專題10二次函數(shù)

1、教學(xué)課題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難占：八、楊老師根底初三學(xué)生:提高2強(qiáng)化上課時(shí)間課時(shí)方案專題十二次函數(shù)復(fù)習(xí)掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 難點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用2022年4月 日共次課第次課1.定義：一般地，如果y二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總2ax bx ca，b，c是常數(shù)，a 0，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)y1拋物線y 符號(hào)關(guān)系.當(dāng)a 0時(shí)點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù)y2ax的性質(zhì)2 2axa °的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.2函數(shù)y ax的圖像與a的拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí) 拋物線開(kāi)口向下 頂ax 2 bx c的圖像是對(duì)稱軸平行于包括重

2、合y軸的拋物線.4.二次函數(shù)2 2y ax bx C用配方法可化成：y a X h k的形式，其中h2ba，k4 ac b 24a5. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：ax2 bx c2 2 2 y ax : y ax k 二 y a x h 二 y a x h k 二 y6. 拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). a決定拋物線的開(kāi)口方向：0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a 0時(shí)，開(kāi)口向下;相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于y軸或重合的直線記作x h .特別地，y軸記作直線x 0.7. 頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù) a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全

3、相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法y1公式法：ax2 bx c2 b2a2 24ac bb 4ac b、- _，4a ，二頂點(diǎn)是 2a 4a ，對(duì)稱軸是直線bx 2a. 配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為y ax h2 k的形式，得到頂點(diǎn)為h,k, 對(duì)稱軸是x h .運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線 的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失2程9.拋物線y ax bx c中，a，b，c的作用21 a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y ax中的a完

4、全一樣.b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y ax bx c的對(duì)稱軸是直線bx 2a,故：b ob 0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；a 即a、b同號(hào)時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè); b o -1 _ a 即a、b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).3 c的大小決定拋物線y ax2 bx c與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x 0時(shí)，y c，二拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)0，C:c 0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c °,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，那么a 10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2

5、y ax當(dāng)a 0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a 0時(shí)開(kāi)口向下x。 y 軸(0,0)y ax kx °( y 軸)(0, k).2y ax hx h(h,0)2y a x hkx h(h,k)y ax2 bx cbx2ab 4ac b2(2a' 4a )11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1) 一般式：y ax' bx c.圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式2教 學(xué) 過(guò) 程 頂點(diǎn)式：y ax h k.圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. 交點(diǎn)式：圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)X1、X2，通常選用交點(diǎn)式：y ax x1 x x2 .12. 直線與拋物線的交點(diǎn)(1)y軸與拋物線y ax2

6、 bx c得交點(diǎn)為(0，c)2與y軸平行的直線x h與拋物線y ax bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn) (h , ah bh C).(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程2ax bx c °的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根 的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)°拋物線與x軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)°拋物線與x軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)°拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同一樣可能有°個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)

7、相等，2設(shè)縱坐標(biāo)為k，那么橫坐標(biāo)是ax bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2一次函數(shù)y収n k °的圖像I與二次函數(shù)y ax bx ca °的圖像G的交點(diǎn)， 由方程組y kx ny ax? bx c的解的數(shù)目來(lái)確定： 方程組有兩組不同的解時(shí)1與G有兩個(gè)交點(diǎn)； 方程組只有一組解時(shí)1與G只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)1與G沒(méi)有交點(diǎn). 拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：假設(shè)拋物線y ax? bx c與x軸兩交點(diǎn)為AX"。, B x2,0，由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根，故b,x X2 aAB2X2x2 2 4x1x24cb2 4aca13.(1)況.二次函數(shù)與一元二次

8、方程的關(guān)系:2ax兒二次方程丫bx c就是二次函數(shù)yax2 bxc當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情2二次函數(shù)y axbxc的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況:有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)yax2 bx c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y 02時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax bx c 0的根.當(dāng)二次函數(shù)y ax? bx c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程2 2y ax bx c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù) y ax bx c的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程ax bx c 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)* bx c2的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，那么一元二次方程a

9、x bx c 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根14. 二次函數(shù)的應(yīng)用：1二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大小值； 二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函 數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大 小值.15. 解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的根本思路： 理解問(wèn)題； 分析問(wèn)題中的變量和常量；3用函數(shù) 表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；4利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；5檢驗(yàn)結(jié)果的合 理性，對(duì)問(wèn)題加以拓展等.專題十二次函數(shù)時(shí)間：90分鐘總分值：100分一、選擇題每題 3分，共24分1 . 2022年北京拋物線y= x2-6x+ 5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A . 3，- 4B . 3，

10、4C. -3，- 4D. - 3，42. 2022年株洲某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y= x2 + 4x 單位：米的一局部，那么水噴出的最大高度是A . 4米B . 3米C. 2米D . 1米教 學(xué) 過(guò) 程2022年呼和浩特一元二次方程4 5象上有三點(diǎn)一 一，y1、,y2、5 4B .拋物線 B .A. y1<y2<y3(2022年重慶) 中，正確的選項(xiàng)是A. a>0y2<y1<y3y= ax2x2 + bx 3 = 0的一根為一3,在二次函數(shù) y= x2 + bx 3的圖 1

11、,y3, y1、y2、y3的大小關(guān)系是6C. y3<y1<y2D . y1<y3<y2+ bx+ ca 0在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下圖，那么以下結(jié)論C. c<0b<05. 2022年宿遷二次函數(shù) y= ax2 + bx+ ca 0的圖象如圖，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是A . a>0B .當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大C. c<0D. 3是方程 ax2 + bx+ c= 0 的一個(gè)根6. 2022年威海二次函數(shù)y= x2 2x 3的圖象如下圖，當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍是A. 1<x<3C . x>37. 202

12、2 年銅仁函數(shù) y= k 3x2 + 2x+ 1 A . k<4B . k < 4& 2022年桂林在平面直角坐標(biāo)系中，得拋物線的解析式是A . y= x+ 12+ 2C . y = x 12 + 2/二、填空題每題 3分，共18分9. 2022年德州將拋物線10 .C.將拋物線B . x< 1D. x< 3 或 x>3的圖象與x軸有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是k<4且k工3D . k < 4且k工3y= x2 + 2x+ 3繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)B.D.y= (x 1)2 + 4y= (x+ 1)2+ 411.y= x2的圖象向上平移1個(gè)單位，那

13、么平移后的拋物線的解析式為2022年河南點(diǎn) A2 , y1、B3 , y2是二次函數(shù)y= x2 2x+ 1的圖象上兩點(diǎn)，貝V 關(guān)系為 y1y2 填“ > 或“=.2022年棗莊拋 物線y= ax2 + bx+ c上局部點(diǎn)的橫坐標(biāo) x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:空1-2-1012304664180°,yi與y的大小從上表可知，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是 .填寫序號(hào)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3, 0;函數(shù)y= ax2 + bx+ c的最大值為6;1拋物線的對(duì)稱軸是 x= -；在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大.212 . 2022年湖州如圖，拋物線 y= x2+ bx+ c經(jīng)過(guò)點(diǎn)0, 3，請(qǐng)

14、你確定一個(gè) b的值，使該拋物 線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在1, 0和3, 0之間，你所確定的b的值是.13 . 2022年宜賓如圖，邊長(zhǎng)為 2的正方形ABCD的中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O, AD / x軸，以O(shè) 為頂點(diǎn)且過(guò)A、D兩點(diǎn)的拋物線與以 O為頂點(diǎn)且過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線將正方形分割成幾局部， 那么圖中陰影局部的面積是 .教 學(xué) 過(guò) 程第13M14. 2022年日照如圖是二次函數(shù) y= ax2 + bx+ ca豐0的圖象的一局部，給出以下命題：a+ b + c=0 ；b>2a :ax2 + bx+ c= 0的兩根分別為3和1 :a-2b + c>0.其中正確的命題是 .只要求填寫正確命

15、題的序號(hào) 三、解答題共58分15. 10分2022年哈爾濱手工課時(shí)，小明準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為60 cm,菱形的面積S單位：cm2隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng) x單位：cm的變化而變 化.1請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量x的取值范圍；2當(dāng)x是多少時(shí)，菱形風(fēng)箏面積 S最大？最大面積是多少？ .b4ac b2參考公式：當(dāng) x= 一 時(shí)，二次函數(shù) y= ax2 + bx+ c a* 0有最小大值 2a4a2116. 12分2022年陜西二次函數(shù)y= - x2 - x的圖象經(jīng)過(guò) AOB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中A 1, m,33Bn , n.1求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

16、2在坐標(biāo)平面上找點(diǎn) C,使以A、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)？2 2 1 能否將拋物線 y= x2 - x平移后經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)？假設(shè)能，求出平移后經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的一條33拋物線的解析式；假設(shè)不能，說(shuō)明理由.17. (12分)(2022年北京市)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y= m/+ (m 3)x 3(m>0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)/ABC = 45。時(shí)，求 m的值；(3) 一次函數(shù)y= kx+ b,點(diǎn)P(n, 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn) P垂直于x軸 的直線交這個(gè)一次函

17、數(shù)的圖象于點(diǎn) M ,交二次函數(shù)y= mx2+ (m 3)x 3 ( m>0)的圖象于點(diǎn)N .假設(shè) 只有當(dāng)一2<n<2時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.18. (12分)(2022年宜賓)拋物線的頂點(diǎn)是C(0 , a) (a>0, a為常數(shù))D(0 , 2 a)為一定點(diǎn).(1) 求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；(2) 設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò) P作PH丄x軸，垂足是H，求證：PD = PH;設(shè)過(guò)原點(diǎn)0的直線I與拋物線在第一象限相交于A、B兩點(diǎn).假設(shè)DA = 2DB，且S abd = 4 . 2 ,求a的值.19. 12 分2022 年杭州設(shè)函數(shù) y= kx

18、2 + 2k + 1x+ 1k 為實(shí)數(shù).1寫出其中的兩個(gè)特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在冋一直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)法畫出 這兩個(gè)特殊函數(shù)的圖象；2根據(jù)所畫圖象，猜測(cè)出：對(duì)任意實(shí)數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；3對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)k,當(dāng)x<m時(shí)，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個(gè)值.課 后 作 業(yè)二次函數(shù)一、選擇題1. 以下判斷中正確的選項(xiàng)是. a、b、c均為實(shí)常數(shù)的函數(shù) y = ax2 + bx+ c是二次函數(shù) 二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c中，三個(gè)實(shí)常數(shù) a、b、c之積不為0 二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c中，a、b、c三個(gè)實(shí)常數(shù)中必須 a* 0 函數(shù)y= ax2

19、 + bx+ c中，右a = 0,那么此函數(shù)必為一次函數(shù)A .、B .、C.、D .2. 假設(shè)函數(shù)y= ax2+ bx+ c的圖象如圖8- 1,那么./m乂圖8- 1A .av 0, b>0,cv0B.av 0,b>0,c>0C.av 0, bv 0,cv0D.av 0,bv 0,c> 03 .假設(shè)二次函數(shù)y= x2- 2x+ c的圖象頂點(diǎn)在x軸的下方，貝V c的取值范圍為.A . cv 1B.cW 1C. cv 0D . cv 14.二次函數(shù)y= ax2 + bx+c的圖象如圖8 2所示，那么一次函數(shù)y= ax+ bc的圖象不經(jīng)過(guò).丄IINi-圖8 2j：>A.

20、第四象限C.第二象限B.第三象限D(zhuǎn).第一象限5.一次函數(shù)y= 5x+ 4與二次函數(shù)y = x2+ 3x+ 5的圖象().A.無(wú)公共點(diǎn)C.有兩個(gè)公共點(diǎn)B.有一個(gè)公共點(diǎn)D .有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)6.把拋物線y= 3X2向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為( ).A . y= 3(x 1)2+ 2B. y= 3(x 1)2 2C. y= 3(x+ 1)2+ 2D. y= 3(x+ 1)2 27 .拋物線y= x2 x 1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 (m , 0)，那么代數(shù)式m2 m + 2022的值為().A. 2007B. 2022C. 2022D. 20228. 二次函數(shù) y

21、= ax2 + bx+ c 的圖象過(guò)點(diǎn) A(1 , 2), B(3 , 2), C(5, 7).假設(shè)點(diǎn) M( 2, y", N( 1, y2),K(8, y3)也在二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c的圖象上，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是().A .y1Vy2 v y3B.y2V y1V y3C.y3V y1V y2D .y1Vy3Vy29. 二次函數(shù)y= x2 2x 1的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為().A.2 2B.3.2C.2 3D .3.310 .在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)( ).、填空題11. 把二次函數(shù) y= 3/+ 6x+ 9配方成y= a(x h)2+ k的形式，y=，當(dāng)x=時(shí)，y有最值，值為.12. 假設(shè)二次函數(shù)y= x2+ bx+ c的圖象的對(duì)稱軸是直線x= 2，頂點(diǎn)到x軸的距離為5,那么b=, c=.13. 拋物線y= x2 bx+ 8 b，假設(shè)頂點(diǎn)在x軸上，那么b值為;假設(shè)頂點(diǎn)在y軸上，那么b值為;假設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么b值為.