一次函數(shù)經(jīng)典例題解析

1、類(lèi)型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-(m-2)x+(m-4)是一次函數(shù)某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件kwo,函數(shù)y=-(m-2)x+(m-4)是一次函數(shù)，am=-2.，當(dāng)m=-2時(shí))函數(shù)y=-(m-2)x+(m-4)是一次函數(shù).“如果函數(shù)”(網(wǎng)是正比例函數(shù)，那么().A.m=2或m=0B.m=2C.m=0D.m=1:考慮到x的指數(shù)為1,正比例系數(shù)kwQ即|m-1|二1；m-20,求得m=0,選C已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；(3)當(dāng)y=4時(shí)，求x的值.(1)由于y-3與x

2、成正比例，所以設(shè)y-3=kx.把x=2,y=7代入y-3=kx中，得7-3=2k,k=2.，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x,即y=2x+3.(2)當(dāng)x=4時(shí)，y=2X4+3=112(3)當(dāng)y=4時(shí)，4=2x+3,，x=5.類(lèi)型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2、求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1),且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式.圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2,則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b,再將點(diǎn)(2,-1)代入，求出b即可.由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b,圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1),.-l=2X2+bb=-5,所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.求函數(shù)的解析式常用的

3、方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。【】已知彈簧的長(zhǎng)度y(cm)在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù)，現(xiàn)已測(cè)得不掛重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為6cm,掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是7.2cm,求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式.題中并沒(méi)給出一次函數(shù)的表達(dá)式，因此應(yīng)先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b,再由已知條件可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6;當(dāng)x=4時(shí)，y=.求出k,b即可.設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b.由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6;當(dāng)x=4時(shí)，y=.把它們代入y=kx+b中得6=01.>-03.，這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=+6.“已知直線y=2x

4、+1.(1)求已知直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求k,b的值.直線y=kx+b與y=2x+l關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，兩直線上的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).又.直線y=2x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(-Q,0),B(0,1),J._.A(石，0),B(0,1)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A00),B'(0,1).，直線y=kx+b必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'(5,0),B'(0,1).把A'(3,0),B'(0,1)代入y=kx+b中得；。十瓦.卜1.k=-2,b=1.所以(1)點(diǎn)M(0,1)(2)k=-2,b=1“判斷三點(diǎn)A(3,1),B(0,-2),C(

5、4,2)是否在同一條直線上.由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說(shuō)明第三點(diǎn)在此直線上；若不成立，說(shuō)明不在此直線上.設(shè)過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b.由題意可知，l-3t+t,：-23瓦.占7 過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2.，當(dāng)x=4時(shí)，y=4-2=2. 點(diǎn)C(4,2)在直線y=x-2上. 三點(diǎn)A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一條直線上.類(lèi)型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用3、圖中的圖象(折線ABCDE5描述了一汽車(chē)在某一直線上的行駛過(guò)程中，汽車(chē)離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖

6、中提供的信息，回答下列問(wèn)題：(1)汽車(chē)共行駛了km;(2)汽車(chē)在行駛途中停留了h;(3)汽車(chē)在整個(gè)行駛過(guò)程中的平均速度為km/h;(4)汽車(chē)自出發(fā)后3h至之間行駛的方向是.讀懂圖象所表達(dá)的信息，弄懂并熟悉圖象語(yǔ)言.圖中給出的信息反映了行駛過(guò)程中時(shí)間和汽車(chē)位置的變化過(guò)程，橫軸代表行駛時(shí)間，縱軸代表汽車(chē)的位置.圖象上的最高點(diǎn)就是汽車(chē)離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離.汽車(chē)來(lái)回一次，共行駛了120X2=24睛米)，整個(gè)過(guò)程用時(shí)小時(shí)，平均速度為240+=千米/時(shí))，行駛途中時(shí)一2時(shí)之間汽車(chē)沒(méi)有行駛.240;(2);(3);(4)從目的地返回出發(fā)點(diǎn).這類(lèi)題是課本例題的變式，來(lái)源于生活，貼近實(shí)際，是中考中常見(jiàn)題型，應(yīng)注意

7、行駛路程與兩地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是汽車(chē)離出發(fā)地的距離，橫坐標(biāo)表示汽車(chē)的行駛時(shí)間.s與時(shí)間t的“圖中，射線1、l分別表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車(chē)比賽中所走的路程函數(shù)關(guān)系，求它們行進(jìn)的速度關(guān)系。比較相同時(shí)間內(nèi)，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作縱軸的平行線，比較該平行線與兩直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小.所以.甲比乙快“小高從家騎自行車(chē)去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A,再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B,最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是()分鐘分鐘分鐘分

8、鐘400“：D分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘,共20分鐘?！澳撤N洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y(升)與時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示：根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：(1)洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？(2)已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升.求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量.依題意解讀圖象可知：從04分鐘在進(jìn)水，415分鐘在清洗，此時(shí)

9、，洗衣機(jī)內(nèi)有水40升，15分鐘后開(kāi)始放水.(1)洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4分鐘；清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40升；排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式為：y=40-19(x-15)即y=-19x+325如果排水時(shí)間為2分鐘，貝Ux-15=2即x=17,此時(shí)，y=40-19X2=2.所以，排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量為2升.類(lèi)型四：一次函數(shù)的性質(zhì)4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A(6,0),交y軸于點(diǎn)B,HAOB的面積為12,y隨x的增大而增大，求k,b的值.設(shè)函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,b),則OB坐I,由4AOB的面積，可求出b,又由點(diǎn)A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值.直線y=kx十b

10、與y軸交于點(diǎn)B(0,b),點(diǎn)A在直線上，則口&,由皿，即3”,解得。-以代入，可得，由于y隨x的增大而增大，則k>0,取則該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細(xì)觀察所畫(huà)圖象，找出隱含條件?！耙阎P(guān)于x的一次函數(shù)叨+(1) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？(2) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)?(3) m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線y=-x平行？(4) m為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？(1)由題意，m需滿足”根次加3,故m=3時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(2)由題意得：m需滿足=故國(guó)畫(huà)加"，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2);-2+18*0n陸工土3<p侍/(3)由題意，m

11、需滿足口-iT1梯=1,故m=4時(shí)，函數(shù)的圖象平行于直線y=x;(4)當(dāng)3m<0時(shí)，即m>3時(shí)，y隨x的增大而減小.“若直線耳ZMJ(cQ)不經(jīng)過(guò)第一象限，則、的取值范圍是上,b：(k<0;b<0)分析：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，有可能是經(jīng)過(guò)二、四象限或經(jīng)過(guò)二、四象限，注意不要漏掉經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的情況。直線i：冷與直線i：菰在同一坐標(biāo)系中的大致位置是().A.B.C.D.:C;分析：對(duì)于A,從l看k<0,b<0,從l看b<0,k>0,所以k,b的取值自相矛盾，排除掉Ao對(duì)于B,從l看k>0,b<0,從l看b>0,k>0,所以k,b的取

12、值自相矛盾，排除掉B。D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求?！昂瘮?shù) 廣版”玳及餐必在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是().【】：B;分析：不論k為正還是為負(fù)，陽(yáng)都大于0,圖象應(yīng)該交于x軸上方。故選B類(lèi)型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),過(guò)點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E。(1)求/OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；(2)若OCD與4BDE的面積相等，求直線CE的解析式；若y軸上的一點(diǎn)P滿足/APE=45,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)。所以/OAB=45 (2) AOCDABDEE點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到 CE的解析式；(1)由A,B兩點(diǎn)的

13、坐標(biāo)知，4AOB為等腰直角三角形，的面積相等，等價(jià)于4ACE與4AOB面積相等，故可求因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，故P為(0,0)時(shí)，/APE=45.(1) .A(1,0),B(0,1),，OA=OB=1,4AOB為等腰直角三角形/OAB=45設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,將A(1,0),B(0,1)代入,"解得k=-1,b=1直線AB的解析式為：y=-x+1即二一一：二,將其代入y=-x+1,得E點(diǎn)坐標(biāo)()設(shè)直線CE為y=kx+b,將點(diǎn)C(-1,0),點(diǎn)E()代入鼠 . 邛=， AP w 44匕直線CE的解析式：二.點(diǎn)E為等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(0,0)時(shí)，/APE=45.考慮

14、面積相等這個(gè)條件時(shí)，直接算比較困難，往往采取補(bǔ)全成一個(gè)容易計(jì)算的面積來(lái)解決問(wèn)題。“在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,點(diǎn)P沿邊按ZB-C-D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(但不與A,D兩點(diǎn)重合)。求4APD的面積y()與點(diǎn)P所行的路程x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。“：當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)是，“222F2xS一寸子.丫-'6(3<7：<7J.:0be).口如圖，直線*二點(diǎn)-管與x軸y軸分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-8,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,0)。(1)求北的值；(2)若點(diǎn)P(f,：，)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在