頻寬.取樣速率及奈奎斯特定理

1、量測(cè)基礎(chǔ)篇-頻寬、取樣速率及奈奎斯特定理高速數(shù)字器的模擬前端包含模擬輸入電路及模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(AD。兩項(xiàng)主要元件，要了解管中運(yùn)作原理，頻寬、取樣速率、奈奎斯特定理是您必須先行認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵名詞。模擬前端運(yùn)作原理高速數(shù)字器的模擬前端有兩項(xiàng)主要元件，就是模擬輸入電路及模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(AD。模擬輸入電路將信號(hào)衰減、放大、過濾、及/或偶合，使ADC的數(shù)字化能達(dá)到最佳。ADCW處理過的波型做取樣，將模擬輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換為代表經(jīng)過處理之?dāng)?shù)字信號(hào)的數(shù)位值。52RD.com圖1頻寬(Bandwidth)描述的是模擬前端在振幅損失最少的前提下，將信號(hào)從外部世界傳入ADC勺能力；取樣速率(SampleRate)是ADC各

2、模擬輸入波型轉(zhuǎn)換為數(shù)字資料的頻率；奈奎斯特定理(NyquistTheorem)說明取樣速率和受測(cè)信號(hào)的頻率之間的關(guān)系。以下將更詳細(xì)地討論這三個(gè)名詞。頻寬(Bandwidth)頻寬形容一個(gè)頻率范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)，輸入信號(hào)可以用振幅損失最少的方式，穿過模擬前端從探測(cè)器的前端或測(cè)試設(shè)備到達(dá)ADC勺輸入端。頻寬指定為正弦曲線輸入訊號(hào)衰減至原振幅之70.7%時(shí)的頻率，亦稱為-3dB點(diǎn)。下圖說明100MHz高速數(shù)字器的典型輸入反應(yīng)。Ff孫回1卬盅七)e品匕舉例來說，如果你將一個(gè)1V,100MHz的正弦波輸入頻寬為100MHZ的高速數(shù)字器，信號(hào)會(huì)被數(shù)字器的模擬輸入途徑衰減，而被取樣的波型振幅約為0.7Vo數(shù)

3、字器的頻寬最好比要測(cè)量的信號(hào)中的最高頻率高三到五倍，以期在最低的振幅誤差下截取信號(hào)（所需頻寬=（3至5）*欲測(cè)頻率）。受測(cè)信號(hào)的理論振幅誤錯(cuò)可以從數(shù)字器頻寬與輸入信號(hào)頻寬（R）之間的比例計(jì)算得知。Error（%）:j卡100圖4舉例來說，在使用100MHz高速數(shù)字器測(cè)量50MHz正弦曲線信號(hào)時(shí)（其比例R=2,誤差大約為10.5%。另一個(gè)和頻寬有關(guān)的重要主題是上升時(shí)間（risetime）。輸入信號(hào)的上升時(shí)間是指信號(hào)從最大信號(hào)振幅的10%專換到90%勺時(shí)間，而且與頻寬成反向相關(guān)，由以下公式呈現(xiàn)。此公式探用單極模型，R-C限制輸入反應(yīng)為基礎(chǔ)。1?%Risetime=0.35Bandwidth4Ris

4、etime-52FID.cctt(這表示100MHz數(shù)位器的輸入途徑的上升時(shí)間是3.5ns。我們建議數(shù)位器輸入途徑的上升時(shí)間為受測(cè)訊號(hào)上升時(shí)間的1/3至U1/5,才能在上升時(shí)間誤差最低的情況下測(cè)量訊號(hào)。測(cè)得之上升時(shí)間的理論值（Tj）可以利用數(shù)位器的上升時(shí)間（Tl）和輸入訊號(hào)的實(shí)際上升時(shí)間（Trs）計(jì)算而得。圖6舉例來說，在使用100MHz高速數(shù)字器測(cè)量上升時(shí)間為12ns的訊號(hào)時(shí)，測(cè)得的上升時(shí)間約為12.5ns取樣速率(SampleRate)取樣速率與高速數(shù)字器的頻寬規(guī)格并不直接相關(guān)。取樣速率是指信號(hào)經(jīng)過模擬輸入徑途之后，數(shù)字器的ADCI各輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換為代表電壓強(qiáng)度的數(shù)字值的速率。這表示數(shù)字器是

5、在模擬輸入通道對(duì)信號(hào)施以任何衰減、增益、及/或過濾處理之后，才對(duì)信號(hào)取樣，并將所得的波型轉(zhuǎn)換為數(shù)字呈現(xiàn)。高速數(shù)字器的取樣速率是根據(jù)取樣時(shí)脈而定，它告訴ADC何時(shí)將即時(shí)的模擬電壓轉(zhuǎn)換為數(shù)字值。NationalInstruments的高速數(shù)字器可以根據(jù)設(shè)備的最大取樣速率加以衍生，以支援多種有效取樣速率。舉例來說，NI5112的最大取樣速率為100Megasamples/second(MS/s),可以設(shè)定為(100MS/s)/n的取樣速率，其中n=1,2,3,4,.01100111152FlD.com001奈奎斯特定理(NyquistTheorem)首先必須了解，奈奎斯特定理：取樣速率2*受測(cè)訊號(hào)的

6、最高頻率部份。奈奎斯特定理說明必須以高于受測(cè)信號(hào)的最高頻率兩倍以上的速度進(jìn)行取樣，才能正確地重建波型；否則高頻的內(nèi)容會(huì)成為目標(biāo)頻譜(spectrumofinterest)內(nèi)某個(gè)頻率(通頻，passband)上的alias。Alias是錯(cuò)誤的較低頻元件，出現(xiàn)在以過低取樣速率取得的樣本資料中。下圖顯示一個(gè)5MHz的正弦波，由6MS/sADC進(jìn)行數(shù)字化。虛線是ADC記錄的alias信號(hào)，它是以1MHz進(jìn)行取樣,而非以5MHz進(jìn)行取樣圖8:奈奎斯特頻率的正弦波范例5MHz頻率以alias的方式落回通頻中，呈現(xiàn)1MHz正弦波的樣式。為了避免通頻的alias現(xiàn)象，你可以使用低通濾波器來限制輸入信號(hào)的頻率，

7、或提高取樣速率。合理選擇高速ADC實(shí)現(xiàn)欠采樣欠采樣或違反奈奎斯特（Nyquist）準(zhǔn)則是ADC應(yīng)用上經(jīng)常使用的一種技術(shù)。射頻（RF）通信和諸如示波器等高性能測(cè)試設(shè)備就是其中的一些實(shí)例。在這個(gè)“灰色”地帶中經(jīng)常出現(xiàn)一些困惑，如是否有必要服從Nyquist準(zhǔn)則，以獲取一個(gè)信號(hào)的內(nèi)容。對(duì)于Nyquist和Shannon定理的檢驗(yàn)將證明：ADC采樣頻率的選擇與最大輸入信號(hào)頻率對(duì)輸入信號(hào)帶寬的比率有很強(qiáng)的相關(guān)性。原理分析Nyquist定理被表達(dá)成各種各樣的形式，它的原意是：如果要從相等時(shí)間間隔取得的采樣點(diǎn)中，毫無失真地重建模擬信號(hào)波形，則采樣頻率必須大于或等于模擬信號(hào)中最高頻率成份的兩倍。因而對(duì)于一個(gè)最

8、大信號(hào)頻率為fmax的模擬信號(hào)fa,其最小采樣頻率fs必須大于或等于2xfmax。fs2fMAX最簡(jiǎn)單的模擬信號(hào)形式是正弦波，此時(shí)所有的信號(hào)能量都集中在一個(gè)頻率上?，F(xiàn)實(shí)中，模擬信號(hào)通常具有復(fù)雜的信號(hào)波形，并帶有眾多頻率成份或諧波。例如，一個(gè)方波除了它的基頻之外，還包含有無窮多的奇次諧波。因此，根據(jù)Nyquist定理，要從時(shí)間交叉的采樣中完整地重建一個(gè)方波，采樣頻率必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于方波的基頻。請(qǐng)注意：當(dāng)以采樣率fs對(duì)模擬信號(hào)fa進(jìn)行采樣時(shí)，實(shí)際上產(chǎn)生了兩個(gè)混疊成份，一個(gè)位于fs+fa,另一個(gè)位于fsfa。它的頻率域顯示在圖1中。fa駕您獴峭ft+能二./MHi52FlD.com較高頻的混疊成份基本上

9、不會(huì)引起問題，因?yàn)樗挥贜yquist帶寬（fs/2）以外。較低頻的混疊成份則可能產(chǎn)生問題，因?yàn)樗赡苈湓贜yquist帶寬之內(nèi)，破壞所需要的信號(hào)。鑒于采樣系統(tǒng)的混疊現(xiàn)象，Nyquist準(zhǔn)則要求采樣率fsfa,以避免混疊成份覆蓋到第一Nyquist區(qū)。為防止有害的干擾，任何落在感興趣的帶寬之外的信號(hào)（無論是寄生信號(hào)或是隨機(jī)噪聲）都應(yīng)該在抽樣之前進(jìn)行過濾。這就解釋了眾多采樣系統(tǒng)中，加裝抗混疊濾波器的必要性。然而，在下面關(guān)于次采樣的部分中，會(huì)表明存在著一些方法，它們可以在信號(hào)處理應(yīng)用中用到混疊現(xiàn)象的益處。舉例來說：對(duì)一個(gè)最大頻率為10MHz信號(hào)，為了從采樣中不失真地重建模擬信號(hào)，Nyquist規(guī)定

10、采樣頻率320MSPS（每秒百萬次抽樣）。但是，我們很快能看出Nyquist定理的局限性。Nyquist假定所需的信息帶寬等于Nyquist帶寬或采樣頻率的一半。在圖1所示的范例中，如果模擬信號(hào)fa帶寬小于fs/2,那么有可能用低于Nyquist的率進(jìn)行采樣，仍然能夠防止混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生，并避免損壞所需的信號(hào)。應(yīng)該觀察到，所需最小采樣頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)帶寬的一個(gè)函數(shù)，而不僅取決于最大頻率成份。Shannon定理進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)論。Shannon定理是制指，一個(gè)帶寬為fb的模擬信號(hào)，采樣速率必須為fs23,才能避免信息的損失。信號(hào)帶寬可以從DC到fb（基帶采樣），或從f1到f2,其中fb=f2

11、-f1（欠采樣）。因此，Shannon定理表示：實(shí)際所需最小采樣頻率是信號(hào)帶寬的函數(shù)，而不僅取決于它的最大頻率成份。通常來說，采樣頻率至少必須是信號(hào)帶寬的兩倍，并且被采樣的信號(hào)不能是fs/2的整數(shù)倍，以防止混疊成份的相互重疊。注意，fmax（模擬信號(hào)的最大頻率成份）對(duì)于信號(hào)帶寬B的大比例最小采樣頻率接近2B。在許多應(yīng)用中，這大大地減少了對(duì)ADC的要求。對(duì)一個(gè)具有150MHzM大信號(hào)頻率，但只有10MHz帶寬的信號(hào)進(jìn)行采樣，可能只需要一個(gè)約22MSPS勺ADC而不是Nyquist規(guī)定的大于300MSPS勺ADQ例如，考慮一個(gè)帶寬為10MHz、位于160MHz170MH擷譜范圍內(nèi)的信號(hào)。假定按照S

12、hannon定理要30MSPS的采樣率，由于采樣過程會(huì)產(chǎn)生附帶的采樣頻率，它們是30MHz的整數(shù)倍，也就是60MHz（2fs）、90MHz（3fs）.180MHz等。介于160MHz和170MHz之間的所需信號(hào)，在這些采樣頻率的每個(gè)諧波（fs、2fs、3fs等）附近都產(chǎn)生混疊。注意：任何一個(gè)混疊成份都是原始信號(hào)的一個(gè)準(zhǔn)確表述。30MSPS采樣使得160MHz170MHz的信號(hào)被折返到010MHz的第一Nyquist區(qū)。從本例中還應(yīng)注意到：可能存在于ADC輸出FFT中的最高頻率成份小于或等于采樣頻率的一半?；蛘哒f，由于諧波折返或欠采樣，每一個(gè)位于Nyquist帶寬之外的ADC輸入頻率成份總被折返

13、到第一Nyquist區(qū)。這可由下列等式表示。而次采樣在實(shí)用電子系統(tǒng)有許多用途。最常見的欠采樣應(yīng)用是在數(shù)字接收器中。IINTfFJfxVfJ首先讓我們更詳細(xì)地解釋次抽樣的過程。次抽樣或折返的過程可以看作是ADC輸入信號(hào)與采樣頻率和其諧波的混合。這意味著，許多頻率可以混合為DG而不再能確認(rèn)它們的原始頻率。舉一個(gè)66MSP睬樣頻率的例子，則所有輸入信號(hào)（66-6、66+6、126、136MHz等等）頻率混合為6MHz,見圖2。每個(gè)采樣映象折返到小于fs/2。請(qǐng)注意，圖2虛線處將發(fā)生相位翻轉(zhuǎn)，但這些成份可在軟件中去除。如果必須在ADC輸出處確定原始的輸入頻率，則無法使用次采樣。因?yàn)檫@違反了Nyquis

14、t準(zhǔn)則。如果在ADC輸出處無需確定載波頻率，次采樣仍然證明有效。這適用于許多通信系統(tǒng)，如手機(jī)基站接收器，因?yàn)榻邮掌髦恍杌謴?fù)載波上的信息，而不是載波本身。射頻數(shù)字接收器實(shí)例以使用一個(gè)射頻載波頻率900MHz（歐洲）和1800MHz（美國(guó)）的GSM/EDGE基站為例。一個(gè)移動(dòng)基站接收電路類似圖3所示。高頻射頻載波信號(hào)首先在混頻器和本振級(jí)下變頻為一個(gè)范圍150MHz190MHz勺中頻，供模擬/數(shù)字的轉(zhuǎn)換使用。前述Shannon定理顯示，所必需的采樣頻率是信號(hào)帶寬的函數(shù)，在GSM/EDG系統(tǒng)中帶寬為200kHz。GS幅統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍規(guī)格需要最小10位精度的ADC,雖然實(shí)際都使用12位精度。市面上有大量的

15、高速ADC可供選擇，數(shù)字接收器的系統(tǒng)設(shè)計(jì)師選擇器件時(shí)必須考慮系統(tǒng)動(dòng)態(tài)范圍要求以及器件的成本。由于這些原因，對(duì)于GS瞰收器應(yīng)用，50MSPS70MSPS樣率的ADC是最常見的選擇。雖然在66MSPS寸150MHz190MHz信號(hào)為欠采樣，對(duì)于需要的200kHz信息帶寬，并沒有違反Nyquist準(zhǔn)則。這種選擇為200kHz的帶寬信息信號(hào)提供了足夠大的空間，同時(shí)提供了超過20dB的處理增益。請(qǐng)注意，由于種種原因，繼續(xù)增加采樣頻率來不斷提高處理增益的方法是不切實(shí)際的。市面上有更高采MaifnwHfvMlhfINet圖左印支中懵用的接收器.樣率的12位ADC譬如12位80MSPS勺ADC（美國(guó)國(guó)家半導(dǎo)體

16、ADC12L080）,以及一些大于100MSPS勺12位專用ADC但低于處理增益ADC噪聲特性通常由熱噪聲所限制，當(dāng)選定ADC時(shí)，其噪聲帶寬通常被定義作Nyquist帶寬。在fs=66MSPS時(shí),總噪聲底限的測(cè)量表示為相對(duì)于某一輸入信號(hào)頻率處一個(gè)33MHz帶寬內(nèi)全量程（dBFS）白ddB值。但是對(duì)ADC俞出進(jìn)行200kHz的信道濾波器可獲得如過濾后，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)更窄的帶寬。濾波過程提供的噪聲處理增益是帶寬減少量的函數(shù)。下的處理增益:上式假設(shè)ADC輸出的濾波這樣，200kHz帶寬內(nèi)的ADC輸出噪聲變成:-62dBFS+（-25.2dB）=-87.2dBFS.當(dāng)為某個(gè)應(yīng)用選擇正確采樣率的ADC時(shí)，不光要知道最高模擬轉(zhuǎn)換頻率這一個(gè)參數(shù)。Shannon定理顯示，信號(hào)帶寬同等重要。我們發(fā)現(xiàn)，高于Shannon速率的采樣還有其它的好處，如處理增益可以極大地改善動(dòng)態(tài)范圍。系統(tǒng)設(shè)計(jì)師掌握了這一知識(shí)，就能在通用且價(jià)格合理的標(biāo)準(zhǔn)ADC中，正確地選擇ADC采樣頻率和精度。圖九如C噪聲峙性對(duì)于帶塞的彩響,52RD.com11TBqMHiicuiLMYnu廿;i翼riLilIVN：J|l|hrl表1,美國(guó)國(guó)冢半導(dǎo)體適用干欠采樣應(yīng)用的幾個(gè)新高速ADC.型號(hào)1特性SUKU