高中數(shù)學(xué)+例談均值不等式的運(yùn)用條件和技巧

1、例談均值不等式的運(yùn)用條件和技巧陜西省扶風(fēng)縣第二高級(jí)中學(xué) 梁明軒 722200運(yùn)用均值不等式“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”求最值是中學(xué)數(shù)學(xué)求最值的基本方法之一，許多外形與它截然相異的函數(shù)式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且運(yùn)用均值定理求最值是歷年來高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，因此必須熟練掌握他的運(yùn)用條件和運(yùn)用技巧.一、重視運(yùn)用過程中的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。（1） 注意“正數(shù)”例1、求函數(shù)的值域 .誤解：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以值域?yàn)?這里錯(cuò)誤在于使用均值定理時(shí)忽略了條件：正確解法：；所以函數(shù)的值域是.（2） 注意“相等” 例2、設(shè)，求函數(shù)的最小值.誤解：拿到很容易想到用均值定理，所以有.

2、這里的錯(cuò)誤是沒有考慮等號(hào)成立的條件.顯然要，這樣的不存在，故導(dǎo)致錯(cuò)誤.此題用均值定理，需要拆項(xiàng)，同時(shí)要等號(hào)成立，需要配一個(gè)系數(shù).正確解法：.所以. 例3、. 誤解：所以的最大值為.這里（1）取等號(hào)的條件是僅當(dāng)；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正確解法：僅當(dāng)時(shí)取等，所以.如取（3）注意“定值”例4、已知.誤解：，.以上過程只能說明當(dāng).但沒有任何理由說明這種似是而非的錯(cuò)誤解法，關(guān)鍵在于運(yùn)用重要不等式放縮后的式子不是定值，致使得不出正確的結(jié)果. 正確解法：，所以僅當(dāng).二、常用的處理方法和技巧（1） 拆項(xiàng)：為了創(chuàng)設(shè)使用不等式的條件，有時(shí)需將一些項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，拆為多?xiàng)之積，從而達(dá)到湊

3、積或和為定值的目的。為了使等號(hào)成立，常遵循“平均分拆”的原則.例5、求函數(shù)的最小值.解：，所以僅當(dāng).（目標(biāo)求和的最值，所以湊積為定值，因此拆為相同兩項(xiàng)，同時(shí)使得含變量的因子的次數(shù)和為零）（2） 裂項(xiàng)：常用于分式形式，且分子所含變量因子的次數(shù)比分母的含變量因子的次數(shù)大或相等時(shí)用此方法。例6、設(shè)，求函數(shù)的最小值.所以僅當(dāng).（先盡可能的讓分子變量項(xiàng)和分母相同，然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值，進(jìn)而湊積為定值。即使得含變量的因子的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào)）（3） 添項(xiàng)：求和的最小值時(shí)，為了使積為定值，需添加某個(gè)項(xiàng). 例7、求函數(shù)的最小值. 所以當(dāng)（求和的最值，盡可湊積為定值，因此添加6，再減法6，即使得含變量

4、的因子的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào)）.例8、若.的最小值.解： 所以僅當(dāng)時(shí)的最小值為16.所以求變量出現(xiàn)在分子，已知條件變量在分母，為此添上1（即乘1即乘），變?yōu)榍蠛偷淖钪?，因此湊積為定值，即使得含變量的因子的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào)注意：例8這種解法也叫用“1”的技巧.4、湊系數(shù)：為了求積的最大值，常將因式放入根號(hào)內(nèi)，同乘或同除以某個(gè)正數(shù)，使含變量的各因子之和為常數(shù).例9、求函數(shù)的最大值.解:（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）因此僅當(dāng).（把變量都放在同一條件下的根號(hào)里，求積的最值，湊和為定值，因此配變量次數(shù)相同且系數(shù)和為零，且取到等號(hào)）例10、已知求函數(shù)的最大值.解： 因此僅當(dāng)（求積的最值，湊和為定值，因此首先配變量次數(shù)相同,故把變量放到根號(hào)內(nèi)使次數(shù)升高，再配次數(shù)相同和系數(shù)和為零，且取到等號(hào)）5、分子變量常數(shù)化：常用于分式形式，且分子所含變量因子的次數(shù)比分母的含變量因子的次數(shù)小時(shí)用此方法.例、11設(shè)求函數(shù)的最大值.解：由題而所以僅當(dāng).（分子變量因子次數(shù)比分母的小且變量因子不為零，可同時(shí)除以分子所含變量因子化為前面形式解）6、取倒數(shù)：已知變量出現(xiàn)在分母，所求為變量積且出現(xiàn)在分子，可取倒數(shù)再