一階倒立擺控制系統(tǒng)設計

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上課程設計說明書課程名稱： 控制系統(tǒng)課程設計 設計題目：一階倒立擺控制器設計 院 系： 信息與電氣工程學院 班 級： 設 計 者： 學 號： 指導教師： 設計時間：2013年2月25日到2013年3月8號 專心-專注-專業(yè)課程設計（論文）任務書專 業(yè)自動化班 級學 生指導教師題 目一階倒立擺課程設計子 題設計時間2013年 2 月 25 日 至 2013 年 3 月 8 日 共 2 周設計要求設計（論文）的任務和基本要求，包括設計任務、查閱文獻、方案設計、說明書（計算、圖紙、撰寫內容及規(guī)范等）、工作量等內容。1建立一階倒立擺數學模型2做模型仿真試驗（1）給出Matlab

2、仿真程序。（2）給出仿真結果和響應曲線。3倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設計設計PID控制器，使得當在小車上施加1N的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）穩(wěn)定時間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設計用狀態(tài)空間法設計控制器，使得當在小車上施加0.2m的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒（2）的上升時間小于1秒（3）的超調量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。指導教師簽字： 系（教研室）主任簽字：2013年 3月 5日目錄1、 建立一階倒立擺數學模型首先

3、建立一階倒立擺的物理模型。在忽略空氣阻力和各種摩擦之后， 可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。系統(tǒng)內部各相關參數定義如下：M 小車質量 m 擺桿質量 b 小車摩擦系數 l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）1. 一階倒立擺的微分方程模型對一階倒立擺系統(tǒng)中的小車和擺桿進行受力分析，其中，N和 P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖 1-2 小車及擺桿受力圖 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1-1）由擺桿水平方向的受力

4、進行分析可以得到下面等式： （1-2）即： （1-3）把這個等式代入式(1-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：（1-4）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： （1-5）即： （1-6）力矩平衡方程如下： （1-7）由于所以等式前面有負號。合并這兩個方程，約去 P和 N，得到第二個運動方程： （1-8）設 ，（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設 <<1弧度， 則可以進行近似處理：。用u代表被控對象的輸入力F，利用上述近似進行線性化得直線一階倒立擺的微分方程為： （1-9）2. 一階倒立擺的傳遞函數模型對式(1-9)進行拉普拉斯變換

5、，得：（2-1）注意：推導傳遞函數時假設初始條件為 0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可得：（2-2）或 （2-3）如果令，則有： （2-4） （2-5）把上式代入方程組（2-1）的第二個方程，得：整理后得到傳遞函數：（2-6）其中。3. 一階倒立擺的狀態(tài)空間模型設系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： （3-1）方程組（2-9）對解代數方程，得到解如下：（3-1）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：（3-2）（3-3）擺桿的慣量為，代入（1-9）的第一個方程為：得：化簡得：（3-4）設 則有：（3-5）4.實際系統(tǒng)的傳遞函數與狀態(tài)方程實際系統(tǒng)的模型參數如下:M 小車質量 0.5 Kg m 擺桿質量 0.2

6、Kg b 小車摩擦系數 0 .1N/m/sec l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.3m I 擺桿慣量 0.006 kg*m*m代入上述參數可得系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數：（4-1） （4-2）擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為： （4-3）擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（4-4）以小車加速度為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（4-5） 2、 一階倒立擺matlab仿真實際系統(tǒng)參數如下，按照上面給出的例子求系統(tǒng)的傳遞函數、狀態(tài)空間方程，并進行脈沖響應和階躍響應的matlab仿真。 小車質量 1.096Kg 擺桿質量 0.109Kg 小車摩擦

7、系數 0.1 N/m/sec 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.25m 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 采樣時間 0.005秒1. 傳遞函數法Matlab程序如下： M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L2)-(m*L)2;num=m*L/q 0 0den=1 b*(I+m*L2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;r,p,k=residue(num,den);s=p;得到傳遞函數的分子：num = 2.3566 0 0以及傳遞函數分母:den = 1.0000 0.0883 -27.8

8、285 -2.3094 0開環(huán)極點：s = -5.2780 5.2727 -0.0830 0由此可知，系統(tǒng)傳遞函數的多項式表達式為： （2-1）系統(tǒng)的開環(huán)極點為（s):、，由于有一個開環(huán)極點位于平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)并不是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的脈沖響應如下，由圖也可見，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.1 開環(huán)系統(tǒng)脈沖響應2. 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法可以進行單輸入多輸出系統(tǒng)設計，因此在這個實驗中，我們將嘗試同時對擺桿角度和小車位置進行控制。為了更具挑戰(zhàn)性，給小車加一個階躍輸入信號。 我們用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣，并仿真系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應。在這里給出一個state.m文件，執(zhí)行這個文件，Matla

9、b將會給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A，B，C和D矩陣，并繪出在給定輸入為一個0.2 N的階躍信號時系統(tǒng)的響應曲線。state.m程序如下： p=I*(M+m)+M*m*L2;>> A = 0 1 0 0; 0 -(I+m*L2)*b/p (m2*g*L2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/p 0A = 0 1.0000 0 0 0 -0.0883 0.6293 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2357 27.8285 0>> B=0; (I+m*L2)/p; 0; m*L/pB = 0 0.8832 0 2.3566>&

10、gt; C=1 0 0 0; 0 0 1 0D=0; 0C = 1 0 0 0 0 0 1 0D = 0 0matlab仿真的開環(huán)階躍響應曲線如下圖所示，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.2 系統(tǒng)開環(huán)階躍響應曲線3、 倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設計1. 實驗要求與目的l 要求：設計PID控制器，使得當在小車上施加1N的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）穩(wěn)定時間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真l 目的：進一步熟悉PID控制器的設計方法，步驟，以及P、I、D三參數的調節(jié)方法。2. 理論分析l PID控制原理在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制

11、規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如下圖所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對象G(S)組成。PID控制器是一種線性控制器，它根據給定值與實際輸出值構成控制偏差 將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制，故稱PID控制器。其控制規(guī)律為或寫成傳遞函數的形式式中：比例系數；積分時間常數；微分時間常數。在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數寫成式中：比例系數；積分系數；微分系數。簡單說來，PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：（1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用

12、于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數，越大，積分作用越弱，反之則越強。（3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。l 擺桿角度控制這個控制問題和我們以前遇到的標準控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。系統(tǒng)框圖如下：圖中是控制器傳遞函數，是被控對象傳遞函數。考慮到輸入，結構圖可以很容易地變換成該系統(tǒng)的輸出為其中： 被控對象傳遞函數的分子項被控對象傳遞函數的分母項PID控制器傳遞函數的分子項

13、PID控制器傳遞函數的分母項被控對象的傳遞函數是其中 PID控制器的傳遞函數為只需調節(jié)PID控制器的參數，就可以得到滿意的控制效果。l 小車位置控制小車位置作為輸出時，系統(tǒng)框圖如下：其中，是擺桿傳遞函數，是小車傳遞函數。由于輸入信號，所以可以把結構圖轉換成：其中，反饋環(huán)代表我們前面設計的擺桿的控制器。從此框圖我們可以看出此處只對擺桿角度進行了控制，并沒有對小車位置進行控制。小車位置輸出為：其中，分別代表被控對象1和被控對象2傳遞函數的分子和分母。和代表PID控制器傳遞函數的分子和分母。下面我們來求，根據前面實驗二的推導，有可以推出小車位置的傳遞函數為其中 可以看出， =，小車的算式可以簡化成：

14、 3. PID控制算法的MATLAB仿真實際系統(tǒng)參數如下：M 小車質量 1.096 Kg m 擺桿質量 0.109 Kg b 小車摩擦系數 0 .1N/m/sec l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.25m I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m F 加在小車上的力 x 小車位置 T 采樣時間擺桿的matlab仿真程序代碼如下：M=0.5;m=0.2;b=0.1;I=0.006;g=9.8;L=0.3;q=(M+m)*(I+m*L2)-(m*L)2;num1=m*L/q 0 0;den1=1 b*(I+m*L2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;Kp=1;Ki=1

15、;Kd=1;numPID= Kd Kp Ki;denPID=1 0;num=conv(num1,denPID);den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1);r,p,k=residue(num,den);s=pt=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis(0 2 0 10)運行程序得到：s = -6.4161 3.9693 0.0019 0 0并得到仿真圖像如下：圖3.1 kp=ki=kd=1時的仿真響應圖可見此時系統(tǒng)并不穩(wěn)定，此時應該首先調整kp，觀察其響應的變化：講kp設置為150，得到并觀察響應圖如下：s = -1

16、.2224 +18.0044i -1.2224 -18.0044i -0.0000 -0.0000 -0.0000 圖3-2，kp=150系統(tǒng)仿真圖可見此時系統(tǒng)兩個閉環(huán)極點均在S平面做平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為4秒，滿足要求。此時系統(tǒng)有極小的靜態(tài)誤差，根據系統(tǒng)對于精度的要求可酌情考慮是否添加積分控制，本文添加積分控制。將積分參數設為5，得到并觀察閉環(huán)響應圖。在筆者經過多次嘗試之后，發(fā)現積分控制對于系統(tǒng)響應的調節(jié)作用極小，筆者給出當積分參數分別設為10和50的響應圖如下：圖3-3，ki=10的響應圖3-4，ki=50系統(tǒng)的響應積分作用通常是用來調整系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，使之達到需要的范圍，但是此

17、處明顯積分作用對系統(tǒng)的影響不大，并了解到被控對象的特性屬于變化快的類型，應該考慮改變微分控制，雖然微分控制在實際系統(tǒng)中運用并不多見。筆者將微分作用參數設置為10,20,50觀察其效果圖。 圖3-5，kp=150,ki=50,kd=10的仿真圖像圖3-6，kp=150,ki=50,kd=20的仿真圖像圖3-7，kp=150,ki=50,kd=50的仿真圖像當微分效果加上去的時候，系統(tǒng)閉環(huán)仿真圖像結果得到了質的改善，瞬間取代了超調，不穩(wěn)定，響應時間也迅速降到了0.5秒，穩(wěn)定時間在1秒，完美地完成了任務。其效果已經不能簡單的用好來形容，但是微分作用并非如此普及，并且每次都效果如此良好，要根據不同的對

18、象來判斷用什么作用。必須要說的是，微分作用在物理實現中是并不容易的，如果只有比例調節(jié)和積分調節(jié)就能達到預想的效果，那就不要使用微分調節(jié)。4. 小車位置控制算法仿真pid2.m是仿真小車位置變化的m文件，文件如下：% 小車位置PID控制 % 輸入倒立擺傳遞函數 G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1;I = 0.0034; g = 9.8; l= 0.25;q = (M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/

19、q -b*m*g*l/q 0;num2 = -(I+m*l2)/q 0 m*g*l/q;den2 = den1;% 輸入控制器PID數學模型 Gc(s)=numPID/denPIDKp = 150; Ki = 50; Kd = 50;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;% 計算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數G(s)=num/den% 多項式相乘num = conv(num2,denPID);% 多項式相加den = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1 );% 求閉環(huán)系統(tǒng)極點r,p,k = residue(num,den);% 顯示閉

20、環(huán)系統(tǒng)極點s = p% 求取多項式傳函的脈沖響應t=0:0.005:5;impulse(num,den,t) % 顯示范圍：橫坐標0-5，縱坐標0-10，此條語句參數可根據仿真輸出曲線調整axis(0 5 -0.1 0.5)grid 此時系統(tǒng)取Kp=150，Ki=50，Kd=50，階躍響應仿真曲線如下圖所示：s = -115.0953 -2.4030 -0.4177 0 0 圖3-8，小車位置仿真由仿真結果能夠看出，當擺桿角度處于很好的閉環(huán)控制下時，小車位置雖然處于失控狀態(tài)，但是上升速度不快。四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設計1. 設計目的與要求現代控制理論的最突出特點就是將控制對象用狀態(tài)空間表

21、達式的形式表示出來，這樣便于對多輸入多輸出系統(tǒng)進行分析和設計。線性二次型最優(yōu)控制算法（）是現代控制理論中一種重要的、基本的方法，算法的目的是在一定的性能指標下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來達到最小的狀態(tài)誤差。本章主要利用最優(yōu)控制算法實現對一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車位置的同時控制。設計目的：學習如何使用狀態(tài)空間法設計系統(tǒng)的控制算法。設計要求：用狀態(tài)空間法設計控制器，使得當在小車上施加0.2N的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應 指標為：（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于5秒（2）的上升時間小于1秒（3）的超調量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。2. 最優(yōu)控制器的

22、設計在PID調節(jié)中，我們的輸入是脈沖量，并且在設計控制器時，只對擺桿角度進行控制，而不考慮小車的位移。然而，對一個倒立擺系統(tǒng)來說，把它作為單輸出系統(tǒng)是不符合實際的，如果把系統(tǒng)當作多輸出系統(tǒng)的話，用狀態(tài)空間法分析要相對簡單一些，在這一章我們將設計一個對擺桿位置和小車位移都進行控制的控制器。系統(tǒng)狀態(tài)方程為 在倒立擺相關參數為： 小車質量 1.096Kg 擺桿質量 0.2109Kg 小車摩擦系數 0.1 N/m/sec 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.25 m 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 采樣時間 0.005秒的條件下，狀態(tài)方程系數矩陣如下：；最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能控的，下面來判斷一

23、下系統(tǒng)的能控能觀性。l Matlab仿真程序如下：A=0 1 0 0;0 -(I+m*L2)*b/p (m2*g*L2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(m+M)/p 0B=0;(I+m*L2)/p;0;(m*L)/pC=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0Qc=ctrb(A,B);/判斷能控性K=rank(Qc)Qo=obsv(A,C)；/判斷能觀性I=rank(Qo)1. Matlab仿真結果為：K = 4I = 4即：系統(tǒng)的能控矩陣的秩 。系統(tǒng)的能觀矩陣的秩 。故系統(tǒng)是能控能觀的。因此可以給系統(tǒng)加上最優(yōu)控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足暫態(tài)性能指標。在運用

24、線性二次型最優(yōu)控制算法進行控制器設計時，主要的目的就是獲得反饋向量的值。由上一小節(jié)的推導知道，設計系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時，一個關鍵的問題就是二次型性能指標泛函中加權矩陣和的選取。為了使問題簡化及加權矩陣具有比較明確的物理意義，我們將取為對角陣。假設 ；這樣得到的性能指標泛函為由上式可以看出，是對的平方的加權，的相對增加就意味著對的要求相對其它狀態(tài)變量嚴格，在性能指標中的比重大，的偏差狀態(tài)相對減小。是對控制量的平方加權，當相對較大時，意味著控制費用增加，使得控制能量較小，反饋減弱，而取值較小時，系統(tǒng)控制費用減小，反饋增加，系統(tǒng)動態(tài)響應迅速?？紤]到一階倒立擺系統(tǒng)在運行過程中，主要的被控量為系統(tǒng)的輸出

25、量和，因此在選取加權對角陣的各元素值時，由于代表小車位置的權重，而是擺桿角度的權重，所以只選取、，而。選取和時需要注意的幾個方面：（1）由于我們采用的系統(tǒng)模型是線性化的結果，為使系統(tǒng)個狀態(tài)量能夠在線性范圍工作，要求各狀態(tài)量不應過大。（2）閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對共軛復數極點，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導極點的模不應太大以免系統(tǒng)頻帶過寬，使得系統(tǒng)對噪聲太敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。（3）加權矩陣的減小，會導致大的控制能量，應注意控制的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機構的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)?？刂葡到y(tǒng)如下圖所示，圖中R是施加在小車上的階躍輸入，四個狀態(tài)量、和分別代表小車位移、小車速度、擺桿位置和擺桿角速度，輸出包括小車位置和擺桿角度。我們要設計一個控制器，使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車到達新的命令位置。2） 系統(tǒng)仿真M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;p = I*(M+m)+M*m*l2;A = 0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0;B = 0; (I+m*l2)/p;