最小二乘法應(yīng)用舉例

1、補(bǔ)充材料 1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理（上接教材第二章，p.19）注意：（ 1）用最小二乘法計(jì)算斜率k和截距 b 時(shí)，不宜用有效數(shù)字的運(yùn)算法則計(jì)算中間過程， 否則會(huì)有較大的計(jì)算誤差引入。提倡用計(jì)算器計(jì)算， 將所顯示的數(shù)值均記錄下來為佳。（ 2）如果 y 和 x 的相關(guān)性好，可以粗略考慮b 的有效位數(shù)的最后一位與y 的有效數(shù)字最后一位對(duì)齊， k 的有效數(shù)字與yn-y1 和 xn-x1 中有效位數(shù)較少的相同。 （ 3）確定有效位數(shù)的可靠方法是計(jì)算k 和 b 的不確定度。直線擬合的不確定度估算：（以 ykxb 為例）斜率 k 和截距 b 是間接測(cè)量物理量，分別令測(cè)量數(shù)據(jù)的A 類和 B 類不確定度分量中的一個(gè)分量

2、為零， 而求得另一個(gè)分量比較簡單，最后將兩個(gè)分量按直接測(cè)量的合成方法求出合成不確定度，這種方法被稱為等效法?？梢宰C明，在假設(shè)只有y 存在明顯隨機(jī)誤差的條件下，k 和 b 的“等效” A 類不確定i度分別為：SkSy(xi ) 2xi2nSbSkxi2Syxi2nxi2(xi ) 2n式中， Sy 是測(cè)量值 yi 的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即2( yikxib)2Syin 2n2根據(jù)上述公式即可算出各個(gè)系數(shù)( 斜率 k和截距 b) 的 A 類不確定度值，初看上去計(jì)算似乎很麻煩，但是利用所列的數(shù)據(jù)表格，由表中求出的那些累加值即可很容易算得。最小二乘法應(yīng)用舉例應(yīng)用最小二乘法處理物理量的測(cè)量數(shù)據(jù)是相當(dāng)繁瑣的工作，容

3、易出現(xiàn)差錯(cuò)。 因此，工作時(shí)要十分細(xì)心和謹(jǐn)慣。為便于核對(duì)，常將各數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果首先表格化。例1巳知某銅棒的電阻與溫度關(guān)系為：Rt R0t 。實(shí)驗(yàn)測(cè)得 7 組數(shù)據(jù)（見表 1）如下：試用最小二乘法求出參量R0、 以及確定它們的誤差。表 1t / 19.125.130.136.040.045.150.1Rt /76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10此例中只有兩個(gè)待定的參量R0 和，為得到它們的最佳系數(shù)，所需要的數(shù)據(jù)有n,xi ,yi ,xi2，yi2 和xi yi 六個(gè)累加數(shù)， 為此在沒有常用的科學(xué)型計(jì)算器時(shí)，通過列表計(jì)算的方式來進(jìn)行，這對(duì)提高計(jì)算速度將會(huì)有極大的幫助(

4、 參見表2) ，并使工作有條理與不易出錯(cuò)。其中表內(nèi)雙線右邊的計(jì)算是為了確定R0 和 的誤差項(xiàng)用的。表 2it / Rt /t× tRtRtt ×RtR計(jì)算 /i /2× 10-4( xi )( yi )(22( xi yi )ix i )( yi )119.176.30364.85821.71457.376.26+0.0416225.177.80630.06052.81952.877.99-0.19361330.179.75906.06360.12400.579.43+0.321024436.080.801296.06528.62908.881.13-0.3310

5、89540.082.351600.06781.53294.082.28+0.0749645.183.902034.07039.23783.983.75+0.15225750.185.102510.07242.04263.585.19-0.0981nxiyi22xi yi2xiyii7245.5566.009340.84582620060.8-42845× 10根據(jù)表2 中所求得的數(shù)據(jù)，代入公式（12）（參見教材第二章，p.19）則可得：k7 20060.8 245.5566.001472.60.28788/ 0C79340.8(245.5) 25115.35R0b566.000.28

6、788245.570.7607877把測(cè)量數(shù)據(jù)代入式（13）和（ 15）（參見教材第二章，p.19）中可求出相關(guān)系數(shù)xiyi1xiyi20060.8245.5566.00n721xi )2212( 245.5) 2 ( 45826(566.00) 2xi(yin( yi ) 9340.877)nxi21 (xi)29340.8(245.5) 2kn0.2878870.9975721(yi)2(566.00)245826yin7說明：電阻 Rt 與溫度 t 的線性關(guān)系良好，所以取R0 的有效數(shù)字與R 對(duì)齊，即 R070.76 ；又因?yàn)?t7t1 = 31.0 ， R7 R1 = 8.80 ，取

7、k 有效數(shù)字為以上兩個(gè)差值中較少的位數(shù)3 位，則 k = 0.288 / C。由此可以得到電阻與溫度的相關(guān)關(guān)系為：Rt(70.760.288t)計(jì)算 k 和 b 的不確定度：測(cè)量儀器為不連續(xù)讀數(shù)裝置，儀器誤差R = 0.01 ， t = 0.1 C，按補(bǔ)充資料中的公式計(jì)算，可得2284510 4SySRti0.23854()n272SkSSy0.2390.239 0.03699 0.008841(/ 0C)(xi ) 2xi2(245.5)2n9340.87uku1k222(0.28788)20.120.0120C)3xtR245.50.000502( /3()7u()S2u 20.00884

8、 20.000502 20.008854/ 0C 0.009(/0C)SbSR0Skxi20.008849340.80.32292()n7ubuR01k222(0.28788)20.120.012)3tR30.01759(u( R0 )SR20uR200.32320.0176 20.3240.33( )故R0(70.760.33)(70.80.4)，(0.28790.009)/ 0 C(0.2880.009)/ 0C則Rt(70.8 0.288t )驗(yàn)證及比較最后的計(jì)算結(jié)果：利用計(jì)算機(jī)軟件（Origin7.5）對(duì)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，發(fā)現(xiàn)：其斜率、截距及其標(biāo)準(zhǔn)偏差， 以及測(cè)量值yi 的標(biāo)準(zhǔn)偏差與直接用所述公式進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果是完全一致的（僅討論 A 類不確定度，而B 類不確定度未考慮） 。862006-12-23 14:16 "/Graph1" (2454092)Linear Regression for Data1_B:Y=A+B*X/ecna