(完整版)六年級奧數(shù)最詳細全面_數(shù)論教師版

1、數(shù)論數(shù)論問題本身范圍很廣，我們考察小學奧數(shù)的內(nèi)容，完全平方數(shù)等知識點跟基礎課內(nèi)容結合很緊密，但又是小奧的重難點，我們有必要加以重視.本講需要學生掌握的知識點有：平方數(shù)性質(zhì)、平方差公式、約數(shù)個數(shù)定理、約數(shù)和定理、輾轉(zhuǎn)相除法等本講內(nèi)容中，平方數(shù)部分是數(shù)論中最基本的部分，學生應當學會熟練運用平方差公式，對于約數(shù)和倍數(shù)部分，老師應當更注重其中的邏輯過程，可以適當用一些代數(shù)的方法將題目講的更明白和透徹【例1】一個5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為43,且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù).【分析】現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運用要有具體的數(shù)字，而現(xiàn)在

2、沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手.5位數(shù)數(shù)字和最大的為9>5=45,這樣43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979,97999,98989.【例2】已知ABCA是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)AB是一個質(zhì)數(shù)，BC是一個完全平方數(shù)，CA是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是.【分析】本題綜合利用數(shù)論知識，因為而是一個質(zhì)數(shù)，所以B不能為偶數(shù)，且同時或是一個完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅為16、36，當B1時，滿足AB是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有11,31,41,61,71,時，此時同時保證CA是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全

3、平方數(shù)之積，只有3163符合；當B3,滿足扇是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有13,23,43,53,73,83,此時同時保證CA是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，只有8368符合.【例1】2001個連續(xù)的自然數(shù)之和為abcd,若a、b、c、d都是質(zhì)數(shù)，貝Uabcd的最小值是多少？【分析】遇到等量關系的表述時，先將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.設這2001個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是A，則最大的一個是A2000（遇到多個連續(xù)自然數(shù)問題，轉(zhuǎn)化時一般均采用假設法，自己需要的量，題目中沒有時，可以設未知數(shù)），則它們的和是：AA200020012A10002001A100032329，則A1000是質(zhì)數(shù)，所以A的最小值是9.a

4、bcd的最小值是：1009323291064.拓展101個連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個不同的質(zhì)數(shù)的積，那么這個最小的和應該是.分析設這101個自然數(shù)中最小的數(shù)為a,則101個連續(xù)自然數(shù)的和為：a+(a+1)+(a+2)+(a+100)=(a+a+100)M012=(a+50)M01因為101是質(zhì)數(shù)，所以a+50必須是3個質(zhì)數(shù)的乘積，要使和最小.經(jīng)檢驗a+50=66=3X11最小，所以和最小為66X101=6666.鋪墊已知口'口'Ox=口口,其中、0、分別表示不同的數(shù)字，那么四位數(shù)?？谑嵌嗌?？分析因為m10101,所以在題述等式的兩邊同時約去0即得口、©XA1010

5、1.作質(zhì)因數(shù)分解得10101371337,由此可知該數(shù)分解為3個兩位數(shù)乘積的方法僅有211337.注意到兩位數(shù)匚的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別在另外的兩位數(shù)E和中出現(xiàn)，所以口=13,TO=37,=21.即。=7,=1,口=3,=2,所求的四位數(shù)是7132.【例2】N為自然數(shù)，且N1,N2、N9與690都有大于l的公約數(shù).N的最小值為.【分析】69023523,連續(xù)9個數(shù)中，最多有5個是2的倍數(shù)，也有可能有4個是2的倍數(shù)，如果有5個連續(xù)奇數(shù)，這5個連續(xù)奇數(shù)中最多有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，所以必然有一個數(shù)不是2、3、5、23的倍數(shù)，即與690沒有大于l的公約數(shù).所以9個數(shù)中只有4個奇

6、數(shù)，這個數(shù)中，有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，則N1、N3、N5、N7、N9是偶數(shù)，剩下的4個數(shù)中N2、N8是3的倍數(shù)(5個偶數(shù)當中只有N5是3的倍數(shù))，還有N4、N6一個是5的倍數(shù)，一個是23的倍數(shù).剩下的可以用中國剩余定理求解，N5是2和3的倍數(shù)，且相鄰兩個數(shù)中一個是23的倍數(shù)，另一個是5的倍數(shù)，顯然N524是最小解，所以N的最小值為19.彼申約數(shù)、倍數(shù)EjlJ【例3】已知，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288,最大公約數(shù)是4,甲乙兩數(shù)不是288和4中的數(shù)，那么甲乙兩數(shù)的乘積為多少？和為多少？【分析】設甲乙兩個數(shù)為4x,4y,(x和y都不等于1或72),則x,y兩數(shù)互質(zhì)，于是4x,4

7、y的最小公倍數(shù)為4xy，所以xy-28872,722332,由于x,y互質(zhì)，所以2或3不可能在x,y的因子中都出現(xiàn)，所以x,y一個是8一個是9,所以兩數(shù)的乘積等于4y4x44xy1152,和為4x4y48968.【例4】有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號.1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：這個數(shù)能被2整除”，3號說這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù).【分析】首先可以斷定編號是2,3,4

8、,5,6,7號的同學說的一定都對.不然，其中說的不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對，這樣就與只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合.因此，這個數(shù)能被2,3,4,5,6,7都整除.其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2X5,3X4,2X7都整除，即編號為10,12,14的同學說的也對.從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9.這個數(shù)是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍數(shù)，由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060,因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學寫的數(shù)就是60060.拓展一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)和為10,

9、那么此數(shù)為幾？分析最小的三個約數(shù)中必然包括約數(shù)1,除去1以外另外兩個約數(shù)和是9,由于9是1個奇數(shù)，所以這兩個約數(shù)的奇偶性質(zhì)一定是相反的，其中一定有一個是偶數(shù)，如果一個數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù).于是顯然的，2是這個數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是乙所以這個兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6,所以這個數(shù)只能是14或98,其中有6個約數(shù)的是98.約數(shù)個數(shù)定理:設自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如_q_a2_a31P1P22P33LPn".那么n的約數(shù)個數(shù)為dna11a21a31Lan1自然數(shù)n的約數(shù)和為sn苛P1LL明21a,a,121RP1P22

10、P22LP2P21L_a1_2_1PnnLPnPn1【例5】兩數(shù)乘積為2800,而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多1,那么這兩個數(shù)分別是、.【分析】280024527,由于其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多1,所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)Q2Q4氏2Q22Q4氏2口JO"雙/習可雙I,必I雙/習兀壬刀雙.QX必I雙/、日匕乃2、2、5、25或25.經(jīng)應42驗，只有兩數(shù)分別為2和57時符合條件，所以這兩個數(shù)分別是16和175.鋪墊在三位數(shù)中，恰好有9個約數(shù)的數(shù)有多少個？分析91933,所以9個約數(shù)的數(shù)可以表示為一個質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩個不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有

11、256符合條件，后者中符合條件有100、196、484、676、225、441,所以符合條件的有7個.【例6】兩個整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,CD187，那么AB等于多少？【分析】最大公約數(shù)C,當然是最小公倍數(shù)D的約數(shù)，因此C是187的約數(shù)，1871117,C不等于1,只能是C11或者C17.如果C11,那么D18711176.A和B都是176的約數(shù)，A和B不能是11,只能是22,44,88,176這四個數(shù)中的兩個，但是這四個數(shù)中任何兩個數(shù)的最大公約數(shù)都不是11,由此得出C不能是11.現(xiàn)在考慮C17,那么D18717170,A和B是170的約

12、數(shù)，又要是17的倍數(shù)，有34,85,170三個數(shù)，其中只有34和85的最大公約數(shù)是17,因此，A和B分別是34和85,AB3485119.【例7】已知A是一個有12個約數(shù)的合數(shù)，8A、10A有24個約數(shù)，12A有40個約數(shù)，求15A有多少個約數(shù)？【分析】設A2a3b5cd,d中不含有2、3、5因子，那么A的約數(shù)個數(shù)有a1b1c1N12LLLL（其中N為d的約數(shù)個數(shù)）8A的約數(shù)個數(shù)為a4b1c1N24,與比較得到-42,于是a2,a110A的約數(shù)個數(shù)為a2b1c2N4b1c2N24，與比較J2,于是c1,c1212A的約數(shù)個數(shù)為a3b2c1N10b2N40,與比較得到史22，于是b0,b1將a、

13、b、c代入得到N2,15A的約數(shù)個數(shù)為a1b2c2N36.鋪墊已知偶數(shù)A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)為12,求4A的約數(shù)的個數(shù).分析將A分解，A2B,其中B是奇數(shù)，它的約數(shù)的個數(shù)為11N12,（其中N為B的約數(shù)個數(shù)）,則4A的約數(shù)個數(shù)為13N24.【例8】要使12m頃這個積是65的倍數(shù)，并要使mn最小，則m,n.【分析】分析題意，為同一個數(shù)可以由兩種乘積的形式表示.關于因數(shù)乘積表示形式，類比聯(lián)系我們所學的知識點：質(zhì)因數(shù)的唯一分解式：a億“P2b2P3.Pn1P1,P2.Pn為質(zhì)因數(shù)，加熾心為自然數(shù)mn2mm2n555/"業(yè)心則12923是623的佶數(shù)，則得到2m5m,n為整數(shù)，使m

14、n最小，則m3.m2n5n1【例9】從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？【分析】完全平方數(shù)，所有質(zhì)因數(shù)必成對出現(xiàn).327223266,所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平萬數(shù)的2倍，2313119222008232322048,共31個.鋪墊有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為.分析考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設未知數(shù)的時候有技巧.設中間數(shù)是x,則它們的和為5x,中間三數(shù)的和為3x.5x是平方數(shù)，設5x52a2,則22222-x5a.3x15a35a是立方數(shù)，所以a至少含有3和5

15、的質(zhì)因數(shù)各2個，a至少是225,中間的數(shù)至少是1125.最小數(shù)的最小值為1123.【例10】志誠小學三四年級的學生人數(shù)比一二年級的學生人數(shù)多100人，但比五六年級的學生人數(shù)少53人，已知五六年級的學生人數(shù)和一二年級的學生人數(shù)都是完全平方數(shù)，那么志誠中學總的學生人數(shù)有多少人？（請寫出最現(xiàn)實的答案）【分析】五六年級的人數(shù)和一二年級的學生人數(shù)都是完全平方數(shù)，所以可以設五六年級的學生人數(shù)為A2,一二年級的學生人數(shù)為B2,則153ABAB，而1533317,所以，AB與AB可能為153和1;17和9;51和3,由這三個答案得到的A和B的值分別為：77和76,13和4,27和24,顯然由前兩組答案得到的學

16、校人數(shù)不符合現(xiàn)實，所以A27,B24為最佳結果.此時五六年級的學生人數(shù)為729人，一二年級的學生人數(shù)為576人，三四年級的學生人數(shù)為676,學校的總?cè)藬?shù)為7295766761981人.鋪墊能否找到這么一個數(shù)，它加上24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？分析假設能找到，設這兩個完全平方數(shù)分別為A2、B2,那么這兩個完全平方數(shù)的差為54ABAB，由于AB和AB的奇偶性質(zhì)相同，所以ABAB不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以54不可能等于兩個平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到【例11】一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為智慧數(shù)”，比如16=5232,16就是一個智慧數(shù)”，那么從1開始的自然

17、數(shù)列中，第2003個智慧數(shù)”是.【分析】a2b2=abab.因為ab與ab同奇同偶，所以智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù).對于任何大于1的奇數(shù)2n1(n1),當an1,bn時，都有a2b2=(n1)2n2=2n1.即任何大于1的奇數(shù)都是智慧數(shù)”.22一2一2對于任何大于4的4的倍數(shù)4n(n2),當an1,bn1時，都有ab=(n1)(n1)=4n.即任何大于4的4的倍數(shù)都是智慧數(shù)”.除了1和4以外，非智慧數(shù)”都是不能被4整除的33偶數(shù)，智慧數(shù)約占全部正整數(shù)的-.2003-2671,為26724668,加上1和4這兩個非智慧數(shù)”，在12672中共有非智慧數(shù)”668+2=670)，有智慧數(shù)”267267

18、0=2002(個).所以第2003個智慧數(shù)”是2673.【例12】(2008年清華附中入學考試題)有兩個兩位數(shù)，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)(個位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個兩位數(shù)是(請寫出所有可能的答案)【分析】(法一)設這兩個數(shù)分別是a和a14,則a2與a142兩個數(shù)的末兩位相同，即a2與a228a196的末兩位相同，所以28a196是100的倍數(shù)，a個位只能是3或8.先設a10k3,則28a196280k280,當k4,9時滿足條件，但k9時較大的兩位數(shù)大于100不合題意.再設a10k8，可求得k1,6時滿足條件.所以一共有(43,57)、(18,32)、(

19、68,82)三組答案.2(法一)a14a2a14aa14a28a7,28a7是100的倍數(shù)，所以a7是25的倍數(shù)，符合條件的a只有18、43、68.1. 兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,又有三個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,則這兩個連續(xù)自然數(shù)為，這三個連續(xù)自然數(shù)為.【分析】132142365,所以這兩個連續(xù)自然數(shù)為13、14,102112122365，所以這三個連續(xù)自然數(shù)為10、11、12.2. 有n個自然數(shù)相加：123Lnaaa(和恰好是三個相同數(shù)字組成的三位數(shù))，那么n.【分析】123Ln史1)aaa,n(n1)2aaa2111a2337a，由于a是個一位數(shù)，2n與n1是兩個相鄰的整數(shù)，只有當a6,n36時滿足題意，所以所求的n為36.3. 已知A有12個約數(shù)