線性代數(shù)：第1章 行列式.docx

1、第一章行列式行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識，是線性代數(shù)的一個基本工具，討論很多問題時都用到它。在數(shù)學(xué)的其他分支中行列式也有著很重要的應(yīng)用。§1行列式的定義一、引例我們先看線性方程組%內(nèi)+。12工2=,a2xx+a22x2=b2。當(dāng)aua22-a2a2y*0時的解。由消元法易得:在中學(xué)數(shù)學(xué)中，定義二階行列式%a2|。21“22=aua22-a2a2i,則上述線性方程組的解(1)可寫為:如«12%bb2a22%h2aa2Ci2a22可以發(fā)現(xiàn)解(2)的形式比解(1)的形式更便于記憶。對于三元線性方程組也有類似的結(jié)論。更一般的，結(jié)論可以推廣到元線性方程組%內(nèi)+，2易+.+%/=4%+%

2、2工2+.+%.=%石+%2工2+%=的情形，為此我們先做一些準(zhǔn)備。二、排列定義1：由數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個級排列。級排列通常記為捫2力，易知級不同排列的個數(shù)為!。例如：45321是一個5級排列，5級不同排列的個數(shù)為5!=120o=n（勺f。l<»<j<n上述行列式稱為范德蒙(Vandermonde,735-1796,法)行列式，這個結(jié)果以后可以直接利用。(克萊姆(Cramer,1704-1752,瑞士)法則)方程組(3)的系數(shù)行列式。=ai2ana22壬0,則(3)有唯一解Xj=DJD2,，其中有了按行(列)展開定理，下面介紹元線性方程組(3)解。定理3：是

3、將。中第，列換成常數(shù)列后得到的行列式。證明：將方程組(3)中的個方程依次兩邊乘以人n，A，.,A汩，再把它們左右兩邊分別相加可得:（印AI+。2片1+SAnH+（%2A1+。22A22+）工2+（,&+.+SAQ"=44+如心+W由定理2,即有Dx.=D,從而%=DJD。同理可得Xj=DD仃=2,.,)。易驗證x.=D,/D(J=l,2,是(3)的解。關(guān)于解的唯一性在第三章再給予說明。事實上用克萊姆法則求解線性方程組比較麻煩，而且當(dāng)系數(shù)行列式不等于零時，法則失效。關(guān)于更一般的線性方程組求解，第三章再作進(jìn)一步討論。習(xí)題一1. 計算下列排列的逆序數(shù)1) 9級排列134782695

4、；2) 級排列(一1)21。2. 選擇，和如使得：1) 1274/56*9成奇排列;2) 112544897為偶排列。3. 由定義計算行列式4.計算行列式:。12000000%。32000。42。43。44«51%2%“545.計算階行列式:1464162a(。+1)2(。+2)20+3)24)13279；5)b20+1)2(8+2)20+3)212842(C+l)2(c+2)2(c+3)21-5-12525d2(d+l)2(d+2)2(d+3)2Xy0.00123n-ln0Xy.001-100000X.0002-200t;2)000Xy0002-n0)'00.0X000n-

5、1-n122.21+。11222.211+4.1(H0);4)223.2111+a.«tl222n1)3)提高題1. 已知級排列的逆序數(shù)為知求排列的逆序數(shù)。41)-120-231；2-4-112)1-1111-1111-13)105242()72. 由行列式定義計算fW=2xX11X132X111X2-119x中尸與營的系數(shù)，并說明理由。3.設(shè)P(_r)=xnl.頑1)說明P(x)是一個1次多項式;2)求P(x)=0的根。,其中互不相同。定義2：在一個排列中，如果某兩個位置上的數(shù)前大后小，稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)。排列Z72九的逆序數(shù)通常記為丁(

6、，岳九)。記。表示排列捫2九中數(shù)字&前面比*大的數(shù)的個數(shù),則有/0/)=弓+丁2+以其中&=0。例如丁(45321)=4+3+2+0+0=9,丁(12)=0。定義3：逆序數(shù)為奇(偶)數(shù)的排列，稱為奇(偶)排列。由定義可知排列45321為奇排列；排列12.為偶排列。如果把排列中某兩個位置上的數(shù)進(jìn)行交換得到另一排列，這樣一個變換稱為對換。關(guān)于對換，有下面主要定理：定理1：對換改變排列的奇偶性。證明：分兩種情形來討論。1) 對換的兩個數(shù)相鄰，設(shè)排列為當(dāng)時，記)(jk)=+)/+孔+)，則丁(好)=+()+1)rA+=r+1；當(dāng)，A時，同理可得丁(加.)=丁(*)一1。從而定理成立。2

7、) 對換為一般情形，設(shè)排列為:先將/依次與4,&.,對換變?yōu)槿裕?水.，經(jīng)過s次對換，再將&依次與對換變?yōu)樵?，經(jīng)過了s+1次對換。故排列的對換共經(jīng)過了s+(s+l)=2s+l次的相鄰對換，從而定理成立。三、行列式定義定義4：設(shè)與是/個數(shù)(也稱為元素)，定義階行列式%a2a22*a2nVz=X(T)S%a虻an2其中Z表示對所有的級排列求和。說明：1.階行列式是一個數(shù)，由!項的代數(shù)和所構(gòu)成。2.除符號外，每項為個數(shù)的乘積，這個數(shù)取自于不同的行和列。3. 乘積色月的個數(shù)（元素）（從左到右）行數(shù)按自然順序由小到大進(jìn)行排列，元素的列數(shù)構(gòu)成的排列為J"；九，排列逆序數(shù)丁（./

8、”2九）的奇偶性決定這一項的符號。例1:按定義計算解:解:=£(-i)g)gJ1J2=(1)WUs+C1)'l2a2aa22a2a2結(jié)果與中學(xué)里的直接定義結(jié)果一致。三階行列式亦是如此。%2%3例2：計算0a22a23o00"33ai"13解：0a22%=Z(T)W/S%力00%同=紡="22。33。類似地,同理“11a2”0a22a2n00%缶0.0a222.0。2s%0.00a22.000ann可求得=避220”。該行列式稱為上三角行列式。=%。22為。該行列式稱為下三角行列式。=%外2加。該行列式稱為對角線行列式。行列式中從左上角到右下角這條

9、對角線稱為行列式的主對角線。從定義可知一個階行列式共有!項，計算量很大，但從例2來看，上（下）三角行列式計算比較簡單。下面就介紹行列式的一些性質(zhì)，以便利用這些性質(zhì)化一般行列式為三角行列式，從而簡化行列式的計算。§2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列互換，行列式不變，即注：左邊行列式稱為右邊行列式的轉(zhuǎn)置行列式。句知如%a,A“21a22=“12。22.，an2編%2anna2n褊證明從略。性質(zhì)1表明行列式中行與列的地位是對稱的，因此后面有關(guān)行的性質(zhì)，對列也能成立。性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。即.%久2.cy%a,2命%a.l.atn%.證明：記右邊行列式，行，列的元素為外,則左邊

10、=Z（T）EF"jsjt右邊=_Z=Z（T）d"勾缶=左邊。人劣推論1：兩行（列）元素相同，行列式等于0。證明:，交換元素相同的兩行，行列式不變；另由%”性質(zhì)2可知行列式變號，從而D=D,即£）=0。性質(zhì)3：某行（列）的各元素如有公因數(shù)則可把R提出行列式符號外,即gkai2kciin=kai2ain證明：左邊=Z小£（-i）W"）句=右邊。推論2：某行（列）元素全為0,則行列式為0。推論3：兩行（列）元素成比例，則行列式為0。性質(zhì)4：（“加法”規(guī)則）%如屆+環(huán)bi2+ci2.b.+cin命%a2Cl2%如b,2bm+GiCi2Cin%外2證明：

11、左邊=X(-1)55)缶.(+%)JJr-Jn.虹5右邊。性質(zhì)5：某一行（列）元素的*倍加到另一行（列）對應(yīng)元素上，行列式不證明：由性質(zhì)4和性質(zhì)3的推論立即得證。在計算行列式時，可利用性質(zhì)2和性質(zhì)5把行列式化為上（下）三角行列式。通常用記號礦jS，j（Cj。勺）表示互換行列式的第i行（列）和第，行（列）；用+kr-表示第i行元素的k倍加到第頂行對應(yīng)的元素上。類似地，q+kc,表示第i列元素的R倍加到第，列對應(yīng)的元素上（建議初學(xué)者計算時使用這些記號，便于檢查）。例3：1234234134124123計算解:abbhbabbbbabbbba例4：計算階行列式a+(n-)bbb.ba+(n-)bah

12、.b解：原式=。+(一1)Z?ba.bq+lq-a+(n-)bbbab（即：其余各列都加到第一列上）=160o1234123412340-1-2-7<1-2z20-1-2-7七+心0-1-2-70-2-8-10%-7弓00-4400-440-7-10-130043600040弓一2/j原式=與一3氣4-4/j=。+(一1)/?=a+(n+)b(a-b)''-11bbbabbhr0a-b00h-r=a+(n-)b00a-b0r-r.000a-b例5：當(dāng)為奇數(shù)時，證明:0%2al0-ana2nD=0_20證明：。二（一1）”=D，從而£)=0o這個結(jié)果也常說成:奇數(shù)

13、階反對稱行列式等于零。§3按行（列）展開定理先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念。定義5：劃去行列式中元素所在行的和列，剩下的（-頂個元素按原來的順序構(gòu)成的1級行列式，稱為元素與的余子式，記為M廠稱島為勾的代數(shù)余子式。123122019=2352512例如行列式1=（-1嚴(yán)an定理2（按行列展開定理）：設(shè)。=1)%A,+aj2AJ2+.+ainAJn=2)j+%/&/+anii2)j+%/&/+anii證明：僅證1）,由性質(zhì)1,2）.",)=1,2,)E式亦得證。先看，=/的情形，不妨設(shè)i=j=由行列式的定義容易得到=缶九0又由性質(zhì)4可得再看，力的情形,考察行列式

14、an=知九+%2&+%&。句°00.00°D=a2a22a2n4-a2%a2n+a2a22a2n,偵%編弓2%ClnCln2annai24是將n的第，行元素?fù)Q成第，行的元素，其他行的元素不變，這樣Q與G的第/行的代數(shù)余子式完全相同，按第，行展開有:£>2=+%=0o該定理理論上有重要的價值，后面有些地方會用到。另外，它也可以結(jié)合前面的性質(zhì)簡化行列式的計算。例6：計算510037-22-12350200解：原式=(-1)2+450()=-160(按第4列展開)00.0100.200n-.o0n0.00=10例7：計算行列式35135-22-3-

15、22(+4)(一I)=(-1)2！事實上，此題還可以利用定義或者性質(zhì)2來求解，讀者自行練習(xí)。408374300000.032()解：原式=(-1),+".0,7-1.0()n0.00(+4)(一I)=(-1)2！事實上，此題還可以利用定義或者性質(zhì)2來求解，讀者自行練習(xí)。40837430例8：設(shè)。=12-12562求：1)勺+2總3-人33+3A3；2)3人3+7人3-5人33+5義3o解：1)代數(shù)余子式是第3列的，它們的系數(shù)是第1列的，從而，%+2人23-&3+3A<3=。2)因為3%+7人23+5心+54»3(1+2)A”+(2+5)X73+(1+6)人3+(3+