九年級(jí)上冊(cè)特殊的平行四邊形專項(xiàng)提高練習(xí)難度中等

1、特殊的平行四邊形 1. 學(xué)概念：抓“限制”，畫(huà)樹(shù)圖2. 學(xué)性質(zhì)：抓“特性”，識(shí)共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們具有平行四邊形的一切性質(zhì)（即共性），除此之外，還具有自己的特性.矩形的特性菱形的特性由于正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性質(zhì)：正方形的特性 3. 學(xué)判定：抓“起點(diǎn)”，湊條件（1）矩形的判定方法：條件結(jié)論有一個(gè)角是直角的平行四邊形（是）矩形對(duì)角線相等有三個(gè)角是直角的四邊形（2）菱形的判定方法：條件結(jié)論有一組鄰邊相等的平行四邊形（是）菱形對(duì)角線互相垂直四條邊都相等的四邊形對(duì)角線互相垂直平分（3）正方形的判定方法：條件結(jié)論有一組鄰邊相等的矩形

2、（是）正方形對(duì)角線互相垂直有一個(gè)角是直角的菱形對(duì)角線相等有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形對(duì)角線相等，且互相垂直四條邊都相等，且四個(gè)角都相等的四邊形對(duì)角線相等且互相垂直平分矩形、菱形、正方形的“掌中寶典”矩形菱形正方形定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形性質(zhì)定理四個(gè)角都是直角；對(duì)角線相等；矩形是軸對(duì)稱圖形.四條邊都相等；對(duì)角線互相垂直平分；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形.四條邊都相等；四個(gè)角都相等；對(duì)角線相等；對(duì)角線互相垂直平分；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形是軸對(duì)稱圖形.判定

3、定理（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形；（4）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形.判定定理的表述句型：具有什么特殊性質(zhì)的某大類圖形，是這類圖形.典例分類剖析（矩形）如圖所示，延長(zhǎng)矩形的邊CB至E，使CECA，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，求證：BFFD. 分析：由ABE90°

4、，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，得BFAEAF，易證ADFBCF，有AFDBFC，又CACE，所以CFAE，即可證得BFFD. 證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DABABC90°，ADBC，因?yàn)镕是AE的中點(diǎn)，所以BFAEAF，所以BAFABF，所以DAFCBF. 在ADF和BCF中，ADBC，DAFCBF，AFBF. 所以ADFBCF，所以AFDCFB，又CACE，AFBF，所以CFAE，所以AFDDFC90°，CFBDFC90°，所以BFFD. 評(píng)析：已知條件中有直角三角形斜邊中點(diǎn)，要考慮運(yùn)用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半構(gòu)成等腰三角形求解或證明. （菱形）例. 已知菱形

5、的周長(zhǎng)為40cm，兩條對(duì)角線之比為34，求菱形的面積分析：如圖所示，由菱形的性質(zhì)可得OAB是直角三角形，它的兩條直角邊之比等于菱形的兩條對(duì)角線之比，再由勾股定理列方程求解解：因?yàn)榱庑蜛BCD的周長(zhǎng)是40cm，所以AB10cm因?yàn)镺AAC，OBBD，ACBD43，所以O(shè)AOB43設(shè)OA4x，OB3x，由勾股定理，得（4x）2（3x）2102，解得x2那么OA8，OB6所以AC16，BD12， S菱形ABCDAC·BD×16×1296cm2評(píng)析：由四邊形的兩條對(duì)角線和一邊組成的三角形（如圖中OAB）是我們經(jīng)?？疾榈膶?duì)象特殊的四邊形對(duì)應(yīng)特殊的三角形矩形、菱形、正方形對(duì)應(yīng)

6、的三角形分別是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形掌握這一點(diǎn)，對(duì)于解決四邊形的問(wèn)題是大有益處的（正方形）例. 如圖所示，正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，菱形AEFC，EHAC，垂足為H，求證：EHFC. 分析：要證EHFC，EH在矩形OBEH中，得EHOBBD，而FC是菱形AEFC的邊，CFACBD，所以EHFC，問(wèn)題的關(guān)鍵是要證四邊形OBEH是矩形. 證明：由正方形ABCD得ACBD，ACBD，BOC90°. 又因?yàn)镋HAC，所以EHOB. 又因?yàn)樗倪呅蜛EFC是菱形，得ACCF，ACEF，所以O(shè)HBE. 因此四邊形OBEH是矩形，因此EHOBBDACFC. 評(píng)析：綜

7、合考查了正方形、菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法. 【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知：ABC中，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，MGAB，MDAC，GFAC，DEAB，垂足分別為G、D、F、E，GF、DE相交于H.試判斷四邊形HGMD的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：如圖所示，MGAB，DEAB MG/DE 同理MD/GF 四邊形HGMD為平行四邊形又AB=AC，M為BC的中點(diǎn)， B=C，BM=CM MG=MD 四邊形HGMD是菱形. 例2. 在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).求證：EFGH. 證明：如圖所示，連結(jié)EG、GF、FH、HE. 在ABD中，E、G分別

8、為AD、BD的中點(diǎn)，EG/AB，（三角形中位線定理）同理HF/AB， EG/HF，EG=HF 四邊形EGFH是平行四邊形. EG=GF，平行四邊形EGFH是菱形. EFGH（菱形的對(duì)角線互相垂直）.注意：畫(huà)圖時(shí)，不要把一般四邊形ABCD畫(huà)成特殊四邊形.例3. 已知兩邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD、OKPQ，O為正方形ABCD的中心.求證：不論OKPQ在什么位置，兩正方形重疊部分為定值.分析：既然要證明重疊部分面積與OKPQ位置無(wú)關(guān)，可將OKPQ繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至特殊位置，求出定值后再證明其面積與在一般位置時(shí)面積相等即可.證明：將正方形OKPQ繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖中正方形OMSH位置，正方形OMSH與正方形ABC

9、D重疊部分為OBC，SOBC=，又OBE=OCF，BOE=90°EOC=COF，OB=OC，即正方形OKPQ與正方形ABCD重疊部分面積為.點(diǎn)評(píng)：本例是從事物的聯(lián)系、變化中探索不變量，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，使問(wèn)題迎刃而解，基本思路是“一般問(wèn)題特殊化探索解法解決問(wèn)題”.【考點(diǎn)突破】【典型例題分析】 例1. （2006年海南省中考題）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G與B、C不重合），AEDG于E，CF/AE交DG于F，（1）在圖中找出一對(duì)全等三角形，并加以證明；（2）求證：AE=FC+EF. （1）證明：四邊形ABCD是正方形 AD=DC，ADC=90°

10、又AEDG，CF/AE AED=DFC=90°EAD+ADE=FDC+ADE=90° EAD=FDC （2） DF=DE+EF AE=FC+EF 例2. （2006年山東省青島市中考題）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG/DB交CB的延長(zhǎng)線于G. （1）求證：；（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形， 1=C，AD=CB，AB=CD點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形.證明：四邊形ABCD是平行四

11、邊形，AD/BCAG/BD 四邊形AGBD是平行四邊形四邊形BEDF是菱形 DE=BEAE=BE AE=BE=DE 1=2，3=41+2+3+4=180° 22+23=180° 2+3=90°即ADB=90° 四邊形AGBD是矩形. 例3. （2006年貴州省畢節(jié)地區(qū)中考題）如圖所示，四邊形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P，交DA于Q.（1）求證：AD=CF. （2）AD與CF垂直嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.（3）當(dāng)正方形ODEF繞O點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1），（2）的結(jié)論是否有變化（不需說(shuō)明理由）.（1）證明：四邊形OABC與ODEF均為正方形AO=C

12、O，DO=FO，AOC=DOF=90°DOF+FOA=AOC+FOA即：AOD=COF AD=CF（2）ADCF，理由為： OCF=OADAPQ+OAD=OCF+CPO=90° AQP=90° 即：ADCF（3）當(dāng)正方形ODEF繞O點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）（2）的結(jié)論不會(huì)變化.【綜合測(cè)試A】一、選擇題： 1. 菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為12和16，則其周長(zhǎng)為（ ）A. 20B. 25C. 40D. 60 2. 順次連接矩形四邊中點(diǎn)所成的四邊形是（ ）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形 3. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2a，則它的對(duì)角線長(zhǎng)是（ ）A. 2aB. C

13、. D. 4. 能夠判定一個(gè)四邊形是矩形的條件是（ ）A. 對(duì)角線相等B. 對(duì)角線互相垂直C. 對(duì)角線相等且互相平分D. 對(duì)角線互相垂直平分 5. 一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，順次連結(jié)它各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（ ）A. 平行四邊形B. 菱形C. 矩形D. 正方形二、填空題： 1. 已知矩形的面積為8cm，一邊長(zhǎng)為2cm，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi). 2. 若一個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則它的面積是_. 3. 菱形兩條對(duì)角線之比為3：4，周長(zhǎng)為20，則面積是_. 4. 菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有_條. 5. 兩條對(duì)角線_的平行四邊形是矩形.三、判斷題（正確的在括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)打“

14、15;”）（1）一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.（ ）（2）兩條對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形.（ ）（3）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.（ ）（4）兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.（ ）（5）等邊三角形是中心對(duì)稱圖形.（ ）四、（2006年朝陽(yáng)區(qū)中考模擬題）已知：如圖，正方形ABCD和正方形AEFG.請(qǐng)你在圖中已標(biāo)明字母的點(diǎn)中，連結(jié)出兩條新的相等線段，并證明你的結(jié)論.（1）連結(jié)_，則_=_；（2）證明：五、（2006年南寧市中考題）將圖（1）中的矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把ABC沿著AD方向平移，得到圖（2）中的，除ADC與全等外，你還可以指出哪幾對(duì)全等

15、的三角形（不能添加輔助線和字母）？請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明.六、已知：如圖所示，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，AC上有一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AGEB于G，AG交BD于F.（1）求證：OE=OF；（2）若點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上，AGEB，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【綜合測(cè)試B】矩形菱形與正方形www&.zz*%#www%.zzstep.#com一、選擇題來(lái)源:zzstep.&com%*1. （2015，廣西柳州，12，3分）如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊A

16、B，BC的點(diǎn)，且AG=CE，AEEF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：BE=GE；AGEECF；FCD=45°；GBEECH其中，正確的結(jié)論有（）A 1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2. （2015，廣西欽州，6，3分）如圖，要使ABCD成為菱形，則需添加的一個(gè)條件是（）來(lái)源:#&中教網(wǎng)%中&*%國(guó)教育出版網(wǎng)AAC=AD BBA=BC CABC=90° D AC=BDwww.zzs%te&p.co3. （2015，廣西玉林，11，3分）如圖，ABCD是矩形紙片，翻折B，D，使AD，BC邊與對(duì)角線AC重疊，且頂點(diǎn)B，D恰好落在同一點(diǎn)O上，折痕分別是CE，AF，則等于（

17、）A B2C1.5D4（2015福建龍巖10，4分）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，ABC=120°，則AC的長(zhǎng)為（）A4B4C2D25（2015湖北十堰，第10題3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，若CE=3，且ECF=45°，則CF的長(zhǎng)為（）A2B3CD來(lái)源:中國(guó)教&育出版%網(wǎng)#6（2015丹東，第7題3分）過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFAC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE、CF若AB=，DCF=30°，則EF的長(zhǎng)為（） A 2 B 3 C D 7. （2015梧州,第11題3分）如圖，在菱形ABC

18、D中，B=60°，AB=1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使DF=CD，連接AC、CE、EF、AF，則下列描述正確的是（） A 四邊形ACEF是平行四邊形，它的周長(zhǎng)是4 B 四邊形ACEF是矩形，它的周長(zhǎng)是2+2www&.#z*% C 四邊形ACEF是平行四邊形，它的周長(zhǎng)是4 D 四邊形ACEF是矩形，它的周長(zhǎng)是4+48. （2015貴州省黔東南州,第6題4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，則DH=（）來(lái)&源:zzs%te*A BC12D24來(lái)源:中*國(guó)教育出版網(wǎng)%#9. （2015遼寧省朝陽(yáng),第題3分）如圖，在矩形AB

19、CD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把ABE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在ADC的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)B到BC的距離為（）中&國(guó)教育出版網(wǎng)*A1或2B2或3C3或4D4或510（4分）（2015黔西南州）（第3題）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，則菱形的邊長(zhǎng)AB等于（） A 10 B C 6 D 511（2015遼寧撫順）（第10題，3分）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形ABCD位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB交CD于點(diǎn)E若AB=3，則AEC的面積為（）A3B1.5C2D二、填空題中國(guó)教育*出&#版網(wǎng)1（3分）（2015

20、廣東茂名14，3分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C與C重合若AB=3，則CD的長(zhǎng)為 2. （2015，廣西柳州，18，3分）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于ABC，且邊FG落在BC上若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長(zhǎng)為 www.z%#z&step*.com3. （2015，廣西欽州，18，3分）如圖，以O(shè)為位似中心，將邊長(zhǎng)為256的正方形OABC依次作位似變化，經(jīng)第一次變化后得正方形OA1B1C1，其邊長(zhǎng)OA1縮小為OA的，經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2，其邊長(zhǎng)OA2縮小為OA1的，經(jīng)第三次變化后得正方形OA3B3C3，其邊長(zhǎng)OA3縮小為OA2的，按此規(guī)律，經(jīng)第

21、n次變化后，所得正方形OAnBnCn的邊長(zhǎng)為正方形OABC邊長(zhǎng)的倒數(shù)，則n= 來(lái)源%:*中教網(wǎng)&4. （2015，廣西玉林，18，3分）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 5. （2015，廣西河池，18，3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線于M，交AD的延長(zhǎng)線于N，則+= .第18題6（4分）（2015廣東東莞12，4分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，ABC=60°，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)是 7 （2015內(nèi)蒙古赤峰1

22、2，3分）如圖，M、N分別是正方形ABCD邊DC、AB的中點(diǎn)，分別以AE、BF為折痕，使點(diǎn)D、點(diǎn)C落在MN的點(diǎn)G處，則ABG是 三角形中%國(guó)教*育出版網(wǎng)8（2015廣東龍巖16，3分）我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的腰點(diǎn)（如矩形的對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn)），則正方形的腰點(diǎn)共有個(gè)9（2015丹東，第14題3分）在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別是6和8，則菱形的周長(zhǎng)是 來(lái)源:zzste#%10. （2015北海,第16題3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DC邊的延長(zhǎng)線上若CAE=15°，則AE

23、= M1（3分）（2015黔西南州）（第13題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件： ，可使它成為菱形來(lái)&源%:中教*網(wǎng)#12（2015葫蘆島）（第16題，3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，則它的面積是 三、解答題1. （2015貴州省貴陽(yáng),第18題8分）如圖，在RtABC中，ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，且AECD，CEAB來(lái)源:*中國(guó)教育出版網(wǎng)&#（1）證明：四邊形ADCE是菱形；www.zz&ste*中國(guó)#教育*出版網(wǎng)&（2）若B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計(jì)算結(jié)