高數(shù)積分總結(jié)

1、第四章一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用第一節(jié)不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)定義2.函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記為：f(x)dx=F(x)C其中f(x)叫做被積函數(shù)f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)“1”叫做積分號(hào)二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即f(x)dx=f(x);df(x)dx=f(x)dx.性質(zhì)2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)

2、任意函數(shù)，即Jf'(x)dx=f(x)+C,或df(x)=f(x)+C性質(zhì)3.非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來，即kf(x)dx=kf(x)dx(k=0).性質(zhì)4.兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即f(x)-g(x)dx=f(x)dx-g(x)dx基本積分公式(1)jkdx=kx+C(k為常數(shù))(3)11dx=lnxCxaxiaxdx=Clna(7)sinxdx=-cosxC(2)x,ck=x,1C(''-1)(4)exdx=exC(6)cosxdx=sinxC(8)seC2xdx=tanxC(9) icsc2xdx=-cotxC(10) se

3、cxtanxdx=secxC(11)cscxcotxdx=-cscxC(13)cscxdx=lncscx-cotxC(15)f.1dx=arcsinx+C21 -x(12)secxdx=lnsecxtanxC1 一(14) 2dx=arctanx，C-1x(16) J/1dx=arcsinx+C.1f之三、換元積分法和分部積分法定理1.設(shè)中(x)可導(dǎo)，并且(f(u)du=F(u)+C.則有ffe(x)中'(x)dx湊微分ff(P(x)d(P(x)令U"f(u)duF(u)+C代回U=吃)F(、(x)+C該方法叫第一換元積分法(integrationbysubstitution

4、),也稱湊微分法.定理2.設(shè)x=中(t)是可微函數(shù)且中(t)#0,若f(中(t)中t)具有原函數(shù)F(t)，則x=tfxdx4A一'尸換兀txft：tdtFtCF-1xC.凹代一該方法叫第二換元積分法選取u及V(或dv)的原則：1)v容易求得；2)JuVdx比Juv'dx解題技巧：選取u及v的一般方法：把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積，按“反對(duì)哥指三”的順序，前者為u后者為v：第二節(jié)定積分概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、定積分的定義和存在定理三、定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì)1 .定積分的幾何意義2 .定積分的性質(zhì)性質(zhì)1.:f(x)-g(x)dx=；f(x)dx；g(x)dx.性質(zhì)2

5、.ikf(x)dx=kf(x)dx(k是常數(shù)).性質(zhì)3:f(x)dx=；f(x)dx：f(x)dx.性質(zhì)4.:f(x)dx=；dx=b-a-推論1.如果在a,b上，f(x)<g(x)，則"(x)dxw£g(x)dx(a<b).推論2.abf(x)dx<:f(x)dx性質(zhì)5.:f(x)dx0(a：b).性質(zhì)6.設(shè)M與臉別是函數(shù)f(x)在a,b上的最大值及最小值，則m(b-a)"f(x)dx<M(b-a)(a4).性質(zhì)7.(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)且,使下式成立：:f(x)dx=f(

6、)(b-a)(a<<b)可積的充分條件：定理1.函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x)在a,b可積.定理2.函數(shù)f(x)在a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b可積.第三節(jié)微積分基本公式一、微積分基本公式1 .變上限函數(shù)定義1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則它在a,b任意一個(gè)子區(qū)間a,x上可力(x)=axf(t)dx(aMxMb)是上限變量x的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù)2 .微積分基本公式定理2.bf(x)dx=F(b)-F(a)1 .定積分的換元積分法定理3.:f(x)dx=-fi：(t)；(t)dt注：設(shè)f(x)在_a,a上連續(xù)，證明若f(x)在-a,a為偶函數(shù)，則£f(x)dx=21f(x)dx；(2)若f(x)在a,a上為奇函數(shù),則Lf(x)dx=0.2 .定積分的分部積分法定理4.:udv=uv：-：vdu第四節(jié)定積分的應(yīng)用(這點(diǎn)跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=)一、定積分的微元法其實(shí)質(zhì)是找出A的微元dA的微分表達(dá)式.二、定積分在幾何中