng).2）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保角性）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保角性.,01,性映射是保角的性映射是保角的則分式線則分式線的兩條象曲線的夾角的兩條象曲線的夾角過原點(diǎn)過原點(diǎn)下所映成的通下所映成的通等于它們在映射等于它們在映射的夾角的夾角處處遠(yuǎn)的曲線在遠(yuǎn)的曲線在如果規(guī)定兩條伸向無窮如果規(guī)定兩條伸向無窮 zz11 2. 如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成半徑為有限的圓周那末它就映射成半徑為有限的圓周;

8、如果如果有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 那末它就映射成直線那末它就映射成直線. 分式線性映射將擴(kuò)充分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射平面上的圓周映射成成擴(kuò)充擴(kuò)充w平面上的圓周平面上的圓周, 即具有保圓性即具有保圓性. 3）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性注意：注意：1. 此時(shí)把直線看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周此時(shí)把直線看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周.12 4）分式線性映射具有保對(duì)稱性）分式線性映射具有保對(duì)稱性.這一性質(zhì)稱為這一性質(zhì)稱為保對(duì)稱性保對(duì)稱性. . 的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的象曲線的象曲線 C , ,21也是關(guān)于也是關(guān)于它們的象點(diǎn)它們的

9、象點(diǎn)在分式線性映射下在分式線性映射下ww , , 21那那么么的的一一對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)是是關(guān)關(guān)于于圓圓周周設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)Czz13:)0(可由下式給出可由下式給出即即 bcaddczbazw.:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 4.唯一決定分式線性映射的條件唯一決定分式線性映射的條件交比不變性交比不變性 ).3 , 2 , 1( kwk依次映射成依次映射成 , 321zzzz異的點(diǎn)異的點(diǎn)平面上任意給定三個(gè)相平面上任意給定三個(gè)相在在 , , , 321wwww個(gè)個(gè)相相異異的的點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上也也任任意意給給定定三三在在)3 , 2 , 1( , kzk將將線性映射線性映射那么就

10、存在唯一的分式那么就存在唯一的分式14判別方法判別方法:對(duì)確定區(qū)域的映射對(duì)確定區(qū)域的映射 在分式線性映射下在分式線性映射下, C的內(nèi)部不是映射成的內(nèi)部不是映射成 . 的外部的外部的內(nèi)部便映射成的內(nèi)部便映射成 CC 方法方法1 在分式線性映射下在分式線性映射下, 如果在圓周如果在圓周C內(nèi)任取內(nèi)任取 , , 00的內(nèi)部就映為的內(nèi)部就映為則則內(nèi)部內(nèi)部的象在的象在若若一點(diǎn)一點(diǎn)CCzz . 的外部的外部為為C , ; 0的內(nèi)部就映的內(nèi)部就映則則外部外部的象在的象在若若的內(nèi)部的內(nèi)部CCzC 若繞向相反若繞向相反, 則則C方法方法2 . 321321繞向相同繞向相同與與wwwzzz . 的內(nèi)部的內(nèi)部的內(nèi)部就

11、映為的內(nèi)部就映為則則CC . 的外部的外部的內(nèi)部就映射為的內(nèi)部就映射為 C 15圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2) 當(dāng)二圓周上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)當(dāng)二圓周上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí), 這二這二圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域.3) 當(dāng)二圓交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)當(dāng)二圓交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí), 這這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1) 當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí), 這二這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域域.分式線性

12、映射對(duì)圓弧邊界區(qū)域的映射分式線性映射對(duì)圓弧邊界區(qū)域的映射:16 5. 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射映射特點(diǎn)映射特點(diǎn): 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成為原來的但張角變成為原來的 n 倍倍. ).2()1 nzwn冪函數(shù)冪函數(shù)0 n0)(w0 0)(znnwzzw 17特殊地特殊地:.2arg0除去正實(shí)軸的區(qū)域除去正實(shí)軸的區(qū)域平面上平面上共形映射成共形映射成將角形域?qū)⒔切斡騱nzzwn 因此將角形域的張角拉大（或縮?。r(shí)，就可利因此將角形域的張角拉大（或縮?。r(shí)，就可利用冪函數(shù)用冪函數(shù) 所構(gòu)成的共所

13、構(gòu)成的共形映射形映射.)(nnzwzw 或根式函數(shù)或根式函數(shù))(w00)(zn 2nnwzzw 18 )(w00)(zai.)2zew 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zew 如果要把帶形域映射成角形域如果要把帶形域映射成角形域, 常利用指數(shù)函數(shù)常利用指數(shù)函數(shù).0)(w特殊地特殊地:0)(zi 22ew 映射特點(diǎn)映射特點(diǎn): )Im(0 映射成映射成把水平的帶形域把水平的帶形域az .arg0aw 角形域角形域19三、典型例題三、典型例題., 11 , 1,11, wizwz映射成映射成且使且使映射成映射成使使求分式線性映射求分式線性映射例1例1,10的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于圓周是關(guān)于圓周與與因?yàn)橐驗(yàn)?www,1

14、111iziz 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于圓周關(guān)于圓周又又稱點(diǎn)的性質(zhì)知稱點(diǎn)的性質(zhì)知據(jù)分式線性映射不變對(duì)據(jù)分式線性映射不變對(duì)解解1 1 利用分式線性映射不變交比和對(duì)稱點(diǎn)利用分式線性映射不變交比和對(duì)稱點(diǎn)20 iziw1 ,11, 1), 0 , 1( iiiizzww111111111即即,1izziz .)1(1)1(為所求為所求所以所以izziw ).1(110 wizizzw對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)平面上的逆象為平面上的逆象為在在 由交比不變性知由交比不變性知21 解解2,1 wiz時(shí)時(shí)因因,)1(izbazw 所以所以, 1,1 wz時(shí)時(shí)又又由對(duì)稱點(diǎn)的不變性知由對(duì)稱點(diǎn)的不變性知，, 011 wiz對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng),

15、1, 1iab 故故.)1(1)1()1(1)1(為所求為所求所以所以izziizziw 利用不變對(duì)稱點(diǎn)利用不變對(duì)稱點(diǎn), bai 故故22解解3 3將所求映射設(shè)為將所求映射設(shè)為zzewi 1,1zzA ,1 wiz時(shí)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)? 0)1(1 i 所以所以,11,11ii , 1,1 wz時(shí)時(shí)又又,11iA 所以所以ziiziw 11111故故利用典型區(qū)域映射公式利用典型區(qū)域映射公式.)1(1)1(為所求為所求izzi 23例例2 2 求一個(gè)分式線性映射求一個(gè)分式線性映射 它將圓它將圓 映成圓映成圓 ,且滿足條件且滿足條件 )(zfw 1 z1 w. 0)21(, 0)21( ff解解因因 映成

16、映成 的映射為的映射為1 z1 w)1(1)( azaazezfwi ,21 a因?yàn)橐驗(yàn)?212zzewi 所以所以24,)2(3)(2zezfi 又因又因3421 ief 所以所以, 0 21arg f .212zzw 所求映射為所求映射為)2, 1, 0(2 kk25)(zfw 12 z22 iw. 0)2(arg,)2( fif例例3 3 求一個(gè)分式線性映射求一個(gè)分式線性映射 它將圓它將圓 映成圓映成圓 ，且滿足條件，且滿足條件 解解,22,21wiwz 令令),(1 gw 1 )(1 gw , 11 w0 ,2221iiiw 26,)2)2()2(122)2(2iwiiiwezi iw

17、iwezi 2)( 22 所所以以),(w 與與 互為反函數(shù)，互為反函數(shù)，)(zf)(w 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))(1 gw ,21211wiiwei )(11wg 27，由由0) 2(arg fiwiiwiwei 2)(22)( ,32 ie . 0 得得，所以所以iwiwz 2)(22故故.)1(2)2(iizizw , 0) 2(1arg f)(argi 28?11平面上的什么區(qū)域平面上的什么區(qū)域射成射成映映將單位圓盤將單位圓盤問分式線性映射問分式線性映射wzzzw 例4例4 解解:, 1解出解出故從所給映射中將故從所給映射中將由已知條件由已知條件zz ,1 wwz11 zww)1)(1(122

18、wwww即即, 1)(2 www1 ww所以所以,21)(21 ww,21)Re( w即即.21)Re(1 wwz平面上的半平面平面上的半平面映為映為故故29例例5 5 試證明在映射試證明在映射 下下, 互相正交的直線族互相正交的直線族 與與 依此映射成互相正交的直依此映射成互相正交的直線族與圓族線族與圓族 izew 1)Re(Cz 2)Im(Cz .2222Cevu 證證,ivuwiyxz 設(shè)設(shè),)Im(,)Re(yzxz )sin(cosxixeewyiz 因?yàn)橐驗(yàn)?sin,cosxevxeuyy 所以所以,tan,222xuvevuy 3021)Im(,)Re(CyzCxz 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?tan,12222CuvevuC 由于過原點(diǎn)的直線與以原點(diǎn)為心的圓正交，由于過原點(diǎn)的直線與以原點(diǎn)為心的圓正交，故命題得證故命題得證.證畢證畢31 例例6 6 試將如圖所示的區(qū)域映射到上半平面試將如圖所示的區(qū)域映射到上半平面.xyO ii 1解解,1izizw 取分式線性映射取分式線性映射. 0,11 wizwi映射為映射為并將并將映射為映射為將切點(diǎn)將切點(diǎn)由分式線性映射的保圓性知：由分式線性映射的保圓性知：).)1(11iww 且且兩平行的直線兩平行的直線將兩相切的圓周映射為將兩相切的圓周映射為1122iwwewi 取旋轉(zhuǎn)變換取旋轉(zhuǎn)變換將鉛直帶形域?qū)U直帶